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标题: 一道有趣的概率题(答案已公布) [打印本页]

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 11:24:18 标题: 一道有趣的概率题(答案已公布)

有一副扑克牌，随机的在桌上摆成一排，现在从头开始一张一张翻，规定抽到第一张A（任何花色）后再抽一张即停止，问：最后抽的那张牌是黑桃A概率大还是草花2的概率大或者是一样大？
补充一下：请给出结果的魔友简单叙述一下自己的思路方便交流~~~
再补充一下：我们鼓励通过简单巧妙的思路直接得到结果而不是大篇幅的复杂计算~~~
（顶到40楼后公布答案

）
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终于顶到40楼了~~实现诺言~~公布答案~~~
其实通过我们广大勤劳勇敢聪明伶俐的魔友们的讨论，答案基本上已经出来了，就是两张牌出现的概率是相等的。
这里我提供一个比较简单的思路，这样考虑，先把黑桃A或草花2从一副牌里抽出来，剩下的牌的排列对于这两张牌而言是完全等效的。此时问题转化为需要将黑桃A或者草花2插到剩余牌中第一个A的后面，显然，对于这两张牌概率是相等的。当然这只是我个人的意见，不排除更好的想法。
除此之外还有几位魔友的思路值得大家借鉴：
11#的zxl0714魔友，先考虑简单情况然后扩展到实际情况
17#的铯_猪哥恐鸣魔友，严谨的暴力方法。。。
37#的pumpitup魔友，思路也很简单明了
希望这道小题目给大家带来智力上的快乐~~~~~~

[ 本帖最后由 Alexwildchild 于 2009-3-24 18:30 编辑 ]

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 11:38:49

好多人看了不回复。。。大家踊跃发表看法啊~~~~

作者: Atato 时间: 2009-3-22 11:40:52

我先占一楼.
有趣的问题,看起来很复杂.
如果按照很平常的思路(也就是我开头的思路)
----------思路---------
第一个翻起来的A是黑桃A的概率是1/4
草花2就在黑桃A后面的概率又是多少呢.
应该是1/56吧.

翻到第一个A是其他A是概率是3/4.
后面一个是黑桃A和草花2是概率应该是一样的.(1/56)

综上,比是4:3.草花2大一点.
我对这个答案没什么信心....
---------------------
不知为什么有一些字被删除了,导致LZ没看懂
--------------------
11#的简单.是巧妙的好办法.
(又一次做错魔方吧的题目.惭愧啊

)

[ 本帖最后由 Atato 于 2009-3-23 13:59 编辑 ]

作者: zxl0714 时间: 2009-3-22 12:02:00

一样大~~~~~~~

作者: yjqww6 时间: 2009-3-22 12:16:20

草花二大，因为前面有可能是黑桃A

作者: zxl0714 时间: 2009-3-22 12:35:31

楼上的请计算过再说话

作者: 回梦游仙 时间: 2009-3-22 12:40:02

这个规则我好像不是很明白，LZ好好叙述一下，我们这几天正在学概率，我很有兴趣

作者: warl0rds 时间: 2009-3-22 12:44:17

草花二大~~~~~~~~~~~~~~~~

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 12:45:50 标题: 回复 7# 的帖子

哪里不明白？？？？？

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 12:47:40 标题: 回复 3# 的帖子

说实话我没懂你的意思~~~

作者: zxl0714 时间: 2009-3-22 13:15:06

大家想想如果只有3张牌，1个黑桃A，1个草花2，1个梅花A，这样结果会如何？

其实刨去4个A和梅花2剩下的牌都不影响结果，3个其它花色的A可以合并为1个，所以这样总的结果和和上面3张牌的结果一样。

[ 本帖最后由 zxl0714 于 2009-3-22 13:17 编辑 ]

作者: dkzx 时间: 2009-3-22 13:21:44

当然2大,A有可能在前面就抽到,
就是说,本来二张抽到机率是一样的,但因为有个条件是抽到1 定.这种情况下,如果抽到1,后面那张就不可能是1了,2就是多了这种情况下的机率

作者: Cielo 时间: 2009-3-22 13:27:10

如果想直接算概率的话应该比较困难吧……

两种情况：
1、黑桃A在草花2前面，那么草花2的概率是0；
2、草花2在黑桃A前面：
①草花2前面有A，那么黑桃A的概率是0；
②草花2前面无A，那么草花2的概率是0；

感觉情形1 与情形2的① 差不多，那么黑桃A的概率大！
————————————————————————————————————
以上有误！我漏掉了情形1里面草花2恰好跟在黑桃A后面这种情况！

4楼（也就是11楼）是正确的！
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原帖由 Alexwildchild 于 2009-3-22 13:37 发表
我就是昨天加你们北大群的Alex!!!

