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标题: Harvard-MIT 竞赛题 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-6-9 18:16:24 标题: Harvard-MIT 竞赛题

1计算1·2^2 + 2·3^2 + 3·4^2 + ... + 19·20^2

2求2^x = 3^y - 1的所有正整数解

3圆周上有2008个点。选择两个点连成一条线，再选另外两点连一条线，这两条线段相交的概率为多少？

4我们称一个正整数为“吉祥数”，如果它的二进制表达中有偶数个“1”。第2009个吉祥数是多少？

5在3*3*...*3的n维立方体棋盘中，选取三个排成一条线的小立方体有多少种可能？

答案晚上给出哦~~~~~~
先做做看~~~~~~~~

作者: zhy3729 时间: 2009-6-9 18:18:17

哇！！看来高中水平是解决不了了

作者: Osullivan 时间: 2009-6-9 18:19:46

原帖由 zhy3729 于 2009-6-9 18:18 发表
哇！！看来高中水平是解决不了了

基本上高中都可以解决吧

作者: Osullivan 时间: 2009-6-9 18:27:38

计算1·2^2 + 2·3^2 + 3·4^2 + ... + 19·20^2
原式 = (1^3 + 2^3 + ... + 20^3) - (1^2 + 2^2 + ... + 20^2) = 44100 - 2870 = 41230

作者: aben306 时间: 2009-6-9 18:43:20

这个没看懂哦....顶一下吧.回头再细看.

作者: 123wyx 时间: 2009-6-9 19:40:59

题目不错，活而不难。
第二题x=1,y=1或x=3,y=2,没有其他正整数解

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-9 19:49:49

1、某人已给出方法。2、x=1,y=1或x=3,y=2。3、跟据题意，四点位置都互异，不管四点怎么取，线连接方式有三种，相交只有一种，所以概率是1/3。4、没懂意思，麻烦楼主讲清楚。5、可以把每个立方体理解为n维坐标系的格点。那么取三个格点成为直线的概率是：由于两点确定一条直线，所以任取两点第三点就确定了，取法是3^n*(3^n-1)/6，所有三点取法是3^n*(3^n-1)*(3^n-2)/6，相除得1/(3^n-2)。

作者: superacid 时间: 2009-6-9 19:50:27

第二题给一个想法：
3^y-2^x=1
首先，(1,1),(3,2)是解，如果有其他解，必然x>3,y>2
两边mod4得y是偶数，进而可以推出x是奇数。
y=2t, x=2s+1
3^(2t)-1=2^(2s+1)
(3^t-1)(3^t+1)=2^(2s+1)
所以3^t-1,3^t+1都是2的幂
t只能等于0,1，矛盾。
所以解只有(1,1),(3,2)

作者: conwood 时间: 2009-6-9 19:53:47

概率学的不好，不做了。

2求2^x = 3^y - 1的所有正整数解
正整数解只有两组，如6楼所言。
至于为什么
首先，如果y是偶数，比如y=2z，那么3^y-1=(3^z+1)(3^z-1)=2^x
要想让3^y-1是2的幂，必须(3^z+1)和(3^z-1)都是，而(3^z+1)=2+(3^z-1)，显然，z足够大时，这是不成立的。
如果y是足够大的奇数，可以证明3^y-1除以4的余数是2，因此也不能是2的幂

4我们称一个正整数为“吉祥数”，如果它的二进制表达中有偶数个“1”。第2009个吉祥数是多少？
可证明，2^n内有2^(n-1)-1个吉祥数，因此可以知道从1到4096里有2047个吉祥数，往前数一下，数到2009个就行了。

作者: superacid 时间: 2009-6-9 19:58:18

第4题对任意n，
2n和2n+1中有且只有一个吉祥数，
所以第2009个吉祥数是2*2009或2*2009+1，
而2009写为二进制是11111011001，是吉祥数。
所以第2009个吉祥数是5018

