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标题: 1000!末尾有多少个零！ [打印本页]

作者: wwww 时间: 2006-6-24 12:08:03 标题: 1000!末尾有多少个零！

这是一个国外的奥林匹克题

经过我仔细研究有了最简单的思路

1000/5=200

200/5=40

40/5=8

8/5=1

1/5=0

200+40+8+1+0=249

那么1000！末尾就有249个零！

同理对于任何数的阶乘都适用

当然对他的研究不仅于此我还可以求出他右边不为零的三位数

如果谁有兴趣可以和我联系

my.163.163@163.com

作者: ayi2000 时间: 2006-6-24 13:38:52

末尾三个零的 1000 一个
末尾两个零的 100-900 9个
末尾一个零的每百位有9个，共 90个
末尾5的每十位一个共 100个
末尾2的同上

3*1 + 2*9 + 1*90 + 1*100 = 211

没钱买答案，不知道对不对……

作者: kim3 时间: 2006-7-6 23:48:36

对了

作者: 彳亍 时间: 2006-7-7 00:09:48

可以试试计算器，逢5则多一位0，而逢5的乘方会累加0。比如25 加 2个0，125加3个0。。。

类推

5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65... 1000 -- 200个

25 50 75 100 125.....1000 -- 40 个

125 250 375 500 625 750 875 1000 -- 8 个

625 -- 1 个

合计 249个0

作者: 彳亍 时间: 2006-7-7 00:13:13

呵呵，看下原理

把1 × 2 ×３× 4 ×……×N中每一个因数分解质因数，结果就像：
1 × 2 × 3 × (2 × 2) × 5 × (2 × 3) × 7 × (2 × 2 ×2) ×……
10进制数结尾的每一个0都表示有一个因数10存在——任何进制都一样，对于一个M进制的数，让结尾多一个0就等价于乘以M。
10可以分解为2 × 5——因此只有质数2和5相乘能产生0，别的任何两个质数相乘都不能产生0，而且2，5相乘只产生一个0。
所以，分解后的整个因数式中有多少对(2, 5)，结果中就有多少个0，而分解的结果中，出现5之前必然已经出现有2了，因此，有多少个5，就有多少个(2, 5)对。
所以，讨论1000的阶乘结尾有几个0的问题，就被转换成了1到1000所有这些数的质因数分解式有多少个5的问题。

作者: whitetiger 时间: 2006-7-31 10:30:41

在数论中，早就对这种题目有定论了！

n！中，含质因子p的个数为f(n,p)＝∑[n/p的k次方]。

其中，

表示取不超过数*的最大整数，k从1取到无穷（因为k足够大时，[n/p的k次方]为0）。

另，根据这个式子，如果质因子p1<质因子p2，那么f(n,p1)≥f(n,p2)。

对于这道题，彳亍的分析基本到位，就是不够理论化和简练。

只要算1000！中含5因子的数目即可。

[1000/5]=200，[1000/25]=40，[1000/125]=8，[1000/625]=1，之后全为0。

200+40+8+1=249。

（或者，[1000/5]=200，[200/5]=40，[40/5]=8，[8/5]=1。）

作者: whitetiger 时间: 2006-7-31 10:32:02

501×502×……×1000的末尾有多少个0？

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