呵呵这我能猜出来

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-3-22 13:43 编辑 ]

作者: 业余魔术师 时间: 2009-3-22 13:34:02

我们假设A尽可能把54张牌平均分成5份。（这样假设可能会有问题，11张翻到A可能不是很准确）

那么就是在第11张左右应该能翻到第一张A。

如果第一张A就是黑桃A的话，而且前10张没有翻出草花2，那么，这个时候肯定是草花2的概率要大于黑桃A。

1/4*4/5=1/5，即上述情况出现的概率是20%。

如果第一张不是黑桃A，前10张又没有翻出草花2的话，那么下一张牌，2者的概率应该是一样大的。

3/4*4/5=3/5，即上述情况出现的概率是60%

如果第一张不是黑桃A，前10张出现了草花2，那么下一张牌出现黑桃A的概率要大于草花2。

3/4*1/5=3/20，即上述情况出现的概率是15%

如果第一张是黑桃A，前10张有草花2，这时候概率又是一样，均为0。

1/4*1/5=1/20，即上述情况出现的概率是5%

这样看来，出现二者概率相同的概率的情况是65%。黑桃A的概率大的情况是15%，草花2的概率大的情况是20%。

所以，应该还是草花2的概率稍大一些。

看来A的分布还真影响到结果了。。

[ 本帖最后由业余魔术师于 2009-3-24 20:41 编辑 ]

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 13:36:21

原帖由 Atato 于 2009-3-22 11:40 发表
我先占一楼.
有趣的问题,看起来很复杂.
如果按照很平常的思路(也就是我开头的思路)
----------思路---------
第一个翻起来的A是黑桃A的概率是1/4
草花2就在黑桃A后面的概率又是多少呢.
应该是1/56吧.

翻到第 ...

呃。。。我知道答案所以就不明确表态啦~~等待各位魔友讨论~不过你有没有考虑第一张A不是黑桃的话后面出现黑桃A和草花2的概率就不一样了呢~

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 13:37:39 标题: 回复 13# 的帖子

我就是昨天加你们北大群的Alex!!!

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 13:39:33

总情况数：
54!

黑桃A：
<=>黑桃A前面是一张其他花色的A，且其余的A都在黑桃A后面
3*50!*（52*51+51*50+。。。+2*1）=3*50!*46852

草花2：
<=>草花2前面是一张A，其余的A都在草花2后面
4*49!*（52*51*50+51*50*49.。。+3*2*1）=4*50!*35139

很戏剧性的。。。这两个数值居然是一样的。。。也就是说他们的概率完全相同，且都是1/54

[ 本帖最后由铯_猪哥恐鸣于 2009-3-22 13:40 编辑 ]

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 13:42:35

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-3-22 13:39 发表
总情况数：
54!

黑桃A：
黑桃A前面是一张其他花色的A，且其余的A都在黑桃A后面
3*50!*（52*51+51*50+。。。+2*1）=3*50!*46852

草花2：
草花2前面是一张A，其余的A都在草花2后面
4*49!*（52*51*50+51*50* ...

你够暴力。。。。。。。。。。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 13:43:44 标题: 回复 18# 的帖子

。。。。。。。。条件概率只能这么做。。。。。。。当然至少我只会这么做，因为其他的做法很难保证每种情况都是等概率的。。。

作者: zxl0714 时间: 2009-3-22 13:45:22

楼上的如果给你1000张牌还不得累死。。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 13:47:41 标题: 回复 20# 的帖子

