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标题: 存在这样的运算吗？如果有，有多少个？ [打印本页]

作者: superacid 时间: 2009-6-2 15:56:38 标题: 存在这样的运算吗？如果有，有多少个？

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
问是否存在S中的二元运算※满足：
(1) 交换律 a※b=b※a
(2) 结合律 (a※b)※c=a※(b※c)
(3) 消去律若a※b=a※c，则b=c
(4) 若ab<=11，则a※b=ab。

由于16楼给出了正确的答案，现在增加难度，问有多少个这样的运算？

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-6-3 22:01 编辑 ]

作者: taotol 时间: 2009-6-2 16:09:39

奥数拿名次的果然不一样啊～　
　　问题这么专业~

作者: yq_118 时间: 2009-6-2 16:39:34

普通乘法就满足

不过好像还要封闭性，
那样的话取(mol 12)下的乘法看下。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2009-6-2 16:51 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-6-2 16:42:16

看不懂这个符号 ※

先飘过~~~

作者: conwood 时间: 2009-6-2 16:43:40

模11肯定是不行的，2x11是多少呢

原帖由 yq_118 于 2009-6-2 16:39 发表
普通乘法就满足
不过好像还要封闭性，
那样的话取(mol 11)下的乘法看下。

作者: yq_118 时间: 2009-6-2 16:51:22

好像是取(mol 12)的乘法

作者: conwood 时间: 2009-6-2 16:54:53

模12也不对，2*11 mod 12=10
可是2*5=10，由消去率知道5=11，这肯定是不对的。

原帖由 yq_118 于 2009-6-2 16:51 发表
好像是取(mol 12)的乘法

作者: yq_118 时间: 2009-6-2 16:58:30

对了，环Z12里面有零因子，所以也不行。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2009-6-2 16:59 编辑 ]

作者: 九局下半 时间: 2009-6-2 17:10:26

楼主奥数很强啊？佩服~~~~

作者: aben306 时间: 2009-6-2 18:55:23

这个问题真的不懂....呵呵.

作者: yilonglucky 时间: 2009-6-2 18:57:49

额……运算系统啊……书到用时方很少啊……
上学期学离散数学没好好学……

作者: 迷失东京 时间: 2009-6-2 19:17:14

可以的，把它看做是以12为模的剩余类全体，即把1当做被12除余1的数的类，2当做被12除余2的数的类，...以此类推,然后定义S中的代数运算:就是被12除余a的和被12除余b的经过运算变成被12除余a+b的（注意不能为ab），这样S关于这个代数运算(加法)就作成一个群，我们称之为以m为模的剩余类加群（同余类加群），这样以上各条就都满足了。思考欠妥之处，还请大家指正。-

作者: superacid 时间: 2009-6-2 19:27:32

原帖由 迷失东京 于 2009-6-2 19:17 发表
可以的，把它看做是以12为模的剩余类全体，即把1当做被12除余1的数的类，2当做被12除余2的数的类，...以此类推,然后定义S中的代数运算:就是被12除余a的和被12除余b的经过运算变成被12除余a+b的（注意不能为ab），这样 ...

那么4※8=?

作者: yq_118 时间: 2009-6-2 20:10:11

貌似不存在这样的运算

作者: superacid 时间: 2009-6-2 21:50:33

答案是存在的

作者: Cielo 时间: 2009-6-3 01:38:02

原帖由 superacid 于 2009-6-2 21:50 发表
答案是存在的

这么肯定啊……

素数阶群是循环群，所以我们实际上需要把1~11中的运算※和0~10中的加法（mod11）运算对应起来（就是群的同构）。
首先1是单位元，必然对应着加法群中的单位元0，
由于循环群中各非单位元的对称性，就直接设2对应1，
这样2※2=4就对应着1+1=2，所以4对应2，
同理8对应3，
然后就比较自由了，有很多种选择，比如我让3对应4，
这样2※3=6就对应着1+4=5，所以6对应5，
同理9对应8，
然后我让5对应6，
得到10对应7，
再让7对应9、
11对应10，
就可以利用0~10的加法群（mod11）反推出※运算了。

（不知道上述对应具体对不对，反正思路应该就是这样了吧

）

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-6-3 02:11 编辑 ]

作者: conwood 时间: 2009-6-3 01:53:19

群论不太记得了
群要求：封闭性、结合律、单位元、逆元。

按楼主的定义，封闭性是肯定的。结合律也有，根据(4)知道有单位元。根据消去律，知道有逆元。所以必须是群，素数阶有限群的结构是唯一的，所以这个群应该同构于0~10的模11加法群。

