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标题: 第三件惊奇的事 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-3-28 10:27:07 标题: 第三件惊奇的事

感觉这个版上的同志们讨论问题都比较积极啊，所以我再次发我知道的趣题。

如果你向某个对数学这个领域不太熟悉的人讲述数学的惊奇之处的时候，有两件事情有最高的引用率
（或者类似的故事）。第一件是说古代印度的时候有人发明了国际象棋，国王决定给他最高的奖赏，
问他要什么，他说要麦子。国王说你要多少我都有。于是他说在国际象棋的棋盘上，第一个格子放1粒
麦子，第二个格子放2粒麦子，其后面每一个格子放的麦子数是前面的2倍，我就要放满整个棋盘的麦子。
结果答案呢，2的64次方粒麦子超过了全世界小麦的总产量。类似的故事还有要铜钱作为奖赏的，最后
铜钱的高度有好几光年之高，反正都是那个骄傲的国王负担不起的。
第二个故事是说一只猴子在一台打字机上乱敲，总有一天他会敲出莎士比亚的一首十四行诗，或者还有
另一只猴子在一架钢琴上乱弹，说他总有一天会弹出一首贝多芬或者莫扎特的钢琴曲，诸如此类的。
当然，最后的目的就是想说明小概率事件必然发生这个道理。
现在，如果有人在人群中再讲上述类似的事情，那么你可以要告诉他第三件惊奇的事情，那就是刚才的
第一和第二件事合起来也对，不用什么猴子，只要2的幂一直往前走，就有莎士比亚的十四行诗了
（假定你给每个英文字母编上一个对应的数字）。

---------------------------------------------problem-------------------------------------------------------

证明：对任意的数x，都可以指定一个数N，使得2的N次方是以x这个数开头的。

-------------------------------------------------END-------------------------------------------------------

例如今年是2009年，指定x=2009，那么可以找到N=17770，2的17770次方=2009.........
香港回归是1997年，那么可以找到N=486，2的486次方是以1997.........开头
中国改革开放是1978年，那么可以找到N=13880，2的13880次方是以1978.........开头
新中国成立于1949年，那么可以找到N=16398，2的16398次方是以1949.........开头
抗日战争胜利是1945年，那么可以找到N=21640，2的21640次方是以1945.........开头
辛亥革命是1911年，那么可以找到N=12312，2的12312次方是以1911.........开头
注意，这个问题是证明存在性，就是说总会有一个N，而不是对所有自然数都通过计算机去暴力搜索。
注意，这些例子的数都是计算机搜索得到的，不要试图从我举例的这些数字中取寻找规律。

作者: purple 时间: 2009-3-28 10:32:03

若要某个概率的事件一定发生，实验就得重复无穷大次吧。。

作者: cfmake 时间: 2009-3-28 10:34:39

乱七八糟的，说白的就是巧合！！哈哈！！

作者: yang_bigarm 时间: 2009-3-28 10:40:27

原帖由 cfmake 于 2009-3-28 10:34 发表
乱七八糟的，说白的就是巧合！！哈哈！！

看来你没有理解我的问题的意思，我要说的是证明它一定存在，绝对不是巧合。

作者: mk^_^ 时间: 2009-3-28 12:42:49

有这个可能性 2的N次方有无穷个谁也不能把它们写出来

另外 x和N属于正整数吧？

[ 本帖最后由 mk^_^ 于 2009-3-28 12:48 编辑 ]

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-3-28 13:20:01

我给个想法吧：先证明对于任意正数a，都存在N，使得在数2^N的第一位后面加上一个小数点-1<a。（比如对于a=0.03,存在N=10，2^N=1024,1.024-1=0.024<0.3）
只要这个命题成立，那么原命题就成立。

