魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 史上最难的初等几何问题？ [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-5-29 20:18:20 标题: 史上最难的初等几何问题？

首先申明一点，此题昨天网上刚看到，无答案，颇具挑战，我也早上才看到，思考了一下午，没什么有效解决办法。打算这个周末再攻克两天。不过现在忍不住啦，看吧有没有高手可以解决。呵呵，题目蛮有挑衅的味道，我就将原文引用如下吧：

给你四个角度值，请用初等平面几何知识找出x的角度值是多少。这是一道相当难的平面几何题。在这里，这道题被称为是世界上最难的初等几何问题。那个网页上还有这个问题的另一个版本，号称是“世界上第二难的初等几何问题”。引用它的几句话：
“你只能使用初等几何知识，比如三角形内角和为180度，全等三角形判定法则等等。你不能使用高级的三角学知识，比如正弦定理、余弦定理等等。
“这是我见过的最难的几何问题。它的确可以用初等几何的方法做出来。这是一个很“正常”的题目，解决它并不需要什么匪夷所思的诡计。
“抱歉我不会给出这个问题的证明或答案。你只能自己一直做下去，直到问题被成功解决，或者你被这个问题彻底整疯。
“这个问题有多难？任何一个初中学生都可以读懂证明，但能自己找到证明的人非常非常的少。给我发来电子邮件的几百个人中，估计只有1%到2%的人（多数都是数学教授和大学学生）最终解决了这个问题（没看任何关键的提示）。大多数人以为自己找到了答案，但它们的证明是错误的。
“这个问题已经在很多地方发表。问题2第一次出现在1922年，问题1第一次出现则是在70年代。我不会告诉你这个问题出自哪里，否则很多人会直接在网上搜答案，而不会去绞尽脑汁地想问题。”

附件: 222.jpg (2009-5-29 20:18:20, 7.57 KB) / 下载次数 448
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTI2MjJ8N2Y0NDQzZWR8MTc2MTUyNzMyMXwwfDA%3D

作者: yq_118 时间: 2009-5-29 20:20:40

先占楼再看

……………………………………………………
不用三角函数，还真有难度。仔细考虑下。
……………………………………………………
好像是20度。
……………………………………………………
关键是证明AB=CE。
……………………………………………………

[ 本帖最后由 yq_118 于 2009-5-30 16:28 编辑 ]

