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标题: 等待能够做出第四题的人(公布答案) [打印本页]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-3 22:34:56 标题: 等待能够做出第四题的人(公布答案)

真的很佩服做对的人，一个字，妙！
付：先求体积公式可以用旋转体求法pie倍从-R到R的(R^2-X^2)的积分。
1、求证：给定一个半圆，用尺规法无法做出其重心。
答案：用guldin定理，发现重心离圆心距离是4/3pieR故无法作出。
2、证明球体的表面积公式是4派R^2
答案：解法1类似于知道圆周长求面积的微分方法的倒推方法，用体积公式除(1/3R)。
解法2直接把体积公式微分。
3、求一半个圆周的重心位置
用Guldin定理，发现重心在其外，所以不存在。
4、用尺规在一个圆柱体表面上找三个点，使这三个点所在的平面把该圆柱体表面积分成3：1的部分。(说明一下，尺规工具只能在表面及其无限延展的面上操作，无法画出空间上的直线。)
答案：先在下底面确定圆的圆心，作一条直径。再在上底面任意再找一点，该三点为所找平面。证明如下：该平面把上下底面分成1：3两部分就不说了，问题是能否也把侧面积也那样。小的部分的侧面积的微分形式和底面半圆的微分形式的比是常数，故它们的原本的面积(微分再积分取常数项为0)也成比例。又一半的侧面积和底面半圆面积也恰成这个比例的两倍，故原始的圆柱切面小部分面积是全侧面的四分之一。
第五题暂空缺中。

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-6-6 08:23 编辑 ]

作者: yilonglucky 时间: 2009-6-3 22:37:19

忘了……什么是尺规法？？？

作者: 今夜微凉 时间: 2009-6-3 22:41:46

先占楼要紧~~~~~

作者: 77880066 时间: 2009-6-3 22:44:28

先占个楼再说

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-6-3 22:45:00

很简单，因为这个问题和化圆为方问题是等价的。。。

作者: 小波 时间: 2009-6-3 22:46:14 标题: 回复 1# 的帖子

你看，铯铯这种人就会了，应该说要是吧里人一个都不会，那么世界上基本上没人会了。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-3 22:52:56

问题是这个不是一个严格论证啊。况且我知道证明的方法

作者: lamianbu 时间: 2009-6-3 22:55:46

你去证明尺规三分角的可能性。

证出来，可以拿奖金吧?

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-6-3 22:56:16 标题: 回复 7# 的帖子

其实你就是把化圆为方问题又化了一种形式证明了一遍罢了。。。没有实际意义啊。。。直接上第二题吧。。

作者: tonylmd 时间: 2009-6-3 22:56:44

lz初三…

作者: 剑齿怪杰 时间: 2009-6-3 23:03:38

楼主标题说估计吧里没有人会做，又说他自己知道证明的方法。于是我得出结论：估计楼主是没有人。

作者: cod 时间: 2009-6-3 23:13:04 标题: 回复 11# 的帖子

哈哈，太幽默了。。。。。

作者: icylemon 时间: 2009-6-3 23:38:21

原帖由 cod 于 2009-6-3 23:13 发表
哈哈，太幽默了。。。。。

相当幽默啊。。。太有才了。。。

作者: Hugh晓云 时间: 2009-6-4 07:34:56

平面论证几何…不做了。立体几何分段测验我考过第一名的…嘻嘻…

作者: superacid 时间: 2009-6-4 08:37:13

第一题先算出h重心位置(坐标)，用Guldin定理或积分，发现时带有pai的，所以不可尺规作图(因为pai是超越数)
第二题证明高度为h的球带的表面积为2πRh，这貌似是用微元法的，然后取h=2R就可以了。
第三题留给其他人做吧，说太多不好。

作者: conwood 时间: 2009-6-4 08:50:46

提供一下思路
1. 证明重心离圆心的距离是超越数。超越数的证明比较难。
2. 利用积分求即可。
3. 楼主的意思是用一根均匀的铁丝围成半圆周(直径对应的边为空)，求这个半圆周的重心吗？这个初中知识就可以搞了。

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
1、求证：给定一个半圆，用尺规法无法做出其重心。
2、证明球体的表面积公式是4派R^2
3、求一半个圆周的重心位置

作者: yq_118 时间: 2009-6-4 18:24:09

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
1、求证：给定一个半圆，用尺规法无法做出其重心。
2、证明球体的表面积公式是4派R^2
3、求一半个圆周的重心位置

1、通过积分计算位置坐标含超越数，
2、积分，
3、还是积分，第一类曲线积分。

作者: superacid 时间: 2009-6-4 19:26:24

看来会做的人挺多的

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 19:46:55

呵呵，恭喜大家，名字就是吸引大家注意的。前两题都很不错，只是第三题答案是没有重心的。

作者: superacid 时间: 2009-6-4 20:21:34

应该有的吧，把半个圆周看做半个很细的圆环（可能比喻不太合适），它显然是有重心的。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 20:33:00 标题: 回复 20# 的帖子

你试试用guldin定理，你会发现重心在外面哦。

作者: 小波 时间: 2009-6-4 20:37:51 标题: 回复 21# 的帖子

半个圆哪来的里面外面之分……再说在外面还是有的啊，再说，怎么会在外面呢，你把一端用绳子挂起来，显然在里面啊

作者: JAVE 时间: 2009-6-4 20:38:46

顶下茶茶妹妹~~~~~~~~~~~~~`

作者: 蚂蚁儿 时间: 2009-6-4 20:39:18

忘都忘了，不晓得朗格整了

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 20:39:49

我的意思是半个圆周(仅仅是曲线)的重心不在圆周上。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 20:41:40

用Guldin定理你会发现其重心离圆周的圆心有2r这么远。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 20:42:26

不好意思第四题少条件了，现在补上了。

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-6-4 20:47 编辑 ]

作者: 小波 时间: 2009-6-4 20:48:45 标题: 回复 27# 的帖子

努力思索中，貌似这个版块还是挺好的~~以后多来学学~~

[ 本帖最后由小波于 2009-6-4 20:53 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-6-4 21:06:45

多次用圆规用类似于作线段的垂直平分线的方法
首先作出圆柱体的一条母线，和该母线关于圆柱体旋转轴的另一条母线。
这样的两条母线把圆柱体二等分。
然后再同样地把圆柱体四等分。
然后......