不会啊。。我又没把54！算出来。。。而且我用数字纯粹是为了方便，用字母打起来太麻烦了。。。

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 13:49:58 标题: 回复 21# 的帖子

你这种做法完全抹杀了这道小题目的趣味性啊~~~我们提倡用比较巧妙的思路想出来而不用计算的~~~

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 13:52:34 标题: 回复 22# 的帖子

。。。这个。。。也对。。。反正先做出来，再找巧妙的做法。。。就像四色定理的证明一样。。。什么都不管，先证出来再说。。。

作者: warl0rds 时间: 2009-3-22 13:55:26

帖子不会沉吧？~~~~

作者: ilovestg 时间: 2009-3-22 13:57:27

不需要用到条件概率，高中排列组合就行了（都快忘记了，可能有错）
第一种情况：
用捆绑法，把任意一张非黑桃A和黑桃A绑在一起，共有（C1，3）X1种（那个符号Cn,m表示m个元素中取几个，网页里面不好弄公式，只有这样），然后这两张固定顺序的牌和其他52张剩下的牌做全排列，（C1，3）X53！，然后要求这两张牌的顺序要在另两张A前面，以免还没抽到黑桃A游戏就结束。所以共有（C1，3）X53！/3!.
第二种情况
还是用捆绑法，把任意一张A和草花2绑在一起，共有（C1，4）X1中，依旧是53个元素做全排列，最后确保另三张A在其后，所以是（C1，4）X53！/4!.

所以答案应该是1的概率大，因为自由度的问题

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 14:00:57 标题: 回复 25# 的帖子

。。。。。其实本质是一样的。。。。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-22 14:01:21

何况条件概率本来就是高中的排列组合。。。。

作者: ilovestg 时间: 2009-3-22 14:04:29

条件概率真正能简化计算是在连续分布求积分的时候，这种离散的反而会更加麻烦

作者: lulijie 时间: 2009-3-22 19:51:02

我有个想法：
抽到第一张A，后再抽一张。
最后一张是草花2，分为4种情况，每种情况的概率是相同的。每种情况的概率为P，则总的概率为4P。
抽到第一张A是黑桃A，即    ……黑桃A，草花2，……       概率P (把所有的扑克牌排序,前面的省略号中无A）
抽到第一张A是红桃A，即    ……红桃A，草花2，……       概率P
抽到第一张A是方片A，即    ……方片A，草花2，……       概率P
抽到第一张A是草花A，即    ……草花A，草花2，……       概率P
--------------------------------------------------------------------------
第2种情况，可分为4种情况：第4种情况概率为0，其他3种情况的概率与草花2的每种情况的概率相同。总概率为3P。
抽到第一张A是红桃A，即    ……红桃A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是方片A，即    ……方片A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是草花A，即    ……草花A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是黑桃A，即    ……黑桃A，黑桃A，……       概率0
-------------------------------------------------------------------------------
所以草花2的概率大，两者概率比是4:3。

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 20:23:02

原帖由 lulijie 于 2009-3-22 19:51 发表
我有个想法：
抽到第一张A，后再抽一张。
最后一张是草花2，分为4种情况，每种情况的概率是相同的。每种情况的概率为P，则总的概率为4P。
抽到第一张A是黑桃A，即 ……黑桃A，草花2，…… 概率P ...

你的前提好像有问题哦~你好像默认了第一张抽到的A不是黑桃A然后紧接着抽到一张黑桃A的概率和抽到第一张A后再抽到草花2概率相等，但实际上不是哦~~因为第一张抽到的不是黑桃A就限定了黑桃A不会出现在前面抽过的牌里了

作者: 骰迷 时间: 2009-3-22 20:27:59

(把所有的扑克牌排序,前面的省略号中无A）
樓上有沒看到這句

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-22 20:32:06

原帖由骰迷于 2009-3-22 20:27 发表
(把所有的扑克牌排序,前面的省略号中无A）
樓上有沒看到這句

我没有懂你的意思，你认为29楼是正确的？我的意思是说29楼中分的两大类中的P实际上是不相等的

作者: lulijie 时间: 2009-3-22 21:13:51

我也不知道我的想法对不对。
下面我简化一下，只有4张A和1张梅花2。总共排序有5!=120种。
先算梅花2的情况。只有一种情况：
第一张是A，共4种选择，然后后面是梅花2，再后面是其他3张A，总情况有4*1*6=24种。
再算黑桃A的情况：两种情况。
第一张是2，第二张是其他A，第三张是黑桃A，共3*2=6种。
第一张是其他A，第二张是黑桃A，共3*6=18种。
------------------------------------------------------
所以2类情况概率相同。
看来我原先的想法不对。

