最早最古老的，巴比伦人的杰作，我把原话的意思配制了图形。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 12:50:24编辑过]
附件: [古老的方程图解] FMrj7B2h.gif (2006-10-11 10:42:57, 5.43 KB) / 下载次数 82嗯。真妙！式子和图完全对应起来了。
能否把第二个根 X2＝-[c+(b/2)^2]^0.5 - b/2 画成图呢？（我不会）
可能要结合数轴吧？把大、小正方形的边长之和，翻到负轴上去截取一段线段？（X^2那个正方形叫作“中正方形”吧。）
[此贴子已经被作者于2006-10-11 14:42:04编辑过]
如果是ax^2+bx-c=0，仍然可以作图。
一般先从整数型分析，比如当a=2、3、4、5、……时，找出与b之间的关系。
N年前的研究手稿丢了，现在只能凭回忆慢慢再来，也不妨大家共同来研究一下，非常有趣的。
这个问题现在公认为印度人韦达解决的，那么我们可否试试，也可从中学习点什么。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 0:45:30编辑过]
结合上图，从中找出引入a后，a与b之间的关系，a与c之间的关系。
很显然，引入a后，即有：b/a、c/a之间的密切关系。
从贴出的拼图中可以理解此间的关系了吗？
当整数型都符合时，任何小数型也是这种密切的关系吗？
答案如是的话，那么对于ax^2+bx-c=0，就有了解。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 1:29:58编辑过]
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[此贴子已经被作者于2006-10-12 12:25:53编辑过]
附件: [古老的方程图解] DrRQlkak.gif (2006-10-12 12:13:53, 5.84 KB) / 下载次数 87附件: mghdwsDm.gif (2006-10-12 12:25:40, 6 KB) / 下载次数 70显然大正方形边长等于中正方形边长加上小正方形边长。
小正方形边长是b/2，中正方形面积是c+（b/2）^2。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 12:36:33编辑过]
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这是我最喜欢的个人拼图之一，你能否解读其中的奥秘？
附件: [[原创研究]古老的方程图解] 9u8DKRBs.gif (2006-10-12 14:02:43, 3.8 KB) / 下载次数 71
7楼此题大概是要我们给出 X＝[（b/2）^2 ＋c]^0.5 ＋b/2 吧。
那么，1楼的第2个根和7楼的第2个根能否由类似的图得到呢？
[此贴子已经被作者于2006-10-12 19:34:20编辑过]
一般我们有方程ax2+bx+c=0，书本上有求解公式。 如果现在我们有方程ax2+bx-c=0，教课书上是怎样求解的呢？ |
[此贴子已经被作者于2006-10-12 21:02:47编辑过]
ax2+bx-c=0
假设a=2，b=5，c=11，即为2x2+5x-11=0
求x的值。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 21:15:29编辑过]
乌木先生在11楼所答是正解。
13楼解题就要用到6楼的方法。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 21:27:46编辑过]
我来出一道数学难题：
AA=B，当B给定实数时，求A的值。
比如，AA=10，求A的值。
这个问题涉及数学级次，
分析：
第一级，A+A=10，2A=10，A=10/2。
第二级，A*A=10，A2=10，A=根号10。
第三级，AA=10，难了！
第一级问题，我们用了第二级方法去解得。
第二级问题，我们用了第三级方法去解得。
第三级问题，我们……。
而第四级更高层次的方法我们还没有建立。
这就是难题的真正所在。
[此贴子已经被作者于2006-10-12 21:56:11编辑过]
基础的图就是这个，教科书上应该是作为“和差平方”的图解。
其实，也是二次方程的基本解法，因为解二次方程本来就是基于“配方法”的。
因为古人没有负数的概念，所以会总结出多种二次方程的形式。（首项系数a是不用的，可以除去。）
主要形式有：
x2+bx+c=0（这种形式是不需要考虑的，因为无正数解！）
x2+bx-c=0（这种形式必定有唯一正数解！）
