rongduo 发表于 2006-12-21 18:10
定理6的一个自然的推论是：角色向的跷跷板群的阶是角色向组合群的阶的三分之一，也就是：   ...
本书正文在网上挂出后，有读者问：既然在第八章的结尾引用了置换群的知识来简化方块置换组合数的计算，那么群论能够处理方块的色向问题吗？本文将解答这一疑问，不过这要求读者拥有群论和向量代数的初步知识。
又以下论述凡提及魔方，皆指全部角块已经归位的鲁毕克魔方。
在正文第四章（二）中，为处理角块的色向组合问题，我们在集合A={φ, T, -T}上定义了一个运算“+”(直接称为“加”、“加运算”)。容易看出，A中元素对于这一运算构成群，且此群是一个交换群和循环群。为便于进一步讨论，我们称此群为角的精细群或直接称为精细群，并将它记为E,按群论的常例表示为：
E = {A, +}
又称此群中的每一个元素ti (注意ti∈A)为一个精细值，精细值的运算仍沿用正文中状态值的“+”运算。
记定义于集合A上的任一n维(魔方的角块有8个，所以是8维)向量为：
<t1,t2,…,tn >
并记所有这样的向量的集合为B：
B = { b|b是定义在集合A上的n维向量 }
从魔方直观看，任意一个b =<t1,t2,…,tn >表示由组装或转动而得到的所有魔方角块的一种色向组合图案，其中编号为i的那个角块的状态为ti ，ti取值的范围为集合A={φ, T, -T}。
任取B中的两个向量元素b1, b2：
b1 = <t1,t2,…,tn >
b2 = <ti1,ti2,…,tin >
现给出这两个元素之间加运算的定义如下。
定义1 b1 + b2 = <t1,t2,…,tn > + <ti1,ti2,…,tin >
= <t1+ti1, t2+ti2,…,tn+tin >
此定义的魔方直观意义是：取两个色向图案未必相同但角块编号相同的魔方，把第一个魔方与第二个魔方中所有序号对应相等的角块的精细值（在正文中叫“状态值”）分别相加，其结果是唯一确定的一个魔方图案，这种图案的魔方也可以通过组装或转动而得到。
显见定义1与普通代数中向量加法的定义完全一致。我们知道在一般向量加法的定义中，等号两端加号的意义并不一样。定义1也是如此，其前两个加号表示两个魔方的角块按一定规则的虚拟叠合，后边尖括号中的加号则表示叠合的规则:相同编号的角块状态值（或精细值）相加。
[此贴子已经被作者于2006-12-23 19:28:27编辑过]
（接上帖）
定理1 向量集合B与定义1所确定的加运算构成一个群。
证明 （1）运算的封闭性显然。又B中必有这样一个元素Φ：
（2）对于任意的b=<t1,t2,…,tn >∈B，总有另一个属于B的元素b’=<-t1,-t2,…,-tn >，使得
b + b’= <t1+(-t1),t2+(-t2),…,tn+(-tn)> = <φ,φ,…,φ> = Φ
所以任一元素的逆元存在。
（3）按定义，集合B中向量的加运算，其实仅仅是对两个向量的对应分量分别相加，而每一个分量又是一个精细值，在正文第四章（二）中已证明精细值的加运算满足结合律，故而B中向量的加运算也一定满足结合律。至此，定理1完全得证。
我们称定理1所说的向量群为角色向组合群，或简称为角色向群、色向群。记此群为Cd：
Cd={B，定义1所确定的运算“+”}
自然，群Cd是一向量加群。
下来讨论Cd的性质。
定理2 Cd是交换群。
欲证此定理，可比照定理1证明结合律的思路，此处从略。
(未完)
[此贴子已经被作者于2006-12-22 18:36:34编辑过]
定义2 对Cd中的任一元素b=<t1,t2,…,tn >，称
S(b)=t1+t2+ … +tn
为b的精细值的和，或简称为精细和。它也就是正文所说的状态和。
定理3 Cd中任意两个元素:
b1=<t1,t2,…,tn >
b2=<t21,t22,…,t2n >
相加结果的精细和，等于b1的精细和与b2的精细和的和。即：
S(b1+b2) = S(b1) + S(b2)
证明 b1+b2 = <t1,t2,…,tn > + <t21,t22,…,t2n >
= <t1+ t21 , t2+ t22 , …,
故而，