作者: superacid 时间: 2009-6-9 20:00:01

Harvard-MIT是哈佛大学和麻省理工大学联合举办的中学竞赛

每年春季在牛津与剑桥之间的龙舟竞渡已举世闻名，而世界顶级名校哈佛与麻省轮流举办的“哈佛－麻省理工数学竞赛Harvard-MIT Mathematics Tournament ”自1998年开赛以来迄今已十二个年轮，现如今也是声誉鹊起，成为美国规模最大、影响最大的高中数学赛事之一，据了解以往参赛者绝大部分是美国本土学生，2008年度第11届赛事另有加拿大、英国派队参与。Mathoe受邀获得2009年选派中国选手参加第12届HMMT赛事。HMMT2009年2月21日星期六举行第12届赛事，这届是轮到在麻省理工举行。
HMMT分为五次个人赛事（一项一般测试、四项学科测试：代数、几何、微积分、组合）两次团体赛事（队际对抗赛Team Round，队际对抗赛Guts Round），HMMT赛题大都由往届IMO美国国家队选手提供，这些供题者目前大都是在哈佛、麻省理工就读，有不少是普特南的名单上不止一年出现。HMMT竞赛水平高，题目难，时间很有限，对学生的数学基础，解题速度和反应能力是一个极大的挑战。由于此赛事是在两个世界顶级大学间举办，因此对学生来说除了参赛之外，亦有机会参观领略两个世界顶级大学的迷人的风采。这也使得同学们在取得竞赛佳绩后，在这两个浸透了人类先进学术思想氛围的环境中先期徜徉享受。
该赛事面向高中学生，但是高中以下年级的学生也是欢迎参赛的。
每个参赛学生可以选择四项学科赛事中的任两项参加，每项学科赛事都是50分钟，满分50分，均由10道简答题构成。一般测试是由20道简答题组成，满分100分，考试时间是100分钟，分为两个半场进行。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-6-9 20:04 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-6-9 20:01:29

Official Results of HMMT 2009
DIVISION 1
Division 1 Individual Total
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    2.539 Ice Pasupat
2    2.501 Brian Hamrick
3    2.325 Zeyin Zhang
4    2.287 Kee Young Lee
5    2.152 Yong Feng
6    2.034 Yiyao Jiang
7    1.981 Andy Zhu
8    1.912 Jingjun Han
9    1.894 Warut Suksompong
10 1.873 Andrew Jeanguenat
Weight of Individual Total towards sweepstakes: 45.7285. (Inverse weight: 0.0219)
Division 1 Algebra
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    45    Yong Feng
2    42    Zeyin Zhang
3    41    Tony Wu
4    37    Neil Gurram
5    37    Baek Baek
5    37    Cha-Cha-Cha Cha
7    37    Jiahua Guo
8    35    Yiyao Jiang
9    35    Chenyuan Zhang
10 35    Warut Suksompong
Weight of Algebra towards individual total: 0.0262. (Inverse weight: 38.1000)
Division 1 Calculus
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    35    Kee Young Lee
2    35    Brian Hamrick
3    33    Gene Katsevich
4    26    Minseon Shin
5    26    Andrew Jeanguenat
6    26    Jingjun Han
7    19    Casey Mihaloew
8    19    John Berman
9    18    Arvind Thiagarajan
10 18    JoeNa Na
Weight of Calculus towards individual total: 0.0392. (Inverse weight: 25.5000)
Division 1 Combinatorics
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    42    Ice Pasupat
2    37    Brian Hamrick
3    37    Matt Superdock
4    34    Ian Osborn
5    32    Warut Suksompong
6    30    Kee Young Lee
7    30    Alex Kandell
8    28    Nicholas Triantafillou
9    28    Jacob Hurwitz
10 28    Andrew Jeanguenat
Weight of Combinatorics towards individual total: 0.0305. (Inverse weight: 32.8000)
Division 1 Geometry
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    35    Ice Pasupat
2    34    Zeyin Zhang
3    31    Yiyao Jiang
3    31    Andy Zhu
5    27    Yong Feng
6    26    Ruiqing Cao
7    25    Zhensheng Xia
8    24    Chen Li
9    23    Holden Lee
10 22    Matt Mayers
Weight of Geometry towards individual total: 0.0360. (Inverse weight: 27.8000)
Division 1 General 1
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    29    Matthew Babbitt
2    29    Ofir Nachum
3    28    Valeria Fedyk
3    28    Douglas Meadow
3    28    In Young Cho
6    26    Yiyang She
7    26    Karl Cobbe
8    24    Tim Jeon
8    24    Adisa Kruayatidee
10 23    Spencer Kwon
Weight of General 1 towards individual total: 0.0289. (Inverse weight: 34.6250)
Division 1 General 2
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    38    Spencer Kwon
2    35    In Young Cho
3    33    Felix Sun
4    33    Jongwhan Park
5    31    Ofir Nachum
6    29    Sterling Chu
7    29    Max Bodoia
8    29    Anu Sinha
9    28    Luyi Zhang
10 27    Yongyi Guo
Weight of General 2 towards individual total: 0.0237. (Inverse weight: 42.1250)
Division 1 General Subject Test
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    63    In Young Cho
2    61    Spencer Kwon
3    60    Ofir Nachum
4    54    Valeria Fedyk
5    54    Matthew Babbitt
6    52    Yiyang She
7    50    Jongwhan Park
8    49    Adisa Kruayatidee
9    48    Max Bodoia
10 48    Anu Sinha
Weight of General Subject Test towards individual total: 0.0137. (Inverse weight: 72.7500)
Division 1 Sweepstakes
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total    Name
1    1442.944 Thomas Jefferson A
2    1348.542 Lehigh Valley
3    1333.482 Phillips Exeter Red Lions
4    1241.488 Shanghai High School
5    1170.733 Fudan Fu Zhong
6    1157.145 Michigan All-Stars
7    1127.307 AAST Mu A
8    1118.968 Phillips Andover 1
9    1113.657 Montgomery Blair
10 1109.268 Chesapeake
Weight of Guts towards sweepstakes: 1.4440. (Inverse weight: 0.6925)
Weight of Individual Total towards sweepstakes: 45.7285. (Inverse weight: 0.0219)
Weight of Team A towards sweepstakes: 5.6338. (Inverse weight: 0.1775)
Weight of Team B towards sweepstakes: 2.8926. (Inverse weight: 0.3457)
Division 1 Guts
Generated at Sat Feb 21 17:27:22 -0500 2009
Rank Total Name
1    277 Lehigh Valley
2    233 Thomas Jefferson A
3    223 Phillips Exeter Red Lions
4    219 Chesapeake
5    211 AAST Mu A
6    196 Montgomery Blair
7    195 Shanghai High School
8    194 Murph and the Magictones
9    185 Thomas Jefferson B
10 183 Phillips Andover 1
Weight of Guts towards sweepstakes: 1.4440. (Inverse weight: 0.6925）

