魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 三道数学题（数学发烧友不容错过） [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-6-22 11:41:43 标题: 三道数学题（数学发烧友不容错过）

1若平面上有997个点，如果每两点连成一条线段，且中点染成红色．证明：平面上至少有1991个红点，你能找到恰有1991个红点的特例吗？

2给定平面上有限个点，已知其中任意三点构成的三角形的面积小于1/4，求证所有的点位于某一个面积小于1的三角形的内部或边界上。

3在空间任取2n个点(n≥2)，其中任意4点不在1个平面上，任意3点不在1条直线上．在这些点之间共连结n^2+1条线段．试证：
　　(1)这些线段至少组成1个三角形；
　　(2)组成的三角形的个数不少于n个．

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-6-22 11:48 编辑 ]

作者: Daiis 时间: 2009-6-22 12:08:42

我也来加一题，平面上有一个1X1 的正方形，里面又28个点，求证至少能找出4个点，组成的四边形面积小于1/9。

作者: superacid 时间: 2009-6-22 17:38:46

太简单了,我做过好几遍了

作者: superacid 时间: 2009-6-22 18:10:54

原帖由 Daiis 于 2009-6-22 12:08 发表
我也来加一题，平面上有一个1X1 的正方形，里面又28个点，求证至少能找出4个点，组成的四边形面积小于1/9。

要求这么低，只有1/9?

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-6-23 11:08:45

随便思考了一下。
2.首先找到三个点围成的三角形面积最大，那么过任意一个顶点做对边的平行线，然后再把该平行线关于对边做对称。一共可以做到6条直线，也就是三个条形区域（一对平行线夹成的区域），它们重合的面上所有点可以满足面积不大于1/4，区域大小就是不大于1 。

作者: superacid 时间: 2009-6-23 13:28:26

楼上的是标准做法

作者: lulijie 时间: 2009-6-23 20:37:32

第一题，我的特例：997个点都在一条直线上，并且相邻两点的间距都相同。
证明过程可以用数学归纳法：
平面上N个点，至少有S个红点。那么S=2N-3。
  1.  N=2时，S=1，显然结论成立。
  2. 假设N=K时，结论成立，即S=2K-3。
那么，平面上已经有K个点，再增加一个点，可以证明红点至少增加2个点（可以用标记坐标的方法），
      即S=2K-3+2=2*(K+1)-3
  即N=K+1时，结论也成立。

作者: superacid 时间: 2009-6-24 10:20:38

原帖由 lulijie 于 2009-6-23 20:37 发表
第一题，我的特例：997个点都在一条直线上，并且相邻两点的间距都相同。
证明过程可以用数学归纳法：
平面上N个点，至少有S个红点。那么S=2N-3。
1. N=2时，S=1，显然结论成立。
2. 假设N=K时，结论成立 ...

都在
第二条有问题，增加一个点不一定至少增加2个红点，
比如说原来点都在x轴上，分别为x=1,-1,2,-2,...,n,-n
此时增加一个点(0,0)，红点并没有增加

作者: kexin_xiao 时间: 2009-6-24 20:33:27

题真多,学习一下

作者: lulijie 时间: 2009-6-24 23:17:36

平面上已经有K个点，再增加一个点，可以证明红点至少增加2个点（可以用标记坐标的方法），
对于K+1个点，选择增加的点可以任意选，可以选择边界的点，使得红点至少增加2个。

我把这一步详细的写出来，大家就明白了。
对于k+1个点，任意选择坐标系及坐标原点，按照横坐标从大到小排序，（若横坐标相同，则按照纵坐标从大到小排序）
选择排在前面的3个点，分别为点A、B、C。
那么除去点A，剩下的K个点按照数学归纳法第二步的假设至少有2K-3个红点。
而AB的中点和AC的中点不可能与那2K-3个红点重合，它们自己也不可能重合，所以平面上至少有2K-3+2=2*(K+1)-3个红点，
所以K+1时式子也成立，得证。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2009-6-25 01:12:32

再次强调一下3楼的身份：全国高中数学联赛上海市第四名，全国决赛获银牌。。这种题目还是听他的好。。。

作者: superacid 时间: 2009-6-25 08:32:43 标题: 回复 10# 的帖子

这才对嘛......

作者: superacid 时间: 2009-6-25 20:22:30 标题: 我来回答一下第三题吧

第一小题实际上就是图论中的托兰定理：一个简单图有n个点，且没有度为3的圈，则至多连[n^2/4]条线。（忽略）
下面做第二小题
用数学归纳法：首先，4个点连3条线显然有3个三角形；
假设在空间任取2k个点，连k^2+1条线，至少有k个三角形，下面证明k+1的情况：
设原有的2k个点为C1,...,C2k,，新增加的两个点为A.B，新增加2k+1条线
若C1,...,C2k间至少有k+1个三角形，则假设成立；
若C1,...,C2k间只有k个三角形：
首先，如果在C1,...,C2k之间再连一条线，就一定能增加一个三角形。       (1)
      如果不增加，连上这条线，去掉某一个三角形的一条边，则三角形个数小于k，与(1)矛盾。
如果新增加的线不能和原来的线新组成一个三角形，                      (2)
      那么新增加的线必须在A与Ci，B与Ci，A与B之间相连，且不能形成三角形，因为要连2k+1条线，
      必须A与B相连且所有的Ci都与A或B相连，且仅与A,B之一相连
      设A与A1,...,As相连，B与B1,...,Bt相连，{A1,...,As,B1,...,Bt}={C1,...,C2k}
      所有的Ai与Bj之间最多连了st条线，st<=((s+t)/2)^2=k^2
      而C1,...,C2k之间连了k^2+1条线，
      所以必有Ai或Bi内部连线，不妨设为Ai与Aj连线，则AAiAj为新增加的三角形，与(2)矛盾。
所以归纳假设成立。得证。