作者: 炀燚 时间: 2009-5-29 20:23:20

大致一看还看不出什么

作者: Osullivan 时间: 2009-5-29 20:24:19

谁会了先别忙公布答案，等楼主我考虑两天。过两天再发哈~~~~~~~

作者: r_517 时间: 2009-5-29 20:30:19

这题不是我初一初二的时候的华罗庚金杯的题目么。。不难吖。。很多人都做对的

作者: allan521machao 时间: 2009-5-29 20:58:56

10度
~~~~~~

作者: zhaolin 时间: 2009-5-29 21:28:23

20度
。。。。。。。。。。。

作者: yq_118 时间: 2009-5-29 21:30:27

用作图的方法是20度，用三角函数可以算出来，稍微麻烦点。
纯平面初等几何比较难。

作者: Cielo 时间: 2009-5-30 00:45:42

以前有人发过这问题，不过好像没人给出初等解答
http://bbs.mf8-china.com/viewthr ... page%3D9&page=1

作者: isaacking 时间: 2009-5-30 01:31:14

如果X=20下面就有不成立的等式了，以下所有方程都是初等几何可以获得的结果，可惜不能直接获得等式，外角等于另外两个内角之和
x+y=140
z-x=10
x+w=150
w-y=20
y+z=140
z+w=160

[ 本帖最后由 isaacking 于 2009-5-30 01:38 编辑 ]

附件: [解题辅助用图] 222.jpg (2009-5-30 01:31:14, 18.32 KB) / 下载次数 207
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTI2Nzh8YTJkZjI2MTV8MTc2MTUyNzMyMXwwfDA%3D

作者: jackytsz 时间: 2009-5-30 02:50:37

x+y=140                -v
z-x=10                      ->    z+y=150    -v
x+w=150                -v
w-y=20                      -> x+y=130 -> z-x=20??!?
y+z=140                   -v
z+w=160                ->    w-y=20

作者: Osullivan 时间: 2009-5-30 09:07:59 标题: 回复 9# 的帖子

方程1+2得y+z=150，第5个方程y+z=140，矛盾矣，还怎么解啊？

作者: njlcazl 时间: 2009-5-30 09:44:35

设∠EDB为y，∠CDE为z
由三角形的内角和为180°可得：
∠AEB=180°-∠EAB-∠ABC=30°
∠E(中间点没标字母）B=180°-20°-30°=130°
由三角形的外角性质可得：
x+y=130°
再由三角形的内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-80°-80°=20°
又因为y+z=∠CDB
且∠CDB=180°-∠DCB-∠DBC=180°-20°-20°=140°
可得：
y+x=130°
z+y=140°
由方程组可得：
z-y=10°z=y+10°
因为：
∠CDA=180°（平角的定义）
且∠CDB=140°
所以∠ADB=40°
所以x+z+40°=180°
所以y+y+10+40=180°
y=65°
x=130°-65°=65°
本人是个初中生，如果做错了请指教(*^__^*)

[ 本帖最后由 njlcazl 于 2009-5-30 16:44 编辑 ]

作者: maqianxi 时间: 2009-5-30 09:45:22

量出来吧~~~~~哈哈~~~

作者: mqx333 时间: 2009-5-30 10:38:40

回13#，角度肯定是20度，问题是怎么证明。

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-5-30 11:40:25

最难的初等几何问，有些矛盾的题目

作者: superacid 时间: 2009-5-30 12:08:49

要做一个对称，构造出一个等边三角形......
我做过很多遍了。

作者: superacid 时间: 2009-5-30 12:12:00

一点也不难，
难的题目你还没有看到过呢。

作者: r_517 时间: 2009-5-30 12:17:10 标题: 回复 18# 的帖子

我记得初中的赛前集训里也有这题的。。。这题在平几里面不算难

作者: cyz 时间: 2009-5-30 12:23:32

数学苦手啊…………搞不出来

作者: 骰迷 时间: 2009-5-30 13:18:55 标题: 回复 13# 的帖子

y+z=∠CDB?
x+z+40°=180°?
這些都不對啊?

作者: 没有螺丝的魔方 时间: 2009-5-30 13:26:28

20°？。。。可以用特殊值法吗？？我研究一下~~~~

作者: veteranhit 时间: 2009-5-30 13:37:01

就像17#说的，做一个等边三角形出来就可以轻松解决啦！

过程如下：（请按Ctrl+A观看，想再想想的别按！o(∩_∩)o...）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Begin~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1、作CF⊥AB于F，作AH，使∠BAH=60°，交CF于G，交CB于H，连接DH；
2、易得△AGB及△DGH均为等边三角形，DH∥AB
2、通过计算角度，等腰三角形的边相等得HA=HC=DC；
3、∠DCG=∠HAE=10°，∠EHA=∠GDC=140°，HA=DC，得到△DCG≌△HAE，故DG=HE；
4、△DGH为等边三角形，DG=HD，由3结论，HD=HE；
5、故∠HED=∠HDE=(180-80)/2=50°，又∠AEH=30°，最终得到∠DEA=50-30=20°。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~End~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[ 本帖最后由 veteranhit 于 2009-5-30 13:51 编辑 ]

附件: [Result=20°] Solution.JPG (2009-5-30 13:37:01, 31.08 KB) / 下载次数 104
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NTI3OTR8MzdhYzMyNzR8MTc2MTUyNzMyMXwwfDA%3D

作者: njlcazl 时间: 2009-5-30 16:45:46

回#21
我打错了一个字母，应该是设z=CDE

[ 本帖最后由 njlcazl 于 2009-5-30 16:46 编辑 ]

作者: gzcq 时间: 2009-5-30 17:15:59

晕``怎么会这样~`

[ 本帖最后由 gzcq 于 2009-5-30 17:19 编辑 ]

作者: 今夜微凉 时间: 2009-5-31 08:25:33

看来魔方吧的数学强人不少嘛~~

作者: jxr1973 时间: 2009-5-31 08:49:30

10楼解释的很好啊！

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-5-31 16:56:02