作者: superacid 时间: 2009-6-9 20:02:04

有很多我的同学

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-9 20:04:45

不错。。我倒要看看大家用何方法做

作者: 123wyx 时间: 2009-6-9 20:27:05

第3题 1/3
第4题彻底算晕了
我算出来的答案是111110110010 十进制4018

作者: Osullivan 时间: 2009-6-9 22:21:02

高手都出来啦~~~~~~~~
嘎嘎~~~~~~~
123wyx给出的234题均为正确答案~~~~~~
我把第5题发出来吧，貌似还没有做对的。想象给这个立方体套一个边长为5的“外壳”，则原棋盘的每一条直线延长后都对应了外壳上的两个小立方体，外壳上的每一对位置相对的小立方体反过来也都对应着里面的棋盘中的一条直线。因此，答案为外壳上的立方体个数除以2，即(5^n-3^n)/2。

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作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-9 22:40:40

占楼和大家学习一下,高考都结束了,学习气氛还是很浓啊,呵呵

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-9 23:09:00

我明白错在哪里了。。不是任何两个格点都可以这么做，而且我算的是任取成直线的概率。。

作者: 77880066 时间: 2009-6-10 12:56:22

顶下，待会再看，不过是so easy的

作者: 骰迷 时间: 2009-6-10 17:26:18

第三題是三分一～很簡單說
２００８點沒實際意義，其實題目就是圓周上選四點聯成兩線，相交機率
點在哪裡沒關係，總之祇有三種連法，設ＡＢＣＤ四點（想像ＡＢＣＤ構成正方形），連ＡＢ、ＤＣ，連ＡＤ、ＢＣ都不相疊，只有連ＡＣ、ＢＤ才相疊，因此答案為三分一。
此題怎麼相對簡單了。

頂下十六樓的解法！

[ 本帖最后由骰迷于 2009-6-10 17:28 编辑 ]

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