分割正五边形 - 魔方吧·中文魔方俱乐部

做了一半。五边形中的两个红色区如何裁法才可拼成正方形中的红色区？此外，五边形这样裁法，块数太多了吧？抛砖，抛砖：

先把五边形切成三块拼成一个平行四边形再把平行四边形切割将所有的小块拼成正方形

题目要求正五边形改为正方形，则该正方形的边长应该是正五边形边长的1.31167倍。楼上的答案有点问题：

乌木先生从边长的数据看出面积的不自洽，总体上否定了这种分割法。具体的毛病在那里呢？请看下图精确的作图：

这帖子有正五边形做拼板的许多种分割法，惜无为拼正方形的分割法：

反正怎么切割我已经告诉大家了怎么拼成正方形那应该是很简单的了

yoyo的这个题目是有难度，现给出了答案，让我们来证明一下，也不容易。

另外，如何用圆规直尺作出正五边形，谁能记得这个古老的课题？

啊，大家一起在论坛里玩，称XX兄显得亲切，就像称先生、小姐一样。

在14楼图中，过F作FG垂直EB、交EB于H，使FH＝HG。据14楼，FB×FB＝EB×FH＝正方形EFBG的面积。是否正方形、其面积是否等于原五边形面积等等要证明。14楼中红绿两块不动，已是半个正方形。其余四块不难拼成正方形的另一半（拼好后也要证明）。

1、可以证明，以FB为边长的正方形面积等于正五边形的面积。见插入附图。

2、可以计算，EFB并不是等腰直角三角形。乌木兄拼出的四边形是近似正方形，即使这样也不容易了。要拼严格正方形只好切得很碎。我想这样就算解决得不错了。

正方形的边长是它的半对角线和对角线的比例中项，其逆命题未必成立，即四边形的一个边长是其半对角线和对角线的比例中项，这个四边形未必是正方形。在目前作出的这个菱形中，两个对角线不等长，“半对角线”和“对角线”不是同一个对角线。

分割后拼接出近似正方形，不同拼法还有细微差别，一种是菱形，一种是平行四边形。把偏差的程度夸大作图，就看出来了。（这个“夸大”保持了定性上一致。）

以下是引用阵雨在2006-6-25 23:17:08的发言：

这是个有趣的尺规作图问题，只要能作出正确的正方形边长，就一定能分割，否则就不可能解决。

即是首先要解决相同面积的正方形边长问题，如何用作图法作出。

以上是22楼的计算，（FB×FB）还是严格等于原五边形面积的（只不过21楼的拼法得到的四边形EFBG不是正方形而已），怎么会（FB×FB）“面积小得多！”呢？等着明天看通兄的图。

以下是引用乌木在2006-6-25 23:35:19的发言：

以上是22楼的计算，（FB×FB）还是严格等于原五边形面积的（只不过21楼的拼法得到的四边形EFBG不是正方形而已），怎么会“……面积小得多！”呢？等着明天看通兄的图。

这类问题有个比较简单的方法进行分割，即是先画好许多个五边形，另在透明纸上画好许多个正方形，相迭后转动透明纸上的正方形图，以寻求满足分割的交会点。

而在电脑上也可以相迭后转动其图，当然现在的问题是先要求出正方形的边长。

通兄说“相似性瞒过了眼睛”，“首先要解决相同面积的正方形边长问题，如何用作图法作出。”看来问题是在这里。至于作图法求BF不难（见下图），难的是如何把这“BF”捣鼓到原五边形或变换后的例如平行四边形之类的什么图形中去（那个第1次变出的平行四边形可靠吗？是平行四边形吗？如果不是，则谈不上什么什么的比例中项的！下图也就是无意义的。）

故BF＝1.3116697 （a＝1）。问题是，那第1次变换的是否为平行四边形？

正方形面积比第一种作出的要小，而相似性极大地欺骗了眼睛。

通过精确作图后可以看出不能成立，看来本题还是没法解决。

好极了，30楼乌木兄给出了作图法求比例中项的方法。这样，这个题目可改成：

怎样用圆规和直尺，作出一个与已知正五边形等面积的正方形。回避分割和拼接，这样题目就没有问题了。

此外，首次分割拼接的平行四边形是严格的，可证明。没有问题。

我也证明了转换为平行四边形是正确的，我还有一种更简单明了的转换，结果完全相同。

49楼问47楼，作图比例和方法是这样对的，虽然得到了“AB”线段，但还需要证明是否为正方形边长。

以下是引用乌木在2006-6-26 10:06:44的发言：
33楼表明，所取的正方形边长b小了点，即应该再大一点；36楼通兄的两个图中边长b大概是按照BF取的（对吗？）如果原图的红色BF画得准的话，BF应该比33楼取的b要大，即36楼那两个正放着的正方形应该超过五边形顶点B（即应该掩盖B），可是图中都未超过。问题出在哪里？看上去您的两个正放着的正方形的边长取小了。不管它也罢，反正与分割无直接关系。关键是两个斜放的正方形的边长没问题，它们直观地表明我21楼的拼法得到的不是正方形！由此，yoyo贴出的“五边形－－平行四边形”及这个平行四边形的分割法是否有问题？最后，那书上的答案是怎样的？
总之，设想一个古代裁缝要把一块五边形布料改为正方形的大王旗，他也许只能弄出个接近于正方形的、实为菱形的大王旗，糊弄糊弄大王了事。
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“古代裁缝”所改离真正的正方形差远，图中黑影为正方形。