魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 浅谈4.3×10^19 [打印本页]

作者: 乌木 时间: 2006-8-14 11:51:38 标题: 浅谈4.3×10^19

六个中心块的相对位置关系不可能变，有一种观察方法是把坐标系建在中心块上，这样，它们对于魔方花样总数无贡献。
转动魔方时，角和棱的变化有多少种？

8个角块，位置有8个，位置不同（不管色向）引起的角态总数为8！种；每个角块有3种不同的颜色朝向，但角的色向不同引起的总数不是3^8种，而是3^7种。因为每次转定了7个角块的方向后，第8个角块的方向就定了，无法单独改变第8个角块的颜色方向（而不影响前7个角块的色向）。

12个棱块，12个位置，位置不同（不管色向）引起的棱态总数为12！（有人说“ 11个棱块也决定第12块的位置，故应为12!×1 / 2 ”，不妥！角块、棱块位置方面的总数要除以2，该另行解释）；每个棱块有2种不同的颜色朝向，但棱的色向不同引起的总数不是2^12 ，而是2^11。因为每次转定了11个棱块色向后，第12个棱块的方向就“死定了”，无法单独改变它。

待续

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-16 21:00 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2006-8-14 11:52:52

此外，在角态和棱态配对成一个个花样时，就各块的位置而言（不管色向），有个重要问题：

一、8！种角态中有8！/ 2 个属于“扰动态”，另8！/ 2 个为非扰动态。同理，12！/ 2 个扰动态棱，12！/ 2 个非扰动态棱。

二、扰动角态只能配扰动棱态，非扰动角态只能配非扰动棱态。
（关于 “扰动” ，请见理论区pengw的文章。）

所以，转动魔方时仅仅由于角和棱位置变化而得的花样数为（8！/ 2）×（12！/ 2）＋（8！/ 2）×（12！/ 2）＝8！×12！/ 2 。

再考虑色向，则转动三阶“纯色”魔方能得到的花样数为8!×3⁷×12!×2¹¹/ 2 （＝4.3×10¹⁹）

顺便说一下，如果不计后果――不管魔方能否复原，任意组装角和棱（当然，六个中心块确定后不再变动），则三阶魔方花样总数就是8!×3⁸×12!×2¹²（＝5.2×10²⁰）。其中1/12（即4.3×10¹⁹）能复原，11/12不能复原――你对它唱“爱上一个不回家的人……”吧。

作者: Doo 时间: 2006-8-14 12:13:30

说实话没怎么看懂

但是最后一段的大字看懂了

乱装魔方我是没试验过

但是我试过把中心块的盖子拿掉

打乱魔方，然后还原（盖子还没装上）

最后只剩下两个相邻棱了

是三阶不可能出现的状态

最后结果是……我的相对位置选错了……

说一句题外话：乌兄还听幽默“你对它唱“爱上一个不回家的人……”吧”

作者: 乌木 时间: 2006-8-14 16:45:02

是 8！和 3⁷没弄明白吗？

2子占2位：12，21，共2！＝2；3子占3位：123，132，213，231，312，321，共3！＝6；8子占8位：8！＝40320；12子占12位：12！＝479001600 。

任意组装8个角时，8！＝40320种位置态中的任一态拿来，一细看，啊，每一子可以有3向变化，8子有3⁸种色向。故8个子位置和色向都考虑的话，任意组装时有8！×3⁸种花样。

但是一个组装好了的魔方（不管它装对装错），要想经由转动魔方来单独改变一个角的取向，而不牵连另7个角，是不可能的（你不妨试试就知），故8个角经转动、最后各自位置不变的话，仅由各个角的取向改变而得的花样总数为3⁷，那最后一个角的取向自由被剥夺了，它只能“听‘七’由命”－－前7个的取向是某种情况时，老八就是取向1，前7个取向是又一种情况，老八就是取向2；前7个取向是再一种情况，老八只能是取向3。可见，它不是不能全部展现自己，而是不能“自主”地展现自己。只要前7个取向已定之后，老八的取向选择总是1种－－三种取向之一，但不是三种任取的。这样，转动魔方时，8个角的取向花样为 3⁷×1＝3⁷。