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-4 21:10:08

呵呵。我改了下题目条件，开始没讲清楚。

作者: 小波 时间: 2009-6-4 21:12:59 标题: 回复 29# 的帖子

他说是表面积…………

作者: superacid 时间: 2009-6-4 21:47:41

我知道是表面积，对的嘛

作者: yq_118 时间: 2009-6-4 22:01:01

第四题还真难啊

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-6-4 23:10:44

第二题应该用巴普斯定理做（物理竞赛的时候这种题做了很多了），首先很显然重心在这个半圆的对称轴上。设距离圆心h然后再利用巴普斯定理有：

2 pie h*pie r=4 pie r^2
=>h=(2/pie)r

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-5 21:46:24

占楼等答案学习

作者: yq_118 时间: 2009-6-5 22:35:38

第4题不难，就是算。
圆柱半径为r，高为h。
h>r时，作出三条母线，作出长度(h-r)/4，母线上按这个长度取三点就可以了。
h<r时，

[ 本帖最后由 yq_118 于 2009-6-5 22:48 编辑 ]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-5 23:03:41

问题是能否用尺规做出母线？

作者: conwood 时间: 2009-6-5 23:11:35

重心在物体外面，并不意味着重心不存在。

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
真的很佩服做对的人，一个字，妙！
1、求证：给定一个半圆，用尺规法无法做出其重心。
答案：用guldin定理，发现重心离圆心距离是4/3pieR故无法作出。
2、证明球体的表面积公式是4派R^2
答案：解法1先求体积公式 ...

作者: zxl0714 时间: 2009-6-6 00:22:03

第4题，先在底面上昨一条直径，然后分别用圆规顶在这条直径的端点上以固定长度在圆柱面上做两条弧，与顶面产生2个交点，在顶面作以这2个交点为端点的线段的中垂线与顶面圆产生2个交点，选与底面的2个点相对在同一侧的就行了。

作者: yq_118 时间: 2009-6-6 02:55:45

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-5 23:03 发表
问题是能否用尺规做出母线？

延长到平面上弄一挑切线，在圆柱面上做它的垂线

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-6 08:26:36

即使可以做母线，你无法等分它，或者延长后等分它。

作者: Cielo 时间: 2009-6-6 14:10:31

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
4、用尺规在一个圆柱体表面上找三个点，使这三个点所在的平面把该圆柱体表面积分成3：1的部分。(说明一下，尺规工具只能在表面及其无限延展的面上操作，无法画出空间上的直线。)
答案：先在下底面确定圆的圆心，作一条直径。再在上底面任意再找一点，该三点为所找平面。 ...

在上底面应该不是任意找一点吧？

作者: yq_118 时间: 2009-6-6 15:43:37

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-6 08:26 发表
即使可以做母线，你无法等分它，或者延长后等分它。

在平面上等分不可以吗。

你这问题就不明确，尺规作图本来是平面几何的，你推广到立体几何又不说清楚

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-6 16:27:02

但是我已经说清楚了在扩展平面了啊

作者: yq_118 时间: 2009-6-6 16:52:32

这那是尺规作图啊，就立体几何嘛

作者: yq_118 时间: 2009-6-8 17:03:22

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
4、用尺规在一个圆柱体表面上找三个点，使这三个点所在的平面把该圆柱体表面积分成3：1的部分。(说明一下，尺规工具只能在表面及其无限延展的面上操作，无法画出空间上的直线。)
答案：先在下底面确定圆的圆心，作一条直径。再在上底面任意再找一点，该三点为所找平面。证明如下：该平面把上下底面分成1：3两部分就不说了，问题是能否也把侧面积也那样。小的部分的侧面积的微分形式和底面半圆的微分形式的比是常数，故它们的原本的面积(微分再积分取常数项为0)也成比例。又一半的侧面积和底面半圆面积也恰成这个比例的两倍，故原始的圆柱切面小部分面积是全侧面的四分之一。
第五题暂空缺中。

这个答案明显是错的，那样分割的比例是不确定的。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 17:26:19

喂。。。你有没仔细算啊，结论肯定对的

作者: conwood 时间: 2009-6-8 18:19:04

楼主这个描述实在是不清不楚。

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-3 22:34 发表
4、用尺规在一个圆柱体表面上找三个点，使这三个点所在的平面把该圆柱体表面积分成3：1的部分。(说明一下，尺规工具只能在表面及其无限延展的面上操作，无法画出空间上的直线。)
答案：先在下底面确定圆的圆心，作一条直径。再在上底面任意再找一点，该三点为所找平面。证明如下：该平面把上下底面分成1：3两部分就不说了，问题是能否也把侧面积也那样。小的部分的侧面积的微分形式和底面半圆的微分形式的比是常数，故它们的原本的面积(微分再积分取常数项为0)也成比例。又一半的侧面积和底面半圆面积也恰成这个比例的两倍，故原始的圆柱切面小部分面积是全侧面的四分之一。

作者: yq_118 时间: 2009-6-9 16:03:03

原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-8 17:26 发表
喂。。。你有没仔细算啊，结论肯定对的

显然过圆柱的轴的面也满足你说那个条件

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