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标题: 趣味代数学（2）时针和分针对调问题 [打印本页]

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 09:37:02 标题: 趣味代数学（2）时针和分针对调问题

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作者: migl 时间: 2009-6-4 10:02:31

本人觉得：只有重合时才能对调。
证明从略。

作者: migl 时间: 2009-6-4 10:04:34

另：一天（24小时）里时针和分针重合几次？

标准答案：22次。

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 10:10:00

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作者: 榕城之蓝 时间: 2009-6-4 10:10:00

不行的，比如3点15分时候，时针分针重叠，但是15点3分就不重叠了。所以不是所有的重叠都可以对调后仍然重叠。

——————————————————————————
不好意思，我理解错误，上述两楼是正确的，谢谢！

[ 本帖最后由榕城之蓝于 2009-6-4 10:12 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-6-4 10:14:02

呵呵。好像 12：56 与 11：05 的这两个时间段附近可以对调。
其他情况类推。

需要进行精确地计算。
还要说明55到56，或是56到57之间是不是只能取整数，不能取实数。
按题意是可以取实数的。
具体的交由电脑高手解决。

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 10:17:04

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作者: 榕城之蓝 时间: 2009-6-4 10:40:38

原帖由 近在咫尺 于 2009-6-4 10:17 发表

3点15怎能重合，时针已走过1/4了

举例错误，呵呵，见笑见笑。

作者: migl 时间: 2009-6-4 10:42:52

楼主最好注明一下，这个钟被分成了几等份？
如果只精确到"分"，那就是分成了60份（60格）。
那么每到1分钟，分针移动1格；每到12分钟，时针移动1格。

这样的话，问题就简单了。

基本上是小学水平。

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搞错了，好像是中学水平。
要解比较复杂的方程。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-4 12:29 编辑 ]

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 10:58:41

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作者: migl 时间: 2009-6-4 12:34:46

设x点y分时，两针可以对换。
如果我们把全周分成60格，显然分针走1格要1分钟，而时针走1格要12分，那么x点y分钟时，分针从起始位置“12”转过了x圈再另
加y格，即60x+y格。时针转速是分针转速的1/12，所以，时针转过了（60x+y）/12格。
两针位置对调，设这时指示着时间u圈另外v格，即60u+v格。时针应转过（60u+v）/12。
但是对调后的分针位置，就是原先时针的位置（从起始位置算起转过（60x+y）/12 格），所以
         v=（60x+y）/12                ①
同样地，原先的分针位置，就是对调后的时针位置，所以
            y=（60x+y）/12                ②
即
            12v-y=60x                   ③
            12y-v=60u                   ④
3 x 12 + 4 , 得
            143v=60u+720x
4 x 12 + 3 , 得
143y=60x+720u
即
         y=60（x+12u）/143， v=60（u+12x）/143
其中x、u是钟点数，即表示0，1，2……，11，各有12种可能，两者配合在一起应有144种可能，一一代入，可得全部解。
例如，当x=0，u=0时，得y=0，v=0，即0点0分。此时，时针、分针都在“12”上。
当x=1，u=1时，
      y=60×13/143=60/11
      v=60/11
原先所指时刻是1点61/5分，此时两针恰巧重合，当然可以对调。
当x=5，u=8时
   y=60（5+12×8）/143=42.38
   v=60（8+12×5）/143=28.53
原先所指时刻是5点42.38分，对换时后是28.53分。

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网上找来的。
是实数解？

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 13:55:48

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作者: migl 时间: 2009-6-4 15:00:26 标题: 回复 12# 的帖子

上面是别人的解法，我在网上搜刮来的。
我也在消化中~~~~

作者: oboe 时间: 2009-6-4 16:24:20

11楼的没看懂.

如果按我现在看的电子种,仔细看, 每分钟, 时针都会小跳一下.
穷举思路如下:
钟面上共有12个小时, 每小时时钟要动60下, 那么, 时针的状态一共是 12X60=720种.

要注意的是, 从12 到 1 , 时针要跳60个小格, 而分针是只跳5个格.
所以只有时针指在分针能到的位置上时才可以说是互换.
那么, 有效状态, 也只有时针指在分针能到达的60种之内. 没有720种之多.

按时针的位置算出分针的位置. 得到一个60行的EXCEL表.

之后查表找时针分针能互换的记录.

因为有可能在我们认为"重叠的时候,实际上是不重叠"的.
所以答案是只有12点时.

