魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: CFOP背后的数学定理 [打印本页]

作者: wyn1992 时间: 2009-4-4 21:03:01 标题: CFOP背后的数学定理

三阶魔方在对完前两层时，OLL情况为57种，而顶面翻角棱情况按概率法算是2四次方乘以3的四次方,共1296种,为什么成了57种了呢
早些时候人们在还原时发现,有些理论上存在的情况，可在还原时却怎么也遇不上，比如在前两层还原时，顶面不可能出现一个或三个棱翻上去的情况，而在顶面十字架成后，用概率算有81种，可实际遇见的只有七种，所以棱块和角块的翻角情况必然有他的规律，那么规律是什么呢？
数学家卡希尔和西斯梅尔【音】，从魔方的整体上考虑，用数学方法成功的证出来了棱块角块的翻角定律，那就是--一个魔方【六轴的】，它在正常状况下，棱块翻角之和只可能为180°的整数倍，角块翻角之和只可能是360°的整数倍。所有六轴魔方都遵循这两个定理，你可以这样试一试，把三阶魔方的有白色面的块的放到白中心块所在层，把中层棱块放到自己原来的位置【不需处于还原状态】，这样做方便于观察，你就会发现，角块翻角之和和棱块翻搅之和符合上述公式。
由于棱块只可能翻90°，所以棱块翻下去的只能是偶数个，也就基本否定了三阶魔方中OLL是，一个或三个棱块翻上去的情况，只有可能出现┕和一字或十字的情况，所以在中层有一个棱块正好错位，那再拼顶层时翻上去的棱块必为奇数个，这就是棱块翻角定律的作用
这样两个公式对魔方CFOP有重要意义，它把概率上顶层翻角情况由1296种一下子压缩到58种【去除一种还原状态，为57种】，这就使一次顶面翻色【OLL】所背的公式量达到人所能接受的程度【57个】
那么，知道了这两个公式，你自己能否推出OLL所有57种情况呢？这里个大家一个小小的提示
由于棱块只能翻一下，所以说比较简单，这里不介绍，这里只介绍角块的情况。一个角块翻上去另外三个角块情况有两种，像Gan公式的26，27一样。两个角块翻上去，有两种，即同侧和对侧，不存在三个角块翻上去的情况。
这里制作最简要的提示，目的是引起大家的思路，让大家自己去推，自己推更能加强大家对OLL57种情况的理解，对观察也是很有帮助的
最后还有一个数学定理，就是--在奇数阶魔方中，不可能出现一组棱块或一组角块单独对调的情况，这个定理也很重要，这使得用概率法算出来的有144种情况，下降到22种【去除一种还原状态，为21种】
正是有了这几个定理，使得CFOP方法得到普及，如果没有证出棱角快翻角定理，想要公式量到大家能接受的数量，OLL也不知道要几步完成。

[ 本帖最后由 wyn1992 于 2009-4-4 22:10 编辑 ]

作者: juventus66 时间: 2009-4-4 21:03:52

谢谢分享,学习了

作者: Cielo 时间: 2009-4-4 21:07:14

呵呵对这个感兴趣的魔友可以移步“理论区”！
里面有丰富的内容哈，比如上面提到的几个定律

作者: 西蒙 时间: 2009-4-4 21:08:08

学习了，虽然没啥收获

作者: dbds 时间: 2009-4-4 21:10:14

加深了理论知识，谢谢楼主

作者: 弘傑 时间: 2009-4-4 21:14:34

楼主说得不错，加分了......写在详细点发到理论区吧......

作者: 小波 时间: 2009-4-4 21:15:57

最后一句没看明白。。。。。。

作者: 依然旋转 时间: 2009-4-4 21:22:22

不错不错，顶了.....

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-4-4 21:31:26

顶了,很不错,学习了解下

作者: gejunji 时间: 2009-4-4 21:59:03

规律，了解。不过，还是习惯了背公式

作者: wyn1992 时间: 2009-4-4 21:59:13

原帖由 JAXUS 于 2009-4-4 21:14 发表
楼主说得不错，加分了......写在详细点发到理论区吧......

行，我再打个草稿，写详细些，这主要是给人了解的

作者: hexwing 时间: 2009-4-4 22:03:33

最后我也有点不明白
OLL的数量证明与否对cfop来说没什么影响吧？

作者: xiaoshudian 时间: 2009-4-4 22:08:16

谢谢分享,学习了.............

作者: Atato 时间: 2009-4-4 22:26:20

应该发到理论区去的,不过这个定理是怎么发现的?
莫非是通过大量的事实论证么- -
尽管魔方吧的理论区乱一点.这样的已经证实的理论也是没关系的.

作者: Atato 时间: 2009-4-4 22:29:12

而且我补充一点....
这个真的不希奇啊...