S(b1+b2) = S(<t1 + t21 , t2 + t22 , …,
=(t1 + t21 )+(t2 + t22 )+…+(
=(t1+t2 + … + tn) + (t21 + t22 +… + t2n)
= S(b1) + S(b2)
证毕。
易知，Cd中任一元素b的精细和的可能的取值，仅为集合A中的所有的三个元素：φ, T, -T。据此可以把Cd的集合B划分为互不相交的三个子集：
B0 = { b|S(b)=φ}
B1 = { b|S(b)=T }
B2 = { b|S(b)=-T}
B0为正文所说的组装正确、符合跷跷板原理的魔方角块的图案集合；B1和B2为组装错误从而不符合跷跷板原理的魔方角块的图案集合。
[此贴子已经被作者于2006-12-22 18:34:53编辑过]
定理4 集合B0对向量的加运算构成群。
证明 因为B0是群Cd的集合B的子集，其运算的结合性是自然的。我们只须证明单位元和逆元的存在以及加运算的封闭性。
（1）∵ S(Φ)= φ ∴Φ∈B0
即集合B0包含单位元。
（2）若b=<t1,t2,…,tn >∈B0，则S(b)=φ。其逆元b’∈B为<-t1,-t2,…,-tn >，
∵ b’= b’+ Φ
∴ S(b’) = S(b’+ Φ)
= S(b’) + S(Φ)
= [(-t1)+(-t2)+ … +(-tn)]+φ
已知S(b)=φ，所以又有：
S(b’) = [(-t1)+(-t2)+ … +(-tn)]+ S(b)
= [(-t1)+(-t2)+ … +(-tn)]+[t1 + t2 + … + tn]
= φ
所以b的逆元b’也属于B0。
（3）对属于B0的任意两个元素b1和b2有
S(b1)=φ， S(b2)=φ
按照定理3有
S(b1+b2)= S(b1)+ S(b2)=φ+φ=φ
所以b1+b2也属于B0，即B0对于向量加运算保持封闭性。至此定理完全得证。
出于显见的理由，我们把B0与向量加法所构成的这个群称为角色向的跷跷板群或直接称为跷跷板群，并记为Ss:
Ss = { B0 , + }
自然，Ss是 Cd={B，+}的一个子群。
定理5 若b0∈B0，b1∈B1, b2∈B2，则
(i) b0+b1∈B1， b0+b2∈B2 ；
(ii) b1+b2∈B0 。
证明 (1) ∵ S(b0+b1)=S(b0)+S(b1)=φ+T=T
∴ b0+b1∈B1
同理, b0+b2∈B2 。
(2) ∵ S(b1+b2)＝S(b1)+S(b2)=T+(-T)=φ
∴ b1+b2∈B0。
定理5证毕。
现记任意集合R的元素个数为|R|，我们有如下的定理：
定理6 集合B0，B1，B2的元素个数都相等。即：
|B0|=|B1|=|B2|。
证明 取任一元素b1∈B1，分别与B0中所有的元素相加，则得到|B0|个互异的元素，按定理5，这些互异的元素都属于B1，
∴ |B0|≤|B1| ①
又任取一元素b2∈B2，分别与B1的所有元素相加，则得到|B1|个互异的元素，仍按定理5，这些互异的元素都属于B0，
∴ |B1|≤|B0| ②
综合①，②可知|B0|=|B1|；同理可知|B0|=|B2|。
∴ |B0|=|B1|=|B2|
证毕。[此贴子已经被作者于2006-12-21 18:35:45编辑过]
定理6的一个自然的推论是：角色向的跷跷板群的阶是角色向组合群的阶的三分之一，也就是：
|B0| =(1/3)·|B|
熟知定义于m个元素上的n维向量共有mn个，本例中,
m =|A|=|{φ, T, -T }|=3
又因为角色向组合群Cd的集合B是定义在A上的n维向量的集合，
∴ |B|=3n
∴ |B0| =(1/3)·|B| =(1/3)·3n = 3n - 1
又知在鲁毕克魔方中n=8，故组装正确且已全部归位的魔方角块的图案共有38 - 1=37种。
可以把本文中精细群E的集合A={φ, T, -T }推广到任意m个元素的集合Am={T0,T1,T2,…,Tm - 1}上。这样的推广至少有两个好处：第一，当m=2时，所得的色向群可用于描述边块的状态，这意味着边块和角块的状态在群论中可得到统一的描述；第二，如果存在某种异形魔方，其角块不止8个，角块的状态也不止3种，仍然可以用推广后的色向群来描述。不过本文已经不适合进行这样的推广了。