作者: migl 时间: 2009-6-4 16:39:08 标题: 回复 14# 的帖子

你这是整数解。即：精确到“分”。
如果按实数解呢？
即：将钟面理解成可以无限分割的圆面，分针的旋转速度是时针的12倍。那什么时候分针与时针互换后，所指的时间依然是正确的时间？

作者: oboe 时间: 2009-6-4 16:41:41

不用查表了.
我想明白了.
上面我定义了时针(X) 的取值范围是 1到60
11楼的说明了算法 , 此时分针 Y=12X (当Y>60时,取余)
取余的算式怎么写不记得了...

这里记为 f( x ) 吧
因为可以互换, 所以当 Y= f(x) 时存在 f( Y ) = x
也就是说 x = f( f(x) )

... 这是叫反函数还是叫逆函数来着

作者: 骰迷 时间: 2009-6-4 18:07:22

這條數不是很簡單的24-2嗎
分針轉24圈
時針轉2圈
相減就是重疊的次數

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 21:40:10

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作者: yq_118 时间: 2009-6-4 21:48:05

列个一次方程就解出来了

作者: yq_118 时间: 2009-6-4 21:49:38

原帖由 近在咫尺 于 2009-6-4 21:40 发表

晕，我题目里问的是“对调”哎，拜托大家不要一口一个“重叠”好不好，偷换概念的感觉实在是太强了的说哟~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

不重叠能对调而时间不变吗。
貌似楼主说的是对调后还表示一个可能的状态。

[ 本帖最后由 yq_118 于 2009-6-4 21:50 编辑 ]

作者: yq_118 时间: 2009-6-4 21:57:50

唉，还是列方程解，设x为时针从12点开始转动的角度，y为分针从0min开始转动的角度，满足下面两个条件：
(6x/pi)的小数部分=(y/pi)
交换x、y仍然成立。
剩下的用计算机求解吧

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-4 22:00:30

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作者: lulijie 时间: 2009-6-4 23:14:46

钟表的一个圆周有60个刻度，假设时针走了x个刻度，（x可以是小数，  0<=x<120 ，在1天内）
那么分针走了12*x个刻度。
                           比如时针走了5个刻度，刚好指向1，分针走了60个刻度，刚好指向12，表示1点钟。
分针和时针对调，那么时针为 12*x 个刻度，分针为 x+60*k 个刻度，其中k为整数。
那么（12*x ）* 12= x+60*k    0<=x<120
即 143*x=60*k 0<=x<120
  解得 0<=k<286
所以1天内。时针和分针可对换得次数为286次。

作者: lulijie 时间: 2009-6-4 23:23:31

由 143*x=60*k 得
x=60/143*k 0<=k<286
时针指向满足上述条件，就可时针分针对换。
若换成角度表示（360度为1周）。那么条件是
θ=360/143*k 度 0<=k<286

作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-5 01:27:17

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作者: 近在咫尺 时间: 2009-6-5 04:45:01

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作者: 9HEADMOUSE 时间: 2009-7-28 16:49:37

多么简单的问题，只有12点可以对调，原因是分针时针速度不一样。。。。。
赫赫，回回达太草率了应该是分针时针重合的时候才可以对调。

[ 本帖最后由 9HEADMOUSE 于 2009-7-28 16:52 编辑 ]

作者: 近在咫尺 时间: 2009-7-30 14:15:12

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作者: migl 时间: 2009-7-30 16:11:14 标题: 回复 28# 的帖子

这种局面的主要原因是：“重合”是显而易见的可以“对调”，不用费太多脑子。

而真正的“对调”，却需要强烈的计算后才能打保票地提出。

比如作为整数解，0:05 与 1:00 是可以对调的。像这样的解可不是随随便便就能“脱口而出”了。

=============

既然你那么喜欢挑战，那我将这个问题升级：
如果是实数解，你能给出解法吗？（当然，次数应该是和整数解一样的。但是具体的时间在数值上就不一样了。）

即：将钟面理解成可以无限分割的圆面，分针的旋转速度是时针的12倍。那什么时候分针与时针互换后，所指的时间依然是正确的时间？

（别指望我，我可不会。

）

[ 本帖最后由 migl 于 2009-7-31 10:45 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-7-31 14:00:13

整数解时，时针与分针在1:05时重合。
而在实数解时，时针与分针却在1:05与1:06之间重合。

在1:00时，时针与分针相差30度。
设1点x分时时针与分针重合，则从1点至1点x分时，分针旋转过 (x/60)*360=6x 度，时针旋转过 6x/12=x/2 度，则有：
6x - x/2 = 30
解得 x=60/11
即：在1点5分零11分之5（ ≈1:05.4545 ）时，时针与分针重合。

不知道实数解的通解算法如何?
能不能计算出精确的时间解值？

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