而这个群和ab<11时，axb=ab的结构不一致，所以不存在。

这个证明有问题吗

原帖由 Cielo 于 2009-6-3 01:38 发表

这么肯定啊……

素数阶群是循环群，所以我们实际上需要把1~11中的※运算和0~10中的加法（mod11）运算对应起来。

作者: superacid 时间: 2009-6-3 10:17:06 标题: 回复 16# 的帖子

恭喜答对，是正确的。

作者: superacid 时间: 2009-6-3 10:17:34 标题: 回复 17# 的帖子

群论我也不太懂。

作者: lulijie 时间: 2009-6-6 00:24:30

不需要把※一定与我们常见的运算相对应。
根据第4和1条件，可得出以下结论
1※1=1，1※2=2，1※3=3，1※4=4，1※5=5，1※6=6，1※7=7，1※8=8，1※9=9，1※10=10，1※11=11
2※1=2，2※2=4，2※3=6，2※4=8，2※5=10
3※1=3，3※2=6，3※3=9
4※1=4，4※2=8
5※1=5，5※2=10
6※1=6
7※1=7
8※1=8
9※1=9
10※1=10
11※1=11
--------------------------------------------------------------
11个元素，※运算总共有11*11=121种式子，其中上述的29个式子已经确定。
确定剩下的92个式子，使得其都满足前三个条件。第三个条件要求这11个元素（1到11共11个数）乘以同一个元素所得的值都不相同（结果也是1到11中的某数）。
-------------------------------------------------------------------
我有个想法，可以让电脑采用穷举法，穷举这92个式子，然后检验它们是否都满足那三个条件。全部满足的让电脑记下它们。这样就能找到满足条件的所有的※运算。
--------------------------------------------------------------
关键是如何设计优化算法，使得电脑计算的时间不至于难以忍受。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-6-6 00:26 编辑 ]

作者: yq_118 时间: 2009-6-6 02:53:50

答案呢，怎么还没有

作者: Cielo 时间: 2009-6-6 16:57:01

原帖由 superacid 于 2009-6-2 15:56 发表
现在增加难度，问有多少个这样的运算？

呃只会穷举

还是接着那个思路：1→0，2→1，4→2，8→3，则 0、1、2、3 已被确定，只剩下 4~10 需要分配。
此时 3 或 5 不能对应到 10，否则 4 或 6 对应到 0，矛盾！
且 3 不能对应到 6 或 7，否则 9 对应到 1 或 3，矛盾！所以 3 只能对应到 4、5、8、9 中的一个。分情况讨论：
⑴
3→4，则 6→5，9→8，此时 5 不能对应到 4 或者 7，否则 10 对应到 5 或者 8，矛盾！5 只能对应到 6 或者 9。
① 5→6，则 10→7，7 和 11 对应到剩下的 9 和 10 即可；
② 5→9，则 10→10，7 和 11 对应到剩下的 6 和 7 即可；

⑵
3→5，则 6→6，9→10，此时 5 不能对应到 4 或者 9，否则 10 对应到 5 或者 10，矛盾！5 只能对应到 7 或者 8。
①5→7，则 10→8，7 和 11 对应到剩下的 4 和 9 即可；
②5→8，则 10→9，7 和 11 对应到剩下的 4 和 7 即可；

⑶
3→8，则 6→9，9→5，此时 5 不能对应到 4 或者 7 或者 8，否则 10 对应到 5 或者 8 或者 9，矛盾！5 只能对应到 6。
则 10→7，7 和 11 对应到剩下的 4 和 6 即可；

⑷
3→9，则 6→10，9→7，此时 5 不能对应到 6 或者 8 或者 9，否则 10 对应到 7 或者 9 或者 10，矛盾！5 只能对应到 4 或者 5。
①5→4，则 10→5，7 和 11 对应到剩下的 6 和 8 即可；
②5→5，则 10→6，7 和 11 对应到剩下的 4 和 8 即可；

共（2+2+1+2）x 2 = 14 种，不知道对不对

作者: superacid 时间: 2009-6-6 19:35:27

楼上正确!!

作者: superacid 时间: 2009-6-6 19:35:54

就是用穷举法的

作者: yq_118 时间: 2009-6-7 13:07:59

这也太狠了吧

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