原来如此，太强大了，非常佩服，学习学习。

作者: ppowers 时间: 2009-5-31 17:49:04

根据内角之和，外交=180-其他2内角和，答案应该是 x=80

z+w=160
z+y=140
w+x=150
y+x=130
这些总不需要证明了吧。得出: x+y+z+w=290 记为方程1

40+y=180-w-20==============> y+w=120
z+y+40=180 =====直线了======> z+y=140
w+z+20=180=====三角形内角和=> w+z=160
左右相加后除以2得 y+z+w=210 记为方程2
方程1-方程2
看到什么了？简单吧就是过程繁琐了点，要兜圈子。

[ 本帖最后由 ppowers 于 2009-5-31 18:19 编辑 ]

作者: Osullivan 时间: 2009-5-31 18:35:28

23#和30#哪个对啊？还有10#列的方程没有问题，但处理后方程内部出现矛盾！！！大家关注一下10#的方程

作者: Osullivan 时间: 2009-5-31 18:39:05

x+y=140
z-x=10
x+w=150
w-y=20
y+z=140
z+w=160

y+z=130应该是这样的吧

作者: Cielo 时间: 2009-5-31 18:40:14

原帖由 ppowers 于 2009-5-31 17:49 发表
外交=180-其他2内角和

外角=其他2内角和

23楼是对的！
我昨天在草稿纸上画的时候，作的辅助线缺了DH和GH所以只证出了CE=AB，没能算出最后结果……

作者: Osullivan 时间: 2009-5-31 18:45:56 标题: 回复 30# 的帖子

40+y=w+20,并非40+y=180-w-20
看来23#正解！！！

作者: kexin_xiao 时间: 2009-5-31 19:59:04

初中的几何题，学习，20多年了，都忘了，呵呵

作者: cyz 时间: 2009-6-1 18:27:58

我是初中生……联系班上的好多人……无解

作者: 123wyx 时间: 2009-6-1 19:33:14

吧里全是高人 23楼精彩

作者: lgbs_bl 时间: 2009-6-3 09:13:50

23#楼的解答完全正确。此题在平面几何中很“古老”了，在我们那年代初中时就做过，而且此题的变形求证也很多，以前就曾见过求证AB=CE的。

作者: lgbs_bl 时间: 2009-6-3 09:21:53

附带说一句，不做辅助线，光设几个角为xyz等等然后列方程的解法是不靠谱的，感兴趣的朋友可以仔细分析，不管设几个未知数，列几个方程，最终的有效方程数总会比未知数多一个，按初中的知识来说方程是无解的.
所以如果是初中的朋友在学习平面几何时要好好掌握做辅助线的方法，比如好好参看23#楼朋友的辅助线作法会有所收获的。
以上仅针对正在学习平面几何的小朋友，高于此水平的略过

作者: mqx333 时间: 2009-6-5 10:44:34 标题: 回复 23# 的帖子

23楼的“2、通过计算角度，等腰三角形的边相等得HA=HC=DC；”有问题，楼主的意思是不能用三角函数，23楼的是怎么算的角度，应该是用三角函数算的吧？不然边跟角的关系你创造了新的方法不成？要这样也成，我用AutoCAD或CAXA就可以一下子得出是20度啦。关键是如何证明，不是算角度，角度肯定是20度。

作者: superacid 时间: 2009-6-5 11:22:47

像这种题目别想只用角度关系算出来

作者: veteranhit 时间: 2009-6-5 23:23:18 标题: 回复 40# 的帖子

是因为太浅显，不想浪费笔墨，角HAB是做出来的60度，角CAB是80度，故角CAH=20度，又角ACH=20度，故三角形ACH为等腰三角形。三角形CDH为等腰三角形也易证，就不写了。希望你下次质疑别人的时候先把别人的方法看明白了，如果是别人没说清可以问吗！不要主观臆断，o(∩_∩)o...

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-7-16 16:39:07 标题: 回复 23# 的帖子

我觉得要直接说明△DGH是等边三角形，要先通过∠ADB=∠BHA=40°从而△ADB≌△BHA得到AD=BH故CD=CH得到DH//AB来说明吧，我想复杂了吗？

作者: 风琴里 时间: 2012-9-22 09:15:47

同志你题目被改过了，我做过原题，七十度角其实原本是五十度，这是英国厄尔特定理的上题，四百年前就有解了，只不过是度娘上没有而已，这道题也就是初中的竞赛水平，用初中知识三条辅助线就搞掂了，完全没有技术含量的说

作者: superacid 时间: 2012-9-23 12:06:22

不过话说回来，这种题目只能算比较难的平面几何题当中最简单的那种。
因为没有用到圆。。。

作者: superacid 时间: 2012-9-23 12:06:55

不过话说回来，这种题目只能算比较难的平面几何题当中最简单的那种。
因为没有用到圆。。。

作者: fhw 时间: 2012-9-25 20:57:31

20°，先证明ABDE四点共圆~~~~

作者: fhw 时间: 2012-10-4 08:32:36

fhw 发表于 2012-9-25 20:57
20°，先证明ABDE四点共圆~~~~

应该是吧。。。。。。又看了看~~~~可以做出来~~~

作者: 救世猫 时间: 2012-10-4 09:19:27

A角=70+10=80 B角=60+20=80 A=B 3角形内角合180 C=180-80-80=20 C角=B的外角根据内角和180 180-70-60=50 AB外角=50 大三角形EAB= 180-70-80=30 BE=180-20-30=130 DBA=180-60-80=40 最后 DEA=180-40-10=130！

作者: PKUSMSBQ 时间: 2012-10-4 12:38:46

楼上必错。。。。。。

作者: gqc294981 时间: 2012-10-4 14:19:50

可不可以根据可求得的角的关系列出几个多元的方程组然后带入MATLAB 求解

作者: aspirine 时间: 2012-10-4 15:26:00

问题是图中的角度怎么凑成初中时候我们知道的角度：30，60，45……
不知道我说的对不对

作者: asd815864075 时间: 2012-10-4 16:24:59

好吧！看来题目里的全等三角形就是提示

作者: aspirine 时间: 2012-10-4 16:29:43

证明一：证明一.JPG

x=20°
证明二：未命名.JPG

大家都看得懂的就不说了
这玩意儿……

附件: 未命名.JPG (2012-10-4 16:28:35, 23.79 KB) / 下载次数 90
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTkzMzA0fGJjOTc4MDgwfDE3NjE1MjczMjF8MHww

附件: 证明一.JPG (2012-10-4 16:27:27, 27 KB) / 下载次数 115
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTkzMzAzfDVhZWEwMDNkfDE3NjE1MjczMjF8MHww

作者: 天翔々幻羽 时间: 2012-10-4 17:05:59

好难呐

作者: hqd20010111 时间: 2012-10-4 17:11:44

量角器。。。。

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)