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标题: 上海比赛归来，发个很巧妙的题目 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-4-7 20:11:56 标题: 上海比赛归来，发个很巧妙的题目

昨天去参加上海公开赛了，就差一点就进决赛了，当时太紧张啦，郁闷啊！
来发一下今天的题目。

---------------------------------------Problem---------------------------------------------------

平面上有3个圆A，B，C，现每两个圆做他们的公切线，交于1点，那么这样的点一共有3个。
证明：这3个点在一条直线上。

-------------------------------------------END---------------------------------------------------

这可以算作是另外一个棺材问题，就是说解答只要几句话，但是不容易想到。

附件: [3个红色的点在一条直线上] final.jpg (2009-4-7 20:11:56, 26.5 KB) / 下载次数 40
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NDQ1MTB8ODkzNmQwNzZ8MTcxNzY4MzYzMHwwfDA%3D

作者: yonggang 时间: 2009-4-7 20:31:00

呵我来做做看呵，还好像我在初中或是高中的时候做过
用反证法来做这个题就一目了然了，你试试

[ 本帖最后由 yonggang 于 2009-4-7 20:33 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2009-4-7 20:34:12

高中竞赛培训时见过这题，所以我就不答了，期待有高手能自己想出来

作者: Cielo 时间: 2009-4-7 20:38:11

原帖由 yang_bigarm 于 2009-4-7 20:11 发表
昨天去参加上海公开赛了，就差一点就进决赛了，当时太紧张啦，郁闷啊！
...

我看了一下，发现上海赛三阶高手很多，不过整体报名参赛者的水平其实不算高，以我北京赛第一轮被淘汰的成绩可以勉强进决赛

P.S:也能猜出楼主是谁了

作者: 魔鱼儿 时间: 2009-4-7 20:43:12

楼主也很强啊,那个题不会,呵呵

作者: tjsh 时间: 2009-4-7 20:48:48

3组公切线的交点一定在同一直线上。假想这3个圆是一个水平面上的3个球，那么其公切线就是其透视线，它们的交点都在远处的地平线上。

作者: kexin_xiao 时间: 2009-4-7 20:50:52

又是几何，都忘了！和大家学习一下

作者: veteranhit 时间: 2009-4-7 23:03:55

原帖由 tjsh 于 2009-4-7 20:48 发表
3组公切线的交点一定在同一直线上。假想这3个圆是一个水平面上的3个球，那么其公切线就是其透视线，它们的交点都在远处的地平线上。

对，其实共线的那条线就是三个球顶构成的面与水平面的交线。

作者: Icet0wn 时间: 2009-4-8 09:01:04

根据公切线的交点在两园圆心的连线上来做
用反证法~~

作者: Cielo 时间: 2009-4-9 10:26:45

原帖由 veteranhit 于 2009-4-7 23:03 发表

对，其实共线的那条线就是三个球顶构成的面与水平面的交线。

这是标准答案了

作者: magi 时间: 2009-4-9 21:26:24

很好很强大，把平面的看做立体的！这就是玩魔方的益处，提高立体感

作者: 骰迷 时间: 2009-4-10 15:00:59

看了幾次看明白了，確巧妙

作者: 华容道 时间: 2009-4-10 19:21:17

原帖由 tjsh 于 2009-4-7 20:48 发表
3组公切线的交点一定在同一直线上。假想这3个圆是一个水平面上的3个球，那么其公切线就是其透视线，它们的交点都在远处的地平线上。

强！太巧妙了。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-4-10 19:29:02

我也想到这个方法。老师说确实很好

作者: 904558626 时间: 2009-4-10 20:14:52

很强啊，我是一点头绪也麽

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-4-11 23:14:29

实际楼主只给出大的方法，没有给出数学论证

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-4-11 23:37:32

以三个圆心各自以该圆的半径做球。然后做三个球的外公切面。得到的任意两公切点所在的直线到其中被切圆圆心距离是等于原先平面上切线到该圆圆心距离，而且两条圆心到直线距离线是平行的。用比例算得，两球的连心线和该切面的交点就是原平面上两圆外公切线的交点。得出三个交点既在原平面上，又在异于该平面的三个球的切面上。两个相异的平面交的是直线，故原三点在此直线上。

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