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标题: 看看这道题 [打印本页]

作者: yubingwen007 时间: 2009-6-8 16:10:07 标题: 看看这道题

许久不做这种题了，已经没了思想了
sorry，忘记了：
ABCD与 CEFG为正方形
P为AF中点
求证PB与PE之间的关系？

[ 本帖最后由 yubingwen007 于 2009-6-8 16:16 编辑 ]

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作者: rubik-fan 时间: 2009-6-8 16:15:36

这是什么题目啊。没有题意？

作者: yq_118 时间: 2009-6-8 17:04:18

相等，很明显的

作者: yubingwen007 时间: 2009-6-8 17:16:50 标题: 回复 3# 的帖子

很明显，我也看出来了

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 17:24:13

估计垂直相等

作者: yubingwen007 时间: 2009-6-8 17:28:11 标题: 回复 5# 的帖子

垂直感觉不一定吧，但是肯定相等

作者: 骰迷 时间: 2009-6-8 17:57:18

回二樓：還是看不到頭象。。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 18:12:35

很简单证明。为了简单说明，我把C当作原点，以BC当作横负轴,DC为纵正轴。设A(a,a)，E(b,-c)。得出F(b+c,b-c)，得P(a/2+b/2+c/2,a/2+b/2-c/2).会发现B,P横坐标差，纵坐标差分别等于P,E纵坐标差，横坐标差。可得PB=PE,PB//PE。另外不建立坐标系也行，也能做，但是要做这样那样的垂线挺麻烦，所以直接设坐标。不知大家有没更好的方法，我拭目以待。

作者: yubingwen007 时间: 2009-6-8 18:17:03 标题: 回复 9# 的帖子

这个是初二的题目，建立坐标系貌似他们还没有学过吧，就勾股定理拉，全等三角形拉等等

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 18:33:20

不建也可以，做几条垂线，就只用全等三角形。不过就是换汤不换药罢了，你模仿着弄个解法。

作者: xdgtzsyyj 时间: 2009-6-8 18:41:09

垂直，有可能是垂直

作者: purple 时间: 2009-6-8 18:51:48 标题: 回复 9# 的帖子

不明白，设A(a,a)，E(b,-c)。怎么得出F(b+c,b-c)，

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-8 19:05:08

因为是正方形啊。你过斜的正方形顶点做几条纵横线(有的纵，有的横的意思)，会把正方形分成四个全等三角形和小正方形。

作者: lgbs_bl 时间: 2009-6-9 13:23:13 标题: 抛砖引玉，期待高人更简洁的方法

几何.jpg

我来试试：
   作如上图辅助线，设大正方形边长为a，小正方形边长为b，CM设为x，EN设为y。
   容易得出以下结论：MK=y，FN=x
   ①因为P为AF中点，可得出BH=BK/2（简单证明略），
                                                         BK=a+x+y
                                    所以：BH=（a+x+y）/2
      因为PO=OH+HP。
                     OH=y
                              HP=a-PR
                                    而PR=SF/2（简单证明略）
                                                SF/2=(SK-FK)/2
                                                            SK=a
                                                                  FK=(x-y)
                              所以PR= (a-x+y)/2  。
                     得：HP=a - [ (a-x+y)/2 ]=（a+x-y）/2
         所以PO=[ (a+x-y)/2 ] + y=(a+x+y)/2
                                                得证：BH=PO
   ②前面已证：HP=(a+x-y)/2
                           OE=HM=HC+CM
                                          HC=a-BH=a - (a+x+y)/2=(a-x-y)/2
                                                   CM=x
                  所以OE=[ (a-x-y)/2 ] + x=(a+x-y)/2
                                                得证：HP=OE
   ③∠BHP=∠POE=90°
      综合上述①②③可得出： △BHP≌△POE
         所以：BP=PE并且BP⊥PE
考虑到要让初中生朋友能看明白，这种方法稍显复杂，期待高人有更简洁易懂的方法……

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作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-10 13:30:03

相等并且垂直

作者: Cielo 时间: 2009-6-10 16:18:53

如果不是初中的题，可以用复数法。
设C=0，
9楼的坐标法写成复数的语言就是：
D=2i，B=-2，A=B+D=-2+2i，
E=2a+2bi，G=Ei=-2b+2ai，F=E+G=(2a-2b)+(2a+2b)i，
故P=1/2(A+F)=(a-b-1)+(a+b+1)i，
PB=B-P=(b-a-1)-(a+b+1)i，
PE=E-P=(a+b+1)+(b-a-1)i，
恰有PE=i PB，
即|PE|=|PB|，且PE⊥PB.

如果不设出坐标，利用 B=iD、G=iE、A=B+D、F=E+G 有
2PE=2(E-P)=2E-(A+F)=2E-(D+iD)-(E+iE)=(E-D)-i(D+E)
2PB=2(B-P)=2B-(A+F)=2iD-(D+iD)-(E+iE)=-(D+E)+i(D-E)
同样得到PE=i PB.

作者: 菜鸟要翻身了 时间: 2009-6-15 22:39:37

应该是“求”，不是 “求证”吧。

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