故8个角位置和色向都考虑的话，经转动所得的花样有8！×3⁷种花样。

2¹¹（而不是2¹²）的由来类同。

还有什么问题，请提出来，我们共同讨论。

[此贴子已经被作者于2006-8-16 9:44:29编辑过]

作者: jasonyang 时间: 2006-8-14 18:48:23

乌木的数学知识不少啊，佩服。

作者: 乌木 时间: 2006-8-14 23:00:41

1楼和2楼本来没分开，文字不算多，发表时竟报错，不得不分为两块豆腐干发表。何故？别人有的帖子一个楼层内文字显然大于限制数，可还是贴出了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-15 19:59 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2006-8-15 10:02:22

不是我数学知识不少，相反，见了这些排列、组合以及逻辑推理之类的问题，我就怕。上面关于4.3×10¹⁹，我是试着凑pengw兄的答案的，还不知道凑的过程对不对呢。

顺便来凑凑二阶魔方的花样数3674160。仿照上面所述，8个角块能转出的花样数为8！×3⁷＝88179840。

但是，pengw文章说：“偶阶魔方的层转动,可产生与魔方整体转动相同的效果,因此,偶阶魔方的一个状态有24个同构状态,因此,偶阶魔方状态数的计算结果要除以24.”

我理解这24个同态是，某一花样的二阶魔方，任一面向上时可取4个方向，六个面轮流向上，共24种表观不同的、实际一样的花样。此即24个同态。

88179840/24＝3674160，答案凑出来啦！

问题是，pengw文章说：“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*3”，好像不对吧？

此式是每考察一个角块，位置可能数和取向可能数一起算的吧？角老大，有8个位置可放，每位3个取向，故老大的状态数为24；角老二，只有7个位置了，每位3个取向，老二的状态数为21……老七，有两个位置呀，其状态数应该是6呀，怎么pengw兄的式子中说“3”呢？老八，仅有一个位置，取向数虽然有3，但不是任意取的，要看前七个角如何，才能也只能3种取向之一拿出来，没有“自主权”！！！故老八的状态数为1×1＝1 。所以，我想，pengw的那句话是否应改为“边角块簇状态数:A=24*21*18*15*12*9*6*1”？

这样，A才等于88179840，消同态即除以24后，才等于3674160 。

不知我理解得对不对？

作者: 乌木 时间: 2006-8-16 11:35:24

比如，有个合格魔方，老大到老七转动得到8！×3^7种角花样之三种，分别如图一到图三所示，相应地，老八分别只能乖乖地如图所示取向（相应的java图见下一楼）。
当然，其余（8！×3^7－3）个角花样中，老八（其位置，在8个方位中都有机会去）分别所取的方向，总起来说仍然是那三种！只不过它的取向是0°、＋120°还是－120°，要定义一下，理论区pengw文章讲了。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-15 20:06 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2006-8-16 11:59:56 标题: 角块“老八”不得不如此

第8个角块（红绿白）不得不如此：

[此贴子已经被作者于2006-9-30 14:54:35编辑过]

作者: 子非鱼 时间: 2006-9-30 11:38:28

此贴要收藏，进一步研究，顺便帮乌木兄顶，期待更深的研究和收获。

作者: 乌木 时间: 2007-12-19 16:59:33

为了对一个魔方的状态总数之巨大有个大致的感性认识，不妨想想这一比喻：

比中国面积还要大的 1千万平方公里等于1×10^19平方毫米（没算错吧？）；三阶纯色魔方的状态数约为 4.3×10^19；假想一个魔方缩小到1立方毫米，有如一粒沙子般，把同一魔方的多于4千亿亿个状态的“魔方沙”紧挨着平铺一层，其面积比4个中国面积还要大。

在如此巨大的“魔方沙”的海洋中，在如此众多的数量中，您找不出两粒完全一样的状态！

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-15 20:07 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-1-1 19:40:27

为了对一个魔方的状态总数之巨大有个大致的感性认识，还可以设想把上述4.3×10^19粒“魔方沙”（每一粒为1立方毫米）整齐、紧密地码放到一个房间内，看看这个房间要多大。

1立方公里等于10^18立方毫米（没错吧？），43立方公里就是4.3×10^19立方毫米；如果一个房间的容积尺寸为3.5公里×3.5公里×3.5公里，它小于43立方公里，还装不下这么多的“魔方沙”！