作者: lulijie 时间: 2009-3-22 21:27:56

4张A，加方片2，梅花2。共6张牌：
--------------------------------------------------------------------
第一张是方片2，第二张A，第三张是梅花2，  总共情况4*6=24种。
第一张A，第2张是梅花2，  总共情况4*24=96种。
----------------------------------------------------------------
第一张是2，第二张其他A，第三张是黑桃A，  总共情况2*3*6=36种。
第一张是2，第二张是2，第三张其他A，第四张是黑桃A，  总共情况2*3*2=12种。
第一张其他A，第二张是黑桃A，  总共情况3*24=72种。
---------------------------------------------------------------
二者总情况数也相同。

作者: lulijie 时间: 2009-3-22 21:41:05

以下是在29楼我的想法：
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
我有个想法：
抽到第一张A，后再抽一张。
最后一张是草花2，分为4种情况，每种情况的概率是相同的。每种情况的概率为P，则总的概率为4P。
抽到第一张A是黑桃A，即    ……黑桃A，草花2，……       概率P (把所有的扑克牌排序,前面的省略号中无A）
抽到第一张A是红桃A，即    ……红桃A，草花2，……       概率P
抽到第一张A是方片A，即    ……方片A，草花2，……       概率P
抽到第一张A是草花A，即    ……草花A，草花2，……       概率P
--------------------------------------------------------------------------
第2种情况，可分为4种情况：第4种情况概率为0，其他3种情况的概率与草花2的每种情况的概率相同。总概率为3P。
抽到第一张A是红桃A，即    ……红桃A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是方片A，即    ……方片A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是草花A，即    ……草花A，黑桃A，……       概率P
抽到第一张A是黑桃A，即    ……黑桃A，黑桃A，……       概率0
-------------------------------------------------------------------------------
所以草花2的概率大，两者概率比是4:3。
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
我知道错在哪里，计算草花2的情况时，我提到前面省略号中无A，认为两类的概率P相同，
实际上若仅仅是前面省略号中无A，二者的情况确实是相同，但第一类还要求前面省略号中无梅花2。所以要减去前面有梅花2的情况，减去了1/4。所以总概率是4P*3/4=3P。
二者概率相同。

作者: ilovestg 时间: 2009-3-22 23:10:54

lulijie
你忽略了一个问题，就是计算草花2的时候需要考虑的是5张牌，另外一种只需考虑4张。。。
以上

作者: pumpitup 时间: 2009-3-23 00:35:15

看起来容易，其实比较复杂嘛

想要最后一张是黑桃A，那么，黑桃A必须要在其他A的后面
想要最后一张是草花2，那么，草花2必须要在其他A的前面

其他方面，两者没什么相异的地方

所以，先翻到哪张是一样的

发个帖，再看看大家怎么回答的

作者: pumpitup 时间: 2009-3-23 00:37:10

楼主，我说的对不对啊。

我觉得没有什么漏洞。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-23 18:55:16

。。。还是暴力流比较好，准确有效。。。计算量也还行。。。别的做法都。。。要么难懂，要么不严密，要么其本质也是暴力流。。。

作者: his163 时间: 2009-3-23 19:07:37

应该2大一些吧，有4个2，才三个a

作者: his163 时间: 2009-3-23 19:10:06

没看全

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-23 20:23:40

哈哈哈哈~~~~顶到40楼了~~~~~公布答案！！！！！！

作者: ilovestg 时间: 2009-3-23 23:23:58

原帖由 Alexwildchild 于 2009-3-22 11:24 发表
终于顶到40楼了~~实现诺言~~公布答案~~~
其实通过我们广大勤劳勇敢聪明伶俐的魔友们的讨论，答案基本上已经出来了，就是两张牌出现的概率是相等的。
这里我提供一个比较简单的思路，这样考虑，先把黑桃A和草花2从一副牌里抽出来，剩下的牌的排列对于这两张牌而言是完全等效的。此时问题转化为需要将黑桃A或者草花2插到剩余牌中第一个A的后面，显然，对于这两张牌概率是相等的。当然这只是我个人的意见，不排除更好的想法。

case1：
你抽出的是黑桃A，剩下的牌里面还有3张A
case2：
抽出的是草花2，剩下的拍里面却有4张A。

这张黑桃A或草花2排在第一个A的后面会是同样的概率吗！！！明显 P (case1)> P (case2)

如果有疑问的话，我可以写一段sql程序模拟10万次，求出概率（因为大部分人用C，所以sql的程序交流不方便）。。。

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-24 16:38:22

原帖由 ilovestg 于 2009-3-23 23:23 发表

case1：
你抽出的是黑桃A，剩下的牌里面还有3张A
case2：
抽出的是草花2，剩下的拍里面却有4张A。

这张黑桃A或草花2排在第一个A的后面会是同样的概率吗！！！明显 P (case1)> P (case2)

如果有疑问的话 ...

