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标题: 切西瓜 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-6-6 11:10:04 标题: 切西瓜

呵呵，最近气温35，受不了啦，烦躁~~~~~~~~
买个西瓜消消暑，突然想下，一刀可以切两块，两刀四，三刀八，四刀？？？N刀可以最多多少块，吃完西瓜我再推到一下，看有没有通项公式。有兴趣的朋友试试看，估计不会很难哦，吧里难题是不受欢迎的~~~~~~~

作者: 浮游虫 时间: 2009-6-6 11:16:01

2^n..........................

作者: 佐助 时间: 2009-6-6 11:17:21

三刀可以切八块的

N刀可以切成西瓜汁，

不过我还是赞成用榨汁机

[ 本帖最后由佐助于 2009-6-6 11:19 编辑 ]

作者: catq2000 时间: 2009-6-6 11:20:56

我也喜欢吃西瓜汁……

作者: Osullivan 时间: 2009-6-6 11:23:59 标题: 回复 1# 的帖子

绝对不是你说的2^n，我西瓜都吃完啦，解法还没出来~~~~~~~~

作者: JAVE 时间: 2009-6-6 11:28:49

切20刀。你慢慢吃~~~~~~~~~~~`

作者: mqx333 时间: 2009-6-6 11:28:52 标题: 回复 5# 的帖子

那要看怎么切法。不同的切法有不同的结果。

作者: Osullivan 时间: 2009-6-6 11:30:13 标题: 回复 7# 的帖子

保证切出的块数最多，OK？

作者: 浮游虫 时间: 2009-6-6 11:30:19

难道是我想错了？

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
。
。
。

好像看不出来有什么不对啊。。。

PS.我吃西瓜拉肚子

作者: r_517 时间: 2009-6-6 11:30:53

(n^3+5n+6)/6
数学归纳法，分析每次多切一刀后多形成的三维块的数量就行

[ 本帖最后由 r_517 于 2009-6-6 12:57 编辑 ]

作者: Osullivan 时间: 2009-6-6 11:31:32

4刀16块吗？怎么切？

作者: 浮游虫 时间: 2009-6-6 11:32:50

晕。。。的确不是2^n

作者: r_517 时间: 2009-6-6 11:35:39

4刀15块吖= =

作者: zachary 时间: 2009-6-6 11:59:38

想知道楼主打算用什么刀

作者: 榕城之蓝 时间: 2009-6-6 12:02:42

3刀可以切8块的话4刀就可以切16块，如果是3刀切7块的话，那么4刀就不能切16块

作者: sunnybird0996 时间: 2009-6-6 12:12:32

N刀可以切成西瓜汁，

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-6 12:16:42

好象已经有人完成了。

作者: Osullivan 时间: 2009-6-6 12:53:08

降维来处理：
1 一条线段，N刀到最多可以切出多少段线段来？
  0刀 1=0+1
1刀 3=1+2
2刀 6=1+2+3
3刀 10=1+2+3+4
n刀  1+2 +3 +4 +。。。+n+1=（n+1）(n+2)/2

2一个平面，N刀最多可以切成多少个平面？
0刀 1
1刀 2
  2刀 4
  3刀 7
  4刀 11
这个数列后一项减前一项刚好是 1 2 3 4 5。。。n，刚好是前面线段分割问题的前n项
因此可以求出n刀最多可以把平面分成(n^2+n+2)/2个部分

3一个方体，N刀最多可以分成多少个块？
  0刀 1
1刀 2
2刀 4
3刀 8
4刀 15
数列后面一项减前面一项刚好是平面分割情况的每一刀对应，于是乎便可以递推出n刀分空间的通项，过程就不推导啦，答案参见10#。。。

作者: superacid 时间: 2009-6-6 13:44:47

楼上正解

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-6 23:02:15

LZ干脆榨汁吧

作者: 骰迷 时间: 2009-6-7 11:38:49

不好意思，弱弱問下：一刀如何將一線段切成３段？不太理解啊哈

作者: 296317255 时间: 2009-6-7 11:40:18

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-7 11:41:34

10楼的方法是对的

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-7 11:42:51

原帖由骰迷于 2009-6-7 11:38 发表
不好意思，弱弱問下：一刀如何將一線段切成３段？不太理解啊哈

把绳子对折，然后拦腰切断。

作者: 骰迷 时间: 2009-6-7 11:46:14

我覺得應該是這樣：
1 一条线段，N刀到最多可以切出多少段线段来？
  0刀 1=0+1
1刀 2=1+1
2刀 3=1+1+1
3刀 4=1+1+1+1
n刀  1+1 +1 +1 +。。。+n+1=n+1

2一个平面，N刀最多可以切成多少个平面？
0刀 1
1刀 2(+1)
  2刀 4(+2)
  3刀 7(+3)
  4刀 11(+4)
这个数列后一项减前一项刚好是 1 2 3 4 5。。。n，刚好是前面线段分割问题的前n项
因此可以求出n刀最多可以把平面分成(n^2+n+2)/2个部分

3一个方体，N刀最多可以分成多少个块？
  0刀 1
1刀 2(+1)
2刀 4(+2)
3刀 8(+4)
4刀 15(+7)
這樣才有邏輯嘛。。。二維的各數差為一維的結果，三維各數的差為二維的結果