最后的结论：可以用置换群和向量加群来完整、统一地描述鲁毕克魔方。
[此贴子已经被作者于2006-12-23 7:39:27编辑过]
提几个问题：
1。中心块如何描述？
2。边角块/中棱块色向和分别为零早已是众所周知的事实，况且可以用简单很多的方式描述，是不是一定要用群论描述？
3。三阶的状态太容易计算，作者是不是可以用跷跷板原理计算其它阶的状态数？如果可能，试着推导一下N阶通用的算式，我认为即然做为原理，应该具有晋适性，反正吧中早有现成的通用计算公式，可以相互比对。
4。状态描述在鲁毕克魔方上早已没有悬念，作者是不是可以将自已的原理导向最小步研究以避免重复劳动。
5。纵观作者的文章，发现尚不俱备通用自足的状态描述能力。
6。看不出作者是如何将魔方众所周知的性质导入数学工具中分析，相反，感觉很像是将数学原则硬塞给魔方，恕直言，而已有的能够通用描述魔方状态的理论，都是基于大家所熟悉的魔方性质而建立。
[此贴子已经被作者于2006-12-21 22:44:25编辑过]
跷跷板原理定义本身表达的理念是：一凸必有一凹，有一黑必有一白，显然是一种静态规则。但是，角块上，可以独立存在三个顺转色向或三个逆转色向，显然不满足"一凸必有一凹，有一黑必有一白"这一静态理念。但从变换的角度，显然满足色向和为零这一原则。动态原则显然不是跷跷原理的定义的精神，那么跷跷板原理想表达的理念到底是什么？如果连解决问题的思路都表达不清，还有必要关注所选择的数学工具？这不能不让人联想起以前某个理论，感觉几乎就是数学的垒彻，只可惜在基本提问的要求下，预言了自身的破产。
[此贴子已经被作者于2006-12-22 13:57:16编辑过]
[此贴子已经被作者于2006-12-24 7:50:14编辑过]
本主题帖原本是准备与那些学习过近世代数的魔友交流的。敢于评论自己知识范围以外的帖子，这需要坦然的参与精神或超人的勇气。出于敬重，我愿意牺牲时间最后一次回答你。
1． 对于PW3，我有过评论，正面和稍微负面的都有，但我极为谨慎，决不信口开河。但我好像并未觉察他给出的组合数有什么问题，更谈不上质问其正确性。请你拿出质问的证据来，一定啊！
2． 我准备修订《魔方组合原理》，但只是文字上，其基本理论不变，架构和章节不变。
3． 你所有的疑问在原书（尚未修订的）都有答案，坐下来读一读吧，那是一本通俗读物，挺好读的。（不要无谓地把时间过多地花在本主题帖上，这需要一定的近世代数基础）。
4． 非常感谢你对我的原理和小书过人的关注，即使是批评，也让更多的人知道了这本书的存在并产生了阅读的欲望。
5． 我今后将不会有时间来回答你更多的质疑，这真不好意思。不过坦率地说，除了涉及群论背景的问题，迄今为止我还没有发现谁的质疑在原书中没有答案。
[此贴子已经被作者于2006-12-24 10:32:57编辑过]
1。非常抱歉，正是你的书不能完整回答我的提问和质疑才引发以上贴子
2。由于我的专业原因，在我17岁大玩魔方的岁月，就学过了线性代数，包奉为神圣的群论，也早就听说群论与魔方的关系，令人遗感地是，目前为止有这么多高人骑在群论背上，却不能真正释诠魔方，这种近乎神奇、令人身价倍增的工具在操作员手中，却连魔方的基本性质也推导不出来，倒是吓翻了不少门外汉，成全了不少“专家”梦，而实质上，却什么也没有解决，包括一些自称爱因斯坦的操作手。
3。本人发现，不用貌似神威的群论，仅仅用点初中知识，魔方的状态同样可以很好地被描述，并且可以轻而易举地导出N阶组合数计算公式，而那些粘了群论光辉的计算公式的来路，却疑云重重，百口难辩，难以自园其说，不明白为什么要舍简就繁，也许找一个原子弹专家作个序，可能会发一笔小财，哈哈哈，玩笑。
4。我只是提问和质疑，没有要求更没有强求任何人回答，所以还是放下那些没意义的傲慢，特别是自已的作品尚不能为这些傲慢提供什么支持和帮助的时候。
5。你第五条的回答，等于什么没有回答，魔方是一门很精细的学问，要想别人不质疑，请解决好所有原则问题，细节问题。一个反例就足以让一套理论破产，作者难到坚信你的作品找不出反例？我个人认为，作者对魔方的理解，尚处在一个初级阶段，你文章中的那些模棱二可，似是而非的语言就是最好的证明。