作者: harrymah 时间: 2009-4-4 22:29:34

嗯嗯，又长知识了~~~~~~~~~

作者: 乌木 时间: 2009-4-4 23:18:33

OLL等都是在转动一个正确魔方时的情况，并非随机组装时的情况。
三阶纯色魔方下两层复原后，顶层四个角块和四个棱块随机组装的话，顶面的颜色情况确实会有1296种－－3^4×2^4＝1296。
但是，当不许随机组装而只许经过转动魔方来改变顶面颜色情况的话，由于存在1楼所说的魔方转动时的色向变换规律，顶层四个角块的色向情况只有3×3×3×1＝3^3＝27，顶层四个棱块的色向情况只有2×2×2×1＝2^3＝8，3^3×2^3＝216种，再简并转顶时的重复情况，只要考虑8种角块色向情况和8种棱块色向情况的组合，组合后还有重复，最后就得到58种色向态。参看：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872&extra=page%3D7
至于PLL公式数为21，记得Cielo或哪位也有过很好的分析（一时找不到），记得也是精简掉不少可以经过转顶而转换的PLL情况等等，才得到21式。当然，角块、棱块的位置布排问题，首先要排除随机组装时可能而转动正确魔方时不可能的状态，即1楼提到的不允许单单互换两个块（以及相当于这样的一些位置循环，即先得到4！×4！/ 2＝576 / 2＝288），然而不仅仅如此。

总之，1楼所说的规律在OLL情况精简中的功劳仅为使1296减为216，进一步减为58的过程与它无关；在PLL情况精简中的功劳仅为使576减为288，进一步减为21也和1楼的规律无关。
所以，1楼说什么“……由1296种一下子压缩到58种……”云云不妥。

[ 本帖最后由乌木于 2009-4-5 12:11 编辑 ]

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-4-5 12:07:53

计算不够严密，或者说很不严密。。。因为其实pll不是21种。。严格讲是72种（其实只是除去了144的一半而已），前面的oll数量计算也有问题。。。

作者: longqi2008 时间: 2009-4-5 20:17:15

赞~~~~~~~~~

作者: kexin_xiao 时间: 2009-4-5 23:27:53

感谢LZ和乌木老师的讲解，学习了！

作者: Feng2_0 时间: 2009-4-6 09:56:46 标题: 理解有点难

长见识了，谢谢楼主，

作者: 韓左左 时间: 2009-4-7 21:54:30

这等好贴子一定要收藏！

作者: his163 时间: 2009-4-15 11:49:17

学习收藏了

作者: FairyTale_WL 时间: 2009-4-15 12:52:06

记得有人做过一个图,把57种情况都组合出来了/

作者: haopengyou047 时间: 2009-4-15 13:36:46

学习了，以前一直也觉得奇怪呢～

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-13 11:31:46

很好啊.....一直想了解一下这方面的东西..没想到你写的这么详细了

作者: 业余魔术师 时间: 2009-8-13 12:10:30

如果没有证出棱角快翻角定理，想要公式量到大家能接受的数量，OLL也不知道要几步完成。

是先发现了现象，才去证明的定理吧。即使没证明出这个定理，OLL不也是57个？

作者: ic4473533 时间: 2009-8-13 12:44:27

嗯，说得好！！收获不少！

作者: zhang197695 时间: 2009-8-13 13:00:26

学完这一贴，又让我长知识了！

作者: 263641978 时间: 2009-8-13 13:18:44

好强.......................

作者: biao1023 时间: 2009-8-13 20:46:25

很深奥，但是很有趣~~~~~~谢谢分享

作者: zihansh 时间: 2009-8-13 22:49:15

看上去，说的不错，但有点晕。

作者: laotian 时间: 2009-8-14 17:39:13 标题: 服了

的的确确的，知识就是力量啊

作者: 热火随寒 时间: 2009-8-14 17:56:40

以前只知道背，现在有点明白了！

作者: 乌木 时间: 2009-8-14 19:14:19

下两层复原后，顶层的状态总数确实很多。如果是顶层四个角块和四个棱块随机组装的话，其中四个角块和四个棱块色向的变化数，确实是3＾4×2＾4＝1296；但由转魔方的方法，因受“色向和为零”规律的限制，四个角块和四个棱块色向的变化数就只有3＾3×2＾3＝216。不过，这216种情况并非都要给出OLL公式的，魔方可以整体旋转，故可以合并一些相同情况，这样，角块要翻色的情况只有8种，棱块要翻色的情况也只有8种，两者组合数8×8＝64种。这64种之中，有几个是重复的，有一个是已经顶面同色，即已经完成OLL了，所以只要给出57个OLL公式足够了。详见：http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=22872

到了PLL阶段，顶层四个角块和四个棱块的位置随机组装的话，位置变化数是4！×4！，但是，由转魔方的方法得到的位置变化数，因受“不能单单交换两个魔方块”规律的限制，只有4！×4！/ 2＝288。同样，不必给出288个PLL公式的，经过转顶和魔方整体旋转，可以合并一些情况，再扣除几种角块、棱块位置相对而言已经正确的情况，最后精简为21个PLL公式。不过，从288精简为21的具体过程，我还说不清，大家补充。

作者: AndrewHuang 时间: 2009-8-14 21:31:05

理解理解
多谢了~~

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)