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标题: 【解决了，没那么复杂】一道数学题4角之和.. [打印本页]

作者: why1994boy 时间: 2009-3-24 19:26:00 标题: 【解决了，没那么复杂】一道数学题4角之和..

图中为4个正方形，求：
∠1+∠2+∠3+∠4=？

需要详细解题过程...（初三水平）

设图中四个全等的正方形边长为1
∵∠1=∠5 ∠2=∠6  ∠3=∠7 ∠4=∠8
所以tan∠1=tan∠5=AF/EF=1/1
   tan∠2=tan∠6=BG/EG=1/2
   tan∠3=tan∠7=CH/EH=1/3
   tan∠4=tan∠8=DI/EI=1/4

后面就很简单了，算出来的总和∠1+∠2+∠3+∠4好像是104°

[ 本帖最后由 why1994boy 于 2009-3-26 21:06 编辑 ]

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作者: 朱智浩 时间: 2009-3-24 19:55:59

我怎么算出来不是整数？用tan的合角公式

作者: why1994boy 时间: 2009-3-24 19:57:58 标题: 回复 2# 的帖子

....我们老师都想了很久呢

作者: qazwsxpy 时间: 2009-3-24 20:00:54

我记得。。。我好像做过。。。
只是记不起来了。。。哎，岁月不饶人啊。。。

作者: zaybxc 时间: 2009-3-24 20:10:56

用复数：（1+i）（2+i）（3+i）（4+i）=-10+40i 可得tan的值为-4。不好意思是高中内容！

作者: 5200521 时间: 2009-3-24 20:23:08

原帖由 zaybxc 于 2009-3-24 20:10 发表
用复数：（1+i）（2+i）（3+i）（4+i）=-10+40i 可得tan的值为-4。不好意思是高中内容！

楼上高手，我怎么没想到呢。岁月不饶人啊
我也想着是合角公式，不知道初中学了没。

[ 本帖最后由 5200521 于 2009-3-24 20:25 编辑 ]

作者: why1994boy 时间: 2009-3-24 20:49:15 标题: 回复 6# 的帖子

没有呢...听说考试要考这题...所以大家都吓死了

作者: 朱智浩 时间: 2009-3-24 20:59:36

复数应该没学初中。。。。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-24 21:13:55

等答案学习

作者: qazwsxpy 时间: 2009-3-24 21:23:42

这道题在什么知识点里拉。。。

作者: 乌木 时间: 2009-3-24 21:23:45

如果不求具体角度值，作图法可以得到四角之和的图示：
4角之和.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-25 15:30 编辑 ]

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作者: lulijie 时间: 2009-3-24 21:32:00

乌木先生的几何作图法很妙，不但能得出 ∠1+∠2+∠3+∠4 的正切值等于-4
∠1+∠2+∠3等于90°也一目了然。

作者: zhy3729 时间: 2009-3-24 21:53:02

不会!! 还没学!!!!!!!!!!!!!!1

作者: why1994boy 时间: 2009-3-24 22:03:23 标题: 回复 11# 的帖子

不愧是乌木老师，我朋友算了一个晚上终于算出来角1、2、3的和为90°，可是就是不知道角4怎么办...

作者: 5200521 时间: 2009-3-24 22:28:32

乌木先生果然高手，也可如图算出角三等于角五，则一二三之和为90，应属于常规做法，没乌木先生那么漂亮。楼主难道要的是角的度数？度数人没法算吧？计算器90+arctan(1/4)=104.036。个人认为这道题考的就是三个之和为90。

[ 本帖最后由 5200521 于 2009-3-24 22:35 编辑 ]

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作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-3-24 22:38:23

题目如果加上角四就没给初三做的意思了

作者: 乌木 时间: 2009-3-25 09:34:44

不妨脱开初中、高中什么的，就此题扩展一下，题目中那一排正方形排上无数个，相应的角从1、2、3、4、5…………n，n趋于无穷大，这些角的总和有极限吗？将是什么样的图像呢？

作者: Cielo 时间: 2009-3-25 10:18:04

前三个角加起来等于90°，有个更直观的图：

原帖由乌木于 2009-3-25 09:34 发表
不妨脱开初中、高中什么的，就此题扩展一下，题目中那一排正方形排上无数个，相应的角从1、2、3、4、5…………n，n趋于无穷大，这些角的总和有极限吗？将是什么样的图像呢？

由于 arctan x ≈ x，而 ∑(1/n) 是发散的，所以您说的这个总和是没有极限的！

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作者: scrpp 时间: 2009-3-25 10:27:07

吧里的学习氛围越来越浓了，今后家长应该鼓励孩子上“魔方吧”。

作者: lulijie 时间: 2009-3-25 12:50:07

回17#,我让电脑算过，好像总和越来越大，应该没有极限

作者: 乌木 时间: 2009-3-25 15:33:00

3角之和也可这样看：
4角之和2.JPG

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作者: cfmake 时间: 2009-3-25 15:37:26

这玩意我从来不弄！！也弄不明白！帮你顶！

作者: lulijie 时间: 2009-3-25 16:15:28

推广到n 个角相加，没有极限，n 很大时大约等于 0.3016+ln (n)。

作者: 骰迷 时间: 2009-3-25 21:42:02

嚴重佩服烏木老師！！！！只是不懂CIELO的圖，怎麼看九十度？

作者: 乌木 时间: 2009-3-26 09:43:27

原来如此，谢谢各位指点。
随着n增大，单单一个角是越来越小，n趋于无穷大时，这个角趋于0。但是，角度一次次累加的话，却无极限。不过，和角的增加速度是“每况愈下”：头三个角之和为90度；n大致为17时，和角刚刚超过180度；接下去用lulijie给的 0.3016+ln (n) 估算，n大约为85时，和角刚超过270度；n到约400时，和角才超过360度，……再往很后面的情景简直有点不可思议：每次都有些许长进，但是和角增大的速度越来越慢；每次的增加值越来越小，和角的大小在短时间内简直看不出变化，但却又不能说它不变，假以时日，经过“猴年马月”，却是可以觉察出变化的。

