原帖由 Osullivan 于 2009-6-9 16:21 发表
f(x+nf(x))=+n,则任意f(x)上任意两点的斜率为(f(x+n)-f(x))/x+n-x=1,所以为一次函数,设f(x)=x+k,又f(1)=1,则k=0。于是f(x)=x得证。这样可以吧?
原帖由 Osullivan 于 2009-6-9 17:08 发表
图象上任意两点,f(x+t),和f(t),t属于R,则他们的斜率为f(t)/t,构造函数g(x)=x,g(x)上的任意点与原点(0,0)的斜率都为g(t)/t。则f(x)与g(x)重合,故f(x)=x。这方法叫归一法还是什么无限逼近,不记得 ...
原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-6-10 01:33 发表
首先,这道题的答案不显然。事实上,存在一个函数f(x)满足lz所说的条件,但是f(x)不等于x。具体LZ可以上百度查“柯西函数方程”。
这儿随意提些皮毛:
一般满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数叫做柯西函数方程的解。它们分 ...
原帖由 咖啡味的茶 于 2009-6-16 22:57 发表
看我这个证明行不行…
由于f(x)+f(y)=f(x+y),由于f(1)=1有f(0)+f(1)=f(1+0)有f(0)=0,用数学归纳法可以证明当x为有理数时满足f(x)=x,则有当x-->0时,f(x)-->0。令y-->0,则有f(x)-->f(x),又由于f(x)+f(0)=f(x+0) ...
原帖由 rubik-fan 于 2009-6-10 01:14 发表
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0)=>f(0)=0
又f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0=>f(x)=-f(-x)即f(x)是奇函数。证明连续性:t-0时的极限limf(x+t)=limf(x)+limf(t)=f(x)即f(x)在任意x处是连续的。
现在证明了连续性和单调性。剩下的 ...
原帖由 yq_118 于 2009-6-9 16:07 发表
太难了,实在想不出来,期待有高手帮忙解决。
f(x)是R上的实函数,满足f(x+y)=f(x)+f(y)。f(1)=1。求f(x)。
就两个条件,不要添其它条件啊!
答案是显然的,希望有过程。
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