这个。。。不是说模拟多少次可以说明的问题。。。可能我原帖表述的不够清楚
是这样，假设先抽出一张黑桃A，那么剩下所有牌的排列数和只抽出一张草花2时剩下的排列数是相等的，这一点应该没有问题。
然后，对于每一种排列，有且只有一个位置满足题目要求，对黑桃A来说是第一张非黑桃的A的后面，对草花2来说是第一张任意花色A的后面。
综合考虑上述两条论证显然两张牌出现概率相等

作者: pumpitup 时间: 2009-3-24 18:30:10

如果不相等的话，我不清楚我的推理问题出在哪里

作者: ilovestg 时间: 2009-3-25 17:32:53

原帖由 Alexwildchild 于 2009-3-24 16:38 发表

这个。。。不是说模拟多少次可以说明的问题。。。可能我原帖表述的不够清楚
是这样，假设先抽出一张黑桃A，那么剩下所有牌的排列数和只抽出一张草花2时剩下的排列数是相等的，这一点应该没有问题。
然后，对于每 ...

的确是我弄错了，概率相等。都是1/54，之前的回复把A的顺序都限定死了

作者: 骰迷 时间: 2009-3-25 23:10:06

太精采啦！！
草花2的CASE中，草花2的前面有四種情況，其他A放在後面。即是當一隻A在前面，黑桃A的活動範圍只在後面
黑桃A的CASE中，雖然黑桃A前面只有三個可能，但草花2的活動範圍可前可後
然後出來的數字剛剛好！！

作者: dkzx 时间: 2009-3-26 15:50:25

其它这只需要考虑黑A和花2的前后问题。
花2和黑A前有一个A那机会相同。但，
如果花2在黑A后，抽到黑A后面再抽当然2的机会高点，因为条件是抽到A的后一张。再但，
如果2在1的前面那抽到1就没2的份了。
但楼主想想2在前面的时候A至少有3次机会能在3张A的后面这个机率应该是抽A的大吧。

作者: juventus66 时间: 2009-3-26 15:51:31

有答案了,学习了

作者: dkzx 时间: 2009-3-26 16:04:12

简单的说，用四张A和一张2来玩这个游戏就行了。

第一张抽到2的机率是20%（5份1）在这里一定会有A其中有75%不会是黑桃A（4份1）这时有1/3的机会是黑桃A在最后。这里就等于20% * 75% /3=5%的机会是黑桃A。
再算2
有80%的机会不是2。这时有25%的机会是黑桃A（如果是其它A那后面拿黑桃A和2的机会就一样了）在这25%里只有25%的机会是2，80% * 25% * 25% = 5%

呵呵，最后发现作案是机率一样。看来我是想错了，还是要算算才知道啊

[ 本帖最后由 dkzx 于 2009-3-27 16:58 编辑 ]

作者: Alexwildchild 时间: 2009-3-26 17:45:53

原帖由 dkzx 于 2009-3-26 15:50 发表
其它这只需要考虑黑A和花2的前后问题。
花2和黑A前有一个A那机会相同。但，
如果花2在黑A后，抽到黑A后面再抽当然2的机会高点，因为条件是抽到A的后一张。再但，
如果2在1的前面那抽到1就没2的份了。
但楼主想想 ...

这个推理的漏洞在于“如果草花2和黑桃A前有一个A那机会相同”，实际上这句话默认了第一张A出现前都没有A出现过，这样会导致后面黑桃A出现的概率会大于草花2的概率

作者: dkzx 时间: 2009-3-27 16:58:05

原帖由 Alexwildchild 于 2009-3-26 17:45 发表

这个推理的漏洞在于“如果草花2和黑桃A前有一个A那机会相同”，实际上这句话默认了第一张A出现前都没有A出现过，这样会导致后面黑桃A出现的概率会大于草花2的概率

我后一层楼的结论已经证明我之前的错误了，呵呵

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