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 13:20:27

所给的N都是最小值：
X=2000，N=2137
X=2001，N=8545
X=2002，N=1652
X=2003，N=5924
X=2004，N=1167
X=2005，N=5439
X=2006，N=682
X=2007，N=4954
X=2008，N=197
X=2009，N=4469 楼主所给的N=17770 不是最小值。
X=2010，N=10877
X=2011，N=1848
X=2012，N=8256
X=2013，N=1363
X=2014，N=7771
X=2015，N=878
X=2016，N=7286
X=2017，N=393
X=2018，N=4665
X=2019，N=2044
X=2020，N=4180
X=2021，N=1559
X=2022，N=3695
X=2023，N=10103
X=2024，N=1074
X=2025，N=7482
X=2026，N=589
X=2027，N=6997
X=2028，N=104
X=2029，N=6512
X=2030，N=1755
X=2031，N=3891
X=2032，N=1270
X=2033，N=3406
X=2034，N=785
X=2035，N=2921
X=2036，N=9329
X=2037，N=300
X=2038，N=6708
X=2039，N=1951
X=2040，N=6223
X=2041，N=1466
X=2042，N=5738

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 13:27:06

对于圆周率314159，自然对数271828
X=314159，N=267377
X=271828，N=2907230

作者: 122047397 时间: 2009-3-28 13:30:12

#9正解。

作者: everest 时间: 2009-3-28 13:36:44

我相信是巧合 .

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 13:39:30

随便出X，我都能求出N ，当然N不能太大，否则电脑吃不消时间。
楼主的结论是对的。

作者: kqwin 时间: 2009-3-28 13:45:15

无巧不成书，古人古语

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 13:59:07

计算两个数，p是正整数
d1 = ( ln(X) + p * ln(10)  ) / ln(2)
d2 = ( ln(X + 1) + p *ln(10) )  / ln(2)
若d2的整数比 d1的整数部分大 1。
那么N就等于 d2的整数。
因为 d2-d1 = ln(1+1/x)  / in(2)
所以 d2-d1<1  ， d2-d1  当X很大时接近于0。
所以为了使  d2的整数比 d1的整数部分大 1 成立，
必须使得 d1非常接近整数，也就是说它的小数部分必须是999999..........
也就是说，找到一个p，使得  d1的小数部分以足够多的9开头。或者使得  d2的小数部分以足够多的0开头。
      因为△d= d2-d1 = ln(1+1/x)  / in(2)  ，设△d的小数部分以M个0开头，那么M+1就是足够多。
只要证明蓝字部分，就可证明楼主的论断。

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 14:21:54

d1 = ( ln(X) + p * ln(10)  ) / ln(2)
=ln(X)/ln(2)  +  p* ln(10)/ln(2)
设 ln(X)/ln(2)  的小数部分为1- e1，n(10)/ln(2) 的小数部分为e2= ln(10)/ln(2) -3=0.32192809488.......
要 d1的小数部分以足够多的9开头，就是使
p*e2-e1以足够多的9开头，即  p*e2的小数部分足够接近e1,但要小于e1。
所以只要证明
   e2= ln(10)/ln(2) -3=0.32192809488.......
对于任意的e1  （在0和1之间的），一定存在一个正整数，使得  p*e2的小数部分足够接近e1,但小于e1。
------------------------------------------------------------------------------------------------------
推广一下：
证明：对于任意的e1和e2,       0<e1<1 ， 0<e2<1
一定存在一个正整数p  ，使得                                        （  f= p*e2 -int(p*e2)  即 f 是p*e2的小数部分。）
      f <e1  且 e1-f 小于任意给定的正实数。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-28 14:27 编辑 ]

作者: 骰迷 时间: 2009-3-28 17:37:28

（比如对于a=0.03,存在N=10，2^N=1024,1.024-1=0.024<0.3）
該是0.03吧

作者: kexin_xiao 时间: 2009-3-28 18:44:47

16楼是高手啊,学习一下

作者: lulijie 时间: 2009-3-28 20:37:10

17楼，我不明白你的意思，说详细一点。

作者: ZJY 时间: 2009-3-28 22:43:59

这些都要用计算机来算啊！用人手算，那得算到何年何月啊！

作者: yang_bigarm 时间: 2009-3-29 00:07:02

原帖由夏天于 2009-3-28 12:29 发表
我相信是巧合

是一定存在，不是巧合。

原帖由 mk^_^ 于 2009-3-28 12:42 发表
有这个可能性 2的N次方有无穷个谁也不能把它们写出来

另外 x和N属于正整数吧？

素数有无穷多个，谁也不能把他们写出来，但是你却知道存在无穷多个素数啊，
是要证明一定存在，没让你找出来到底是哪一个，同学。

原帖由 lulijie 于 2009-3-28 13:59 发表
找到一个p，使得 d1的小数部分以足够多的9开头。或者使得 d2的小数部分以足够多的0开头。

lulijie，你tm太牛了，还差一步就得到正解了，加油，不过这次把完整的解答贴出来吧。

上次也是你，第一个解出了“两个鸡蛋和楼房高度问题于是这次我出了这个“第三件惊奇的事情”问题，没想到你居然那么快就接近答案了”，佩服，佩服，不知道你是做什么工作的啊？