作者: edmond-xym 时间: 2009-6-28 07:33:31

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2009-6-25 01:12 发表
再次强调一下3楼的身份：全国高中数学联赛上海市第四名，全国决赛获银牌。。这种题目还是听他的好。。。

不止一次看您这么说他了，说实话有些看不下去了。
其实这个成绩没什么可吓唬人的，这里也有许多比他强的。再说句不中听的话上海的数学竞赛是什么水平还用说么？行里人都清楚。
我说这些并不是想比什么成绩。
成绩毕竟都属于过去，有实力就来解题好了。
大家是因为相同的兴趣凑到一起，能和兴趣爱好一样的人在一起讨论问题是一件很高兴的事情。没必要在问题还没解决之前就拿什么成绩压人。
我说这些并不是针对你和那个人，只是觉得光强调成绩不是很舒服。

作者: superacid 时间: 2009-6-28 18:04:22

原帖由 edmond-xym 于 2009-6-28 07:33 发表

不止一次看您这么说他了，说实话有些看不下去了。
其实这个成绩没什么可吓唬人的，这里也有许多比他强的。再说句不中听的话上海的数学竞赛是什么水平还用说么？行里人都清楚。
我说这些并不是想比什么成绩。
成 ...

事实上，上海数学竞赛在全国处于顶尖水平，你不太清楚吧。

作者: edmond-xym 时间: 2009-6-28 23:47:08

原帖由 superacid 于 2009-6-28 18:04 发表

事实上，上海数学竞赛在全国处于顶尖水平，你不太清楚吧。

我还真是不太清楚，参加那么多全国竞赛没听说哪位是上海的选手。
我声明了，并不是针对谁，我也没有贴出自己的成绩来，只是觉得没有必要。这里是讨论数学题的地方，不是显示成绩的地方。

作者: lulijie 时间: 2009-6-29 00:14:49

大家也不要争论了。
我觉得现在这里的数学氛围非常好，这跟这里活跃着一些数学专业的人、数学特长生以及一大批像我这样的数学爱好者很有关系。他们把一些奇妙的、精彩的数学大餐提供给我们，和我们分享，启迪我们的思路，开阔我们的视野，为这个专区，为我们这些数学爱好者作出了很大的贡献。
我1991年高中毕业，1996年参加工作，除了大学中接触一点所谓的高等数学，离开数学已经18年的时间了，但我对数学的热爱始终没变。
这里有这么好的数学氛围，这么多的数学热心者，没有这些热心者提供如此丰富多彩的题目，没有这么多的爱好者捧场，这个板块怎么会有今天。
俗话说顾客是上帝，对于这里，每个发帖者、每个积极参与者都是上帝。

作者: edmond-xym 时间: 2009-6-29 00:25:07

原帖由 lulijie 于 2009-6-29 00:14 发表
大家也不要争论了。
我觉得现在这里的数学氛围非常好，这跟这里活跃着一些数学专业的人、数学特长生以及一大批像我这样的数学爱好者很有关系。他们把一些奇妙的、精彩的数学大餐提供给我们，和我们分享，启迪我们的 ...

我和您的感受是一样的。我同样热爱数学。今生没能从事和数学有关的工作是我最大的遗憾。正因为有了魔方大家才能聚在一起，认识一些同样喜爱数学的朋友。
就像您说的那样这里讨论数学的氛围很好，说不定还藏龙卧虎呢。既然这样也希望大家能一起来维护这里良好的讨论氛围。
事情的起因就是我看不惯有人拿什么全国的成绩来压人。我还是那句话，不针对任何人任何事任何地方。如果我的话伤害到了谁，再次表示歉意。
只想单纯的讨论数学，还数学一个本来面目。

[ 本帖最后由 edmond-xym 于 2009-6-29 00:26 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-6-29 07:51:54

我也是这么想的，不要因为我数学竞赛成绩好就对我出的题目感到惧怕，我在这里讨论的内容一定是比较简单的。
请铯_猪哥恐鸣不要过多宣传。

作者: Osullivan 时间: 2009-6-30 23:34:21

非常感谢superacid提供的解法！
也很感谢许许多多的数学爱好者一起交流，我觉得吧里大家一起分享好的题目，学习新的思维方式很好，大家不用为一些小事争吵哦，毕竟大家都是为了一起学习，享受数学给我们带来的无穷乐趣！~~~

作者: itdkrnyle 时间: 2009-7-16 17:05:51

原帖由 superacid 于 2009-6-24 10:20 发表

都在
第二条有问题，增加一个点不一定至少增加2个红点，
比如说原来点都在x轴上，分别为x=1,-1,2,-2,...,n,-n
此时增加一个点(0,0)，红点并没有增加

这样的话，加（0‘0）点之前就不符合原作者说的每两个相邻点之间的距离相等了

作者: xuyaolucky 时间: 2009-8-21 14:02:17

MF吧里的魔友都是从事数学相关的行业吗？？？要不怎么数学都这么强

作者: tm__xk 时间: 2009-8-22 19:52:29

MS只剩第一题了....

任两点连线.共有限条.建立平面直角坐标系,使x轴不垂直于其中每一条.
设997个点的x坐标为a1<a2<...<a997,
则a1+a2<a1+a3<...<a1+a997<a2+a997<...<a996+a997.

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)