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标题: 受托发一道高中数学题，求助ing。。。 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-6-7 12:40:26 标题: 受托发一道高中数学题，求助ing。。。

f(x)=ax^2+bx+c,系数abc都是实数，a不等于0，b的绝对值<=a, f(-1) f(1) f(0)的绝对值都是小于等于1.求证，当x绝对值小于等于1时，求证，f（x）的绝对值小于等于5/4.

急急急！！！

貌似可以把abc都用f（？）表示出来，但我试了，有的忘了，没做出来。求高手解答，谢谢~~~~~~~~~

作者: 夜雨听风 时间: 2009-6-7 12:42:01

咱楼备用
and思考 ing

作者: JAVE 时间: 2009-6-7 12:42:45

我也不懂。待高手回答！

作者: 77880066 时间: 2009-6-7 12:42:45

帮忙顶啊，不想做，慢慢来啊

[ 本帖最后由 77880066 于 2009-6-7 12:48 编辑 ]

作者: 77880066 时间: 2009-6-7 12:47:40

因为b的绝对值<=a
所以a为非负数
又因为a不等于0
所以a为正数
所以开口向上
又因为 f(-1) f(1) f(0)的绝对值都是小于等于1
且5/4大于1
有图像得f（x）的绝对值小于等于5/4.

作者: 夜雨听风 时间: 2009-6-7 12:49:17

好像哪见过~！！！！！！！！！！！！

作者: q376997368 时间: 2009-6-7 12:50:57

已知a大于0，所以只需对b进行分类讨论。也就可以知道函数对称轴在(-1,1)内，用正负1的值惊醒不等式加减就应该能得解。
习惯用稿纸，没稿纸先记下题，先和你讲一下思路先

作者: 77880066 时间: 2009-6-7 12:57:00

不用算啊，因为当x在【-1，1】，f（x）在【-1，1】中，因为是二次函数，所以肯定小于1.25的啊

作者: 无限正义 时间: 2009-6-7 13:01:47

这个题目不是有人发过了么？

作者: 夜雨听风 时间: 2009-6-7 13:03:41

为什么只在[-1,1]内

作者: 夜雨听风 时间: 2009-6-7 13:04:36

说错了

是为什么绝对值会是1.25

作者: yq_118 时间: 2009-6-7 13:06:41

好像不难，你们慢慢想吧

作者: mk^_^ 时间: 2009-6-7 13:13:39

下午考数学...没空做...

作者: Osullivan 时间: 2009-6-7 13:18:40

原帖由 77880066 于 2009-6-7 12:47 发表
因为b的绝对值

f(x)=ax^2+bx+c,系数abc都是实数，a不等于0，b的绝对值<=a, f(-1) f(0)的绝对值都是小于等于1, f（1）小于等于1..求证，当x绝对值小于等于1时，求证，f（x）的绝对值小于等于5/4.

不好意思，题目打错了点，f（1）<=1，没有绝对值！！！

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-7 15:10:12

高中的知识也忘的差不多了，和大家学习一下

作者: superacid 时间: 2009-6-8 08:47:06

对称轴x=-b/2a
只要证明|f(-b/2a)|<=5/4，|f(-b/2a)|=|(4ac-b^2)/(4a)|
不妨设a>0，|f(-b/2a)|=(b^2-4ac)/(4a)
只需证明b^2-4ac<=5a
又有|a+b+c|<=1,|a-b+c|<=1,所以|b|<=1,b^2=b*b<=1*a=a
而|c|<=1,c>=-1，所以-4ac<=4a
所以b^2-4ac<=5a
证明完毕

作者: superacid 时间: 2009-6-8 08:47:38

我前几天刚教过一个同学做这道题。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 19:35:32

我有个更直观的方法，不用那么多不等式。因为|b|<a，所以a>0，所以开口朝上，且对称轴在-1/2和1/2之间，所以在0到1之间y<y(-1)和y(1)，故在0到1之间的y小于1。构造y=ax^2+bx+1。如果该函数满足|y|<=5/4，原二次函数(-1<=c<=1)也可满足。
对于一般的抛物线有个结论，当抛物线上两个点处于对称轴同侧且横坐标差绝对值一定时：1、当两点到对称轴距离给定时，两点纵坐标差绝对值越大，二次项系绝对值数越大，即顶点纵坐标和其一点的纵坐标差绝对值越大。2、当两点纵坐标差绝对值一定时，其两点离对称轴越远，二次项系数绝对值数越大，即顶点纵坐标和其一点的纵坐标差绝对值越大。证明很简单，给几个系数就可以了，不多说。
分情况：当原来的抛物线对称轴在纵轴左边时(即-1/2<x<0)，给定两点其一是(0，-1)，得第二点是(1，1)。对称轴最远是x=-1/2，得a=2得顶点坐标是(-1/2,-5/4)，满足。当对称轴是1/2>x>0时，给定两点是(0，-1)，(-1，1)，对称轴最远是x=1/2，也得a=2，顶点是(1/2,-5/4)，也满足。
别看文字这么多，在脑子里就几个步骤。

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