作者: Cielo 时间: 2009-3-29 11:35:03

原帖由 lulijie 于 2009-3-28 14:21 发表
...推广一下：
证明：对于任意的e1和e2,       0<e1<1 ， 0<e2<1
一定存在一个正整数p  ，使得                                        （  f= p*e2 -int(p*e2)  即 f 是p*e2的小数部分。）
      f <e1  且 e1-f 小于任意给定的正实数。

只要 e2 不是太特殊，这个论述一定正确！

思路与你以前的一个帖子《自然数的正弦问题》中差不多，
想象一下平面坐标系中有个圆心在原点、周长为 1 的圆周，从（1，0）逆时针走 e1 的距离处有个固定点 P；
现在有一个点从（1，0）出发，每一步都是逆时针走 e2 距离，这样其轨迹就是圆周上的一个又一个的点，只要 e2 不是有理数，这个轨迹将遍历圆周上的所有点，这样必定有无限接近 e1 且比 e1 小一点点的 f 存在！

作者: lulijie 时间: 2009-3-29 13:40:31

22楼已经涉及到问题的实质，
关键是这个轨迹将遍历圆周上的所有点跟【自然数的正弦问题} 的问题都是一个道理。
但都是我们想当然应该如此，但证明它，我不会。以前我也只是用电脑验证了一下，不是证明。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-3-29 13:44 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-3-29 13:43:44

关于我干什么工作，好像在本板块某个贴还是跟帖上提过，忘了在哪里了。

作者: lulijie 时间: 2009-3-29 20:54:57

对于任意的大于1的正整数m和无理数e2, 0<e2<1
一定存在正整数p ，使得 p*e2的小数部分小于 1/m 。
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在网上找到一个证明，用抽屉原理证明的。

作者: Cielo 时间: 2009-3-29 22:16:19

原帖由 lulijie 于 2009-3-29 13:40 发表
22楼已经涉及到问题的实质，
关键是这个轨迹将遍历圆周上的所有点跟【自然数的正弦问题} 的问题都是一个道理。
但都是我们想当然应该如此，但证明它，我不会。以前我也只是用电脑验证了一下，不 ...

嗯我说的“遍历”还不对，因为只能取到无理数，而无理数在数轴上稠密……
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原帖由 lulijie 于 2009-3-29 20:54 发表
对于任意的大于1的正整数m和无理数e2, 0<e2<1
一定存在正整数p ，使得 p*e2的小数部分小于 1/m 。
----------------------------------------------------------------
在网上找到一个证明，用抽屉原理证明的。

高中时候搞数学竞赛时貌似还见过这题的，好像确实是用抽屉原理，不过我现在不记得了

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-3-29 22:18 编辑 ]

作者: fm19960607 时间: 2009-5-28 14:23:18

你把一個魔方擰亂，然後亂擰，不考慮壽命等因素，總有一天你會還原。

作者: superacid 时间: 2009-5-30 17:57:01

就是Kronecker定理：
对任意无理数x，实数a，正数c，存在整数m,n使得
|mx-n+a|<c

作者: mops 时间: 2009-5-30 18:10:55

任何偶然事件，都有其必然性。。

作者: yq_118 时间: 2009-5-31 00:48:30

不是巧合，是个什么证明了的定理

作者: oboe 时间: 2009-6-2 11:56:18

我想到上个世纪的＂大预言＂

这么说我也可以出一本预言书．
某地会出现某事，而且和某某字相关联．

作者: conwood 时间: 2009-6-2 14:43:12

我相信这个命题是真的，想了一会，没想出来怎么证。

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-2 14:48:51

楼主好强大，非常佩服，学习。

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