作者: catq2000 时间: 2009-6-7 11:48:51

我在想，3刀切8块怎么切啊……我最多只能切7块出来唉……

作者: 骰迷 时间: 2009-6-7 11:49:08

原帖由 xdgtzsyyj 于 2009-6-7 11:42 发表

把绳子对折，然后拦腰切断。

一維世界能對折的嗎？恕我無知，但如果可以，為什麼不折無限次？剪出來不就成（無限＋２）線段了

作者: 骰迷 时间: 2009-6-7 11:52:57

長闊高各切一刀，每刀乘二

作者: Osullivan 时间: 2009-6-7 20:57:27

原帖由骰迷于 2009-6-7 11:38 发表
不好意思，弱弱問下：一刀如何將一線段切成３段？不太理解啊哈

其实你理解错啦，一刀切了一条线段后，线段是连在一起的，可以数出三条线段来，两条短的，一整条。不是一刀变成三小段，这样明白了吧？

作者: robester 时间: 2009-6-7 21:06:06

不让折线，那就折刀，把刀折弯，就可以一刀切3段的

作者: 骰迷 时间: 2009-6-8 17:45:02

原帖由 Osullivan 于 2009-6-7 20:57 发表

其实你理解错啦，一刀切了一条线段后，线段是连在一起的，可以数出三条线段来，两条短的，一整条。不是一刀变成三小段，这样明白了吧？

啊？是這樣啊？那麼將正方形十字切開成田字狀，不就有十三塊？哪有這樣數的ㄚ

作者: migl 时间: 2009-6-11 11:56:25

这个问题的合理模型是：
N个平面最多可以将空间分成几份。

现有的理论成果为：
n个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份；
n条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份；
n个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份；
n个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份；
……
C(a,b)表示从a个元素中取b个的组合数。

以第二个为例加以解释，其余类似。
没有直线的时候平面只有1份，即C(n,0)；n条平行直线会使平面增加n份，这是每条直线的直接作用，即C(n,1)；让平行线旋转相交，每相交1处平面就增加1份，n条直线两两相交最多相交C(n,2)处。
综上，n条直线最多把平面分成的数量为
基准平面+直线数+两两相交数

类似地，n个平面最多把空间分成的数量为
基准空间+平面数+两两相交数+三三相交数

依此类推

作者: migl 时间: 2009-6-11 12:14:24

理论要与实际结合起来。

切西瓜，当然要“每一块都带有皮”，这样才好“拿”。
而现在的方案基本上是打成西瓜汁了。
前三刀还有皮。
第四刀的中间那块就没有皮了，全是“瓤”。（四刀的切法就是“将一个四面体的各面延伸”，每个面对应的是一刀，四个面就是四刀。）

这个带皮的模型倒是不好建立。
（忽略西瓜皮的厚度，但是不忽略其存在。）

===============================

每块西瓜都带皮的理论模型为：
共点的N个平面最多可以将空间分成几份。

[ 本帖最后由 migl 于 2009-6-12 09:29 编辑 ]

作者: 菜鸟要翻身了 时间: 2009-6-15 22:35:58

看你怎么切了？不同切法就有不一样的答案。

作者: 夜雨听风 时间: 2009-6-15 22:49:57

无语

榨汁更核算

作者: bennielf2 时间: 2010-4-12 01:58:32

每切一刀有一个新的平面，其实就是平面将空间分份的问题

切第n刀后有S(n)块，为使新增的空间分块（块数）尽量多，应该与前面的n-1刀的平面都相交，于是有n-1条交线。

n-1条交线最多可以把第n个平面分成（n^2/2-n/2+1）个平面分块

（这里用到平面板的切西瓜问题，或者可以叫切薄饼吧！就是n刀可以把薄饼切成几块的问题）

每个平面分块对应一个新的空间分块（这一刀新产生的西瓜块），也就是多了（n^2/2-n/2+1）块

综上，有关系式S(n)-S(n-1)=n^2/2-n/2+1

利用这个递推式，且已经知道S(1)=2(一刀最多有两块)，得到

S(n)=n^3/6+5n/6+1

作者: bennielf2 时间: 2010-4-12 02:02:59

33楼提到没有瓜皮，现在来算切最多块的情况下，有多少块是没有皮的，这里假设皮无限薄
切第n刀后有用T(n)表示这时有多少块不带皮的西瓜块。

在前面求S(n)的切瓜方法下，先求新增的不带皮西瓜皮数目：发挥想像力，前n-1刀的切面与这第n刀的切面相交，把这个切面分成了（n^2/2-n/2+1）个平面分块（就像求S(n)时所说的），
在这些分块中，每一个只由切面的交线围成的分块就对应了一个新的不带皮西瓜块，前n-1个切面在新n刀切面上分出的这样的分块有{(n-2)(n-3)/2}个，即新增的无皮西瓜块就有这么多块。
（这里又用到平面板的切西瓜问题，n刀把一块大圆薄饼切成最多块，其中有的分块是完全在薄饼内部的，与大圆薄饼的圆边不相交，可以求出有(n-1)(n-2)/2个这样的分块）

综上得到关系式T(n)-T(n-1)=(n-2)(n-3)/2

利用这个递推式，并且已经知道T(4)=1(四刀最多有一块无皮西瓜块)，得到

T(n)=(n-1)(n-2)(n-3)/6

作者: bennielf2 时间: 2010-4-12 08:32:33

32楼很有启发呵呵~~

作者: dkjiaoyang 时间: 2010-4-12 20:07:58 标题: 回复 9# 的帖子

我记得4刀是15块啊

作者: 奇迹少年 时间: 2015-5-24 13:42:40

我记得和海峡两岸数学总决赛很相似啊！5条直线可以吧一个平面分成多少块。一共是16块O

作者: 我姓王 时间: 2018-6-24 09:17:37

好麻烦啊，当刀数为0，1，2，3，4时，块数分别为1，2，4，8，15，差为1，2，4，7，再差为1，2，3，再差都为1

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