[此贴子已经被作者于2006-12-24 19:14:34编辑过]
N阶定律对N阶鲁毕克魔方的状态描述用以下几个基本变换就足够了：
1.中心块色向变换（此条本质上是扰动变换后果）
2.边角块色向变换（此条本质上是三置换的后果）
3.中棱块色向变换（此条本质上是三置换的后果）
4.通用三置换变换
5.扰动变换
显然，从N阶定律的角度，N阶鲁毕克魔方只有三置换变换和扰动变换二种基本变换，第一到第三条是为了指导方便而例出来的，但不是最基本的，而楼主的魔方组合原理中列出的大量变换规则显然是以上二种基本变换单独或复合使用的结果，因此根本不能称为基本规则。
不知楼主是否同意我的说法，或能够举出反证
------------------
魔方组合原理引用了高深的群论，大概吧中学过群论的魔友不是很多，那么作者能不能将你用群论推导出来的最终可以指导魔方操作的基本规则象N阶定律一样罗列出来，供大家使用或检验？同时将每一条规则的群论推导过程列出来，供那些对群论感兴趣的朋友参考。如果作者能够做到这一步，相应大家定会心服口服。
[此贴子已经被作者于2006-12-25 8:22:45编辑过]
我今天终于知道，群论只是“貌似神威”，而里面其实应该是豆腐渣。
群论的创始人是一个神童，殊不知100多年后，却被中国的超级神童看破了底细。
至于平庸如我辈，更不配和超级神童辩论了。“初级阶段”一说，在下认领。
我已答应过一个好心的朋友劝告，不再作无谓纠缠，但忍不住又说了以上的话，实在是罪过。
好吧，从现在起，我一定闭住自己的臭嘴。
有关的网页我已复制下来。
[此贴子已经被作者于2006-12-25 8:25:46编辑过]
13楼确实驳得水平高超，火车碾蚂蚁，大刀砍蚊子，飞机上打渔，真是富有想象力。只可惜，这么好的工具，却弄不出一个象样的结果，我想，一定是100年前发明这个工具的人是一个白痴。我重来就没有否认过，手持长矛突袭风车，是一种技战术的胜利。
从来就没有要求必须回答，所以不要故做清高，尤其是被自已的作品弄得百口难辩之时，让你生气的是你自已的作品，不是提问的人，回答不了问题就说别人在纠缠，语言老师就是语言老师，就是水平高。
至于你个人的口腔生态问题，比以前有所改善，只要没有妨碍他人，那是你私人的事，本人只对贴子感兴趣。
[此贴子已经被作者于2006-12-25 21:30:49编辑过]
今天又忍耐着将“魔方组合原理”看了一遍，我只能很遗憾地表示：
1。置换方面的描述，99%的篇幅是废话。一个三置换就足够了，且与色向无关，与块的位置无关，与块的置换顺序无关，而作者花了大量文字，定义大量术语描述位置，描述色向，置换顺序，真是匪夷所思。
2。色向方面的描述，99%的篇幅是废话。色向和为零，就一句话。而作者，将置换与色向混杂在一起，难以区分。
3。中心块变换，作者不承认中心块变换
4。组装分析（作者所谓的表示定理），完全就是手工摸索的结果，稍懂一点簇内/簇间变换常识的人，就可以轻易搞定
5。跷跷板原理，魔方组合原理的精华，其定义的语义存在无数反例。
6。组合数计算，魔方组合原理的重头戏，计算是正确的，公式推导所依据的原理却是莫名其妙，显然公式是在已知正确结果的前提下，人为拼凑出来的。
7。群论使用，完全就是将初中排列组合知识披上群论的外衣
8。魔方组合原理的致命缺陷：
对扰动关系一无所知，对色向和为零一无所知，对中心块变换一无所知，对三置换的构造性质一无所知，对置换性质与块的位置、块的色向、块的置换顺序无关一无所知，对簇概念一无所知，对组合数计算的理论原理一无所知
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如果作者对以上评论有什么不服，可以逐条讨论
[此贴子已经被作者于2006-12-27 23:36:36编辑过]
rongduo 发表于 2006-12-21 18:10
定理6的一个自然的推论是：角色向的跷跷板群的阶是角色向组合群的阶的三分之一，也就是：   ...
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