作者: Cielo 时间: 2009-3-26 09:48:21

原帖由骰迷于 2009-3-25 21:42 发表
嚴重佩服烏木老師！！！！只是不懂CIELO的圖，怎麼看九十度？

红线三角形是一个等腰直角三角形：

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作者: nickxcw 时间: 2009-3-26 14:39:43

很好啊！！有时除了魔方外，讨论一下这些题目也挺好的！！！

作者: 威震八方 时间: 2009-3-26 18:22:45

好聪明好聪明啊
我的智商总算是有人挑战过了啊

作者: why1994boy 时间: 2009-3-26 21:11:24

解决了........请乌木老师来看看...

作者: 乌木 时间: 2009-3-26 22:18:30 标题: 回复 29# 的帖子

1楼你的解法为：
“ 设图中四个全等的正方形边长为1
∵∠1=∠5 ∠2=∠6  ∠3=∠7 ∠4=∠8
所以tan∠1=tan∠5=AF/EF=1/1
   tan∠2=tan∠6=BG/EG=1/2
   tan∠3=tan∠7=CH/EH=1/3
   tan∠4=tan∠8=DI/EI=1/4
后面就很简单了，算出来的总和∠1+∠2+∠3+∠4好像是104° ”

我怎么觉得你既然从各角的正切值求各角，何必涉及∠5，∠6，∠7 和∠8呢？可以直接得到原来角1～4的各正切值，即可求得各角，则四角的和也就出来了。

一个三角形处于任何方位，都可以求某角的正切值，何必要让三角形摆得规规矩矩，未知角处于左下方，其对边为右边的直角边，其邻边为下边的直角边，然后再求出角5的值，再转而得到角1的值。这样累不累呀？
比如下图，直接求角1，何必让角5做“中介”呢？有的场合遇到有的角很大，处于第二，或第三，或第四象限等等的话，正切值的正负以及相应角度的大小完全有规律可循的。

4角之和3.JPG

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-26 22:30 编辑 ]

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作者: oboe 时间: 2009-3-27 14:27:33

原帖由乌木于 2009-3-26 09:43 发表
原来如此，谢谢各位指点。
随着n增大，单单一个角是越来越小，n趋于无穷大时，这个角趋于0。但是，角度一次次累加的话，却无极限。...

也许我极限没学好。
但理解中的定义是，极限就是不超过。
当然是最接近的那个不超过值。

比如有一个足够大的数，能超过３６０度么？
或者说，要达到７２０度的话，也能算出一个数达到么？

作者: 乌木 时间: 2009-3-27 15:44:00 标题: 回复 31# 的帖子

此事我也是觉得很奥妙。照23楼lulijie给出的、那样的n个角之和为 0.3016+ln (n) ，应该没有极限，只要n足够大，总可以超过2π 或4π等等的。上面我算过n约为400时和角超过360度，你没看到？n约为212000时，和角接近720度了。
用这式子计算角度时，6.283185307……就是360度（即2π ），等等。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-27 15:57 编辑 ]

作者: longqi2008 时间: 2009-3-27 18:12:33

这么简单也问.........
复数三角都可。

作者: lgbs_bl 时间: 2009-3-30 12:32:42

没搞明白为什么——角1+角2+角3=90度。
用最苯的方法来大约算下：角1=atan1/1=45度；角2=atan1/2≈29.52度；角3=atan1/3≈20.48度；角4=atan1/4≈15.6度；
那么角1+角2+角3=45+29.52+20.48≈95度，
我没算错吧？

作者: lgbs_bl 时间: 2009-3-30 12:46:58

对不起大家了，我算错了，我是用计算器随便按了下反正切求的角2和角3，得出的结果是角2=29度多，其实我的计算器让人设置的单位不是度，呵呵，现在更正过来了，角1+角2+角3=90度完全正确。

作者: oboe 时间: 2009-3-31 19:43:00

原帖由乌木于 2009-3-27 15:44 发表
此事我也是觉得很奥妙。照23楼lulijie给出的、那样的n个角之和为 0.3016+ln (n) ，应该没有极限，只要n足够大，总可以超过2π 或4π等等的。上面我算过n约为400时和角超过360度，你没看到？n约为212000时，和角接近7 ...

谢谢乌老
我想明白了。
如果把角度换算成弧度就好理解了。
给一个有限的弧度，就好比给定三角形的一个边。
只要这个边是有限的，那无论这条边对面的角再小，也能做成一个三角形。

作者: 金眼睛 时间: 2009-4-1 19:15:37

这道题的解法有很多种，最好方法是利用复数了，呵呵！

主要用到了复数相乘的几何意义，即两个复数相乘，积的辐角等于各复数的辐角和，很巧妙！

下面给出一种作图的方法，可以用纸板剪下来，拼在一起就是所求的四角和了：）

当然也可以继续剪下去，这也是一种n等分线段的方法，注意正方形的底边，当然n等分线段时矩形就可以了。

[ 本帖最后由金眼睛于 2009-4-1 19:29 编辑 ]

附件: [四角之和] 四角和作图求法.JPG (2009-4-1 19:29:42, 22.53 KB) / 下载次数 41
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