x2-bx+c=0（这种形式只有当b2≥c有2个正数解。）
x2-bx-c=0（这种形式必定有唯一正数解！）
首项是负的，古人应该也是考虑的，但本质就是三种！
前面的帖子中，最后一种形式x2-bx-c=0无图解。
我来出一道数学难题：
AA=B，当B给定实数时，求A的值。
比如，AA=10，求A的值。
这个问题涉及数学级次，
分析：
第一级，A+A=10，2A=10，A=10/2。
第二级，A*A=10，A2=10，A=根号10。
第三级，AA=10，难了！
第一级问题，我们用了第二级方法去解得。
第二级问题，我们用了第三级方法去解得。
第三级问题，我们……。
而第四级更高层次的方法我们还没有建立。
这就是难题的真正所在。
不是不能解，而是不能用简单的方法表示！
AA=10，我可以知道A确实唯一存在，也可以用数值方法知道A的近似值，但是我们没有创造出一种专门表示这个A的形式。
其实就是求AlgA=1的解，这是个超越方程，现在的解释就是这样。
不能算是难题，就象当初不知道怎么表示满足10x=2的x值，结果引入对数概念，现在就可以写成：x=lg2。但这个lg2也仅仅是个符号而已！
假设b<x，随着a的增大，c/a的面积会越来越大。
[此贴子已经被作者于2006-10-13 12:10:14编辑过]
附件: [[原创研究]古老的方程图解] pEv4CuJO.gif (2006-10-13 12:05:41, 4.36 KB) / 下载次数 84基础的图就是这个，教科书上应该是作为“和差平方”的图解。
其实，也是二次方程的基本解法，因为解二次方程本来就是基于“配方法”的。
因为古人没有负数的概念，所以会总结出多种二次方程的形式。（首项系数a是不用的，可以除去。）
主要形式有：
x2+bx+c=0（这种形式是不需要考虑的，因为无正数解！）
x2+bx-c=0（这种形式必定有唯一正数解！）
x2-bx+c=0（这种形式只有当b2≥c有2个正数解。）
x2-bx-c=0（这种形式必定有唯一正数解！）
首项是负的，古人应该也是考虑的，但本质就是三种！
前面的帖子中，最后一种形式x2-bx-c=0无图解。
……“前面的帖子中，最后一种形式x2-bx-c=0无图解。”
11楼与18楼都是图解，18楼是引入a系数的通解图。
[此贴子已经被作者于2006-10-13 12:17:06编辑过]
密切相关的方法。
在x2+2xy+y2=(x+y)2
当x2+2xy=c，2y=b，求x的值。
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附件: [[原创研究]古老的方程图解] xY0orwJQ.gif (2006-10-14 12:05:56, 6.25 KB) / 下载次数 60[转载]一元三次方程求根公式的解法
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注：此文是网友来信相问所做,发在网上供需要者使用。另，电脑上表示数学公式不方便，特请注意。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
后记：
一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。
二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。
三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推理）求解不出来的问题，换一个思维，用归纳法（及通过对简单和特殊的同类问题的解法的归纳类比）常常能取得很好的效果。事实上人类常常是这样解决问题的，大科学家正是这样才成为大科学家的。
一元二次方程是一个长方形的图解，而一元三次方程正好就是一个立体长方形的图解。
在一元二次方程的图解中b/2，在一元三次方程的图解中b/3。
[此贴子已经被作者于2006-10-15 9:33:39编辑过]
附件: Pn3keuPF.gif (2006-10-15 09:29:34, 4.24 KB) / 下载次数 78怎样解呢？
[此贴子已经被作者于2006-10-15 10:22:50编辑过]
附件: [[原创研究]古老的方程图解] W1hKj0HU.gif (2006-10-15 09:59:55, 4.84 KB) / 下载次数 91附件: NoS0PmBi.gif (2006-10-15 10:05:02, 4.86 KB) / 下载次数 96| 欢迎光临 魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/) | Powered by Discuz! X2 |