快毕业了，为了应付烦人的公务员能力倾向考试以及接踵而来的公司面试，经朋友推荐，选了一套浙江教育社最新出版的《智慧瑜伽》丛书来突击“能力”训练。没办法，能力嘛，不突击是没有能力的！别说，原来是准备把这些题目当作“题海战术”突击的，没想到做着做着竟然如了迷，真的非常有趣。方便起见，特地扫了几道题目与大家共享。不过还是提醒诸位网友：转载的时候要注明题目的出处，这也是对作者劳动的尊重。
下面这道题目选自：
《试试你有多聪明——测试逻辑推理能力的128道数学趣题》，浙江教育出版社
应该有几百吧，可否赐答案
假设这十个平面之间只有平行和垂直两种关系的话：
建立空间直角坐标系，x y z 三轴互相垂直，平面分三种，
(1)与x y 轴平行的m 个平面
(2)与y z 轴平行的n个平面
(3)与z x 轴平行的t个平面
m 个平面将空间分成m+1个部分
n个平面将空间分成n+1个部分
t个平面将空间分成t+1个部分
(1),(2),(3)这三种平面互相垂直，所以空间最后被分成S=（m+1）（n+1）（t+1）个部分
m+n+t=10,显然Smax=(3+1)(3+1)(4+1)=80个
如果抛开最开始的假设的话，情况就复杂了，但分成的部分我想应该不会少于数百．
其实，如果一个平面和任何其他平面都不平行，并且和其他任何两个平面的相交线也不平行的话，这个平面就会和原来的每个部分相交（也许漏几个），这样的话应该是2*2*2＋７＋１１＋１６＋２２＋２９＋３７＋４７＝１７７个部分，不知这答案是否正确．
这个题目有标准经典解法的。
先看二维情况，也就是一个平面中的n条直线，最多把平面划分成多少部分？
解：
记n条直线最多把平面划分成f(n)个部分。
原始数值：f(0)=1；（也可以从f(1)=2开始）
递推公式：
平面中已有n-1条直线，那么新加一条直线，与原(n-1)条直线最多有n-1个交点，这(n-1)个交点把新增直线划分成n个部分，整个平面新增n个部分。
f(n)=f(n-1)+n（n∈Z+）。
最后的结果是f(n)=[n(n+1)/2]+1。
[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:39:07编辑过]
再看三维的情况，计算方法类似。
解：
记n个平面最多把整个空间划分成g(n)个部分。
原始数值：g(0)=1；
递推公式：
整个空间中已有n-1个平面，那么新加一个平面，与原(n-1)个平面最多有(n-1)条交线。这(n-1)条交线最多把新增平面划分成f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分，整个空间新增f(n－1)=[n(n－1)/2]+1个部分。
g(n)=g(n-1)+f(n-1)（n∈Z+）。
最后的结果是g(n)=[n(n+1)(n-1)/6]+n+1。
g(10)=176
[此贴子已经被作者于2006-11-17 11:40:16编辑过]
补充说明：
1、按道理，应该还有一个一维的结论：
n个点把一条直线分成(n+1)个部分。
在二维推论中用到了这个结论；三维推论中用到二维的结论。
2、我尽量准确表述，大家可以体会一下。
比如：
有的地方没有用“最多”。
里面用的“部分”在不同的地方含义是不同的。
5楼的基本是正确答案了。
除了最后的加数应该是46以外。
开头的2×2×2，是从3开始推的。从1推，会把规律性、严密性体现得更好。因为“3个平面最多8个部分”也没有给完善的证明。
另，3楼犯了“不完全归纳”的错误。一是没有验证足够的特殊值就开始推测规律；二是递推规律完全没有依据。
n个（不同的）平面“最少”会把空间分割成2n个部分。
不是有个公式的么
f(n)=(n^3+5n)/6+1
f(10)=176
不是有个公式的么
f(n)=(n^3+5n)/6+1
f(10)=176
太经典了，实际可以递推得到n 维情况
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