最大的胡夫金字塔的原体积约为25832 . 8立方米（该金字塔原底边长230米，原高146.5米，其体积没算错吧？）；43立方公里就是43×10^9立方米，它约等于1664550座胡夫金字塔！如果按照43.25×10^9计算，约为1674228座胡夫金字塔。大概说起来就是167万座胡夫金字塔。

没算错吧？结果真有点不可思议！

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-15 20:09 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-1-1 20:41:33

补充：那些“魔方沙”堆积出的大立方体或金字塔可都是实心的，如果像普通沙子那样乱堆，内部有许多空隙，则体积将更大！

作者: 乌木 时间: 2008-1-3 12:05:46

想想此事还有奇妙之处。单独一个魔方变换出来的花样数目之巨，已经令人不可思议。可是，这么多的花样只是依靠少得可怜的18种动作（UU'U2RR'R2…………）做出来的！任何一个花样要复原的话，只要寥寥几个、几十个公式，最多记上几百个吧；甚至掌握一定规律后只用“一式解万方”。相对于那么巨大的天文数字，复原过程可以说是“以不变应万变”啊！这还是人工复原；据说，理论上认为魔方的最远态仅22步左右，而且最远态这一代的数量还不是最大的，大多数的态距离初态仅十几步。一代一代排列起来呈一种“大肚”状。在“魔方”身上同时蕴含着“多”与“少”！联想到今日宇宙起源于当初极小空间（对吗？）的大爆炸，似乎有某种共同之处。

[ 本帖最后由乌木于 2008-1-3 15:20 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2008-1-3 15:30:51

人们常用快速数数历遍某一大量事物的方法来描述其巨大。如果一年算31556926秒，你不妨算算：假如一秒钟能数1000个态，要数完4.325×10^19个态，是不是要花上约14亿年！

作者: 乌木 时间: 2008-2-15 18:32:46

状态总数式子的解释蛮难的，今天在另一帖（http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=5938&extra=&page=1）的跟帖中我又试着解释了一下，转贴于下：

不少介绍魔方的资料都有这个算式，其深入浅出的解释，我记得好像还是“占星”贴出过的那些话，一时找不到。

该式的分子表示：六个中心块不动，8个角块和12个棱块随机组装的状态总数。8个角块放入8个角的位置和12个棱块放入12个棱的位置的放置法的总数当然是8！×12！；角块有3个色向，棱块有2个色向，所以棱角随机组装的总数还要乘以3^8×2^12。

问题是，这么多随机组装出来的花样中有许多是一个正确魔方拧不出来的。分析如下：

角块的色向来说，前7个角块拧好之后，最后一个角块的色向，根据魔方转动的规律，就没有3种选择余地了，只能根据前7个角块的色向如何而呈现一种色向（当然是其三种色向之一，具体是哪一色向？此处略），这样，必须排除2/3，留下1/3，故分母上有个“3”。

棱块的色向来说，前11个棱块拧好之后，最后一个棱块的色向，根据魔方转动的规律，就没有2种选择余地了，只能根据前11个棱块的色向如何而呈现一种色向（当然是其两种色向之一，具体是哪一色向？此处略），这样，还要排除1/2，留下1/2，故分母上有个“2”。

分母中还有一个“2”的解释：在棱角随机组装数中，与位置布排有关的因子“8！×12！”也不是都能由正确魔方拧出来的。根据魔方转动规律，合计20块的棱和角靠转动布排到最后两个块（或是两个棱块，或是两个角块，无所谓）时，它俩面对着两个空位，布排方式并没有两种选择！必须根据前面18个块的布排情况如何而只能呈现两种排法之中的一种排法，不能更换为另一种（具体是哪一种？此处略，但可以理解为不能单单互换两个块），这样，又要去掉一半数目。

可见，随机组装态只有1/（3×2×2）＝1/12的概率是可以经过转动魔方而复原的态。

[ 本帖最后由乌木于 2009-3-16 21:13 编辑 ]

作者: juventus66 时间: 2009-3-15 19:54:04

感谢分享,学习了

作者: 乌木 时间: 2009-3-16 21:22:08

此题后来我另写了一帖：http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... &extra=page%3D1

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