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标题: 无意间找到的题目(新增) [打印本页]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-6 08:17:02 标题: 无意间找到的题目(新增)

1.在三角形AOP中，OA=2，OP=a，角AOP=90°。设B是OA中点。求角APB的最大值。(要用确定的数字表达，不能用反三角函数）
2.七个人ABDEFGH，按顺序坐在七张长凳上。每个人都尽可能不坐在其他人旁边。（指可以选择的话，不坐在别人旁边）问有多少种坐满位置的次序？
3在n*n的方格中每个格中填入一个确定的整数。已知任意的2*2方格中所有数何是偶数，同时任意3*3方格中所有数的和也是偶数。求出所有格子内数的和也为偶数，所有满足的n
4.(重量级)在一个连通图中，至少有一个奇数点。现在要求你证明，存在这样的染色法，把每条连接线都染上红色或者蓝色，使得每个点沿出的红色线与蓝色线差绝对值不大于1.(只需要n满足就行了，不管n-1。问题意思是任意2*2和任意3*3的方格都有数字和为偶，那么可以推出在n个方格中，所有数字和是偶数。求这个数目n)
题目不难，主要我想看看大家思考方式和切入点。

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-7-8 08:01 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-7-6 08:33:03

第一道题的是的∠APB最大的P点满足过A,B,P三点的圆与直线OP相切
所以答案是arcsin(1/3)

(经提醒后改正）

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-6 16:50 编辑 ]

作者: 今夜微凉 时间: 2009-7-6 08:56:44

我再占一次楼~思考中~
第一题，设角APB为角P，则sinA/根号〔a平方-3〕=sinP/1，解出来，由于sinX是和X同增同减〔0到90度〕，于是成为求sinP的最大值，适当方式求导，即可得出一个简单一元二次方程，解出a=根号6，则P最大就是arcsin〔1/3〕
第二题好像看懂了一些，结果是7*〔6的6次方〕*〔7的阶乘〕吗？
第三题貌似看懂了，但是按我的理解~3*3里面我填入1这个数呢，和不是9吗？
好像第一题答案和楼上不同哦，我知道楼上是数学强人，他的题目我没做出来~这次不知我做没做对~我把楼上的答案带入，好像解出a不是实数啊~

[ 本帖最后由今夜微凉于 2009-7-6 11:01 编辑 ]

作者: flwb 时间: 2009-7-6 09:01:06

是呀!第二题什么意思?

作者: flwb 时间: 2009-7-6 09:03:17

第三题把错字，语病改一改,否则不好理解。

作者: 357433865 时间: 2009-7-6 12:51:48

第二道中的“尽可能”会给人模糊的感觉，题目最好准确点！

作者: Osullivan 时间: 2009-7-6 13:47:13

原帖由 今夜微凉 于 2009-7-6 08:56 发表
我再占一次楼~思考中~
第一题，设角APB为角P，则sinA/根号〔a平方-3〕=sinP/1，解出来，由于sinX是和X同增同减〔0到90度〕，于是成为求sinP的最大值，适当方式求导，即可得出一个简单一元二次方程，解出a=根号6，则 ...

第一题我算的和你的结果一样。可以用余弦定理作非常简单的，cosP＝a^2+2/((a^2+1)（a^2+4）)^1/2,平方处理后，容易求得（cosP）^2的最小值为8/9,则sinP＝1/3即为所求,但我求得此时a＝根号3，和你得貌似不同哦～～～～～～～～～

作者: 今夜微凉 时间: 2009-7-6 13:50:52

原帖由 Osullivan 于 2009-7-6 13:47 发表

第一题我算的和你的结果一样。可以用余弦定理作非常简单的，cosP＝a^2+2/((a^2+1)（a^2+4）)^1/2,平方处理后，容易求得（cosP）^2的最小值为8/9,则sinP＝1/3即为所求,但我求得此时a＝根号3，和你得貌似不同哦～～ ...

哦，不好意思~~我看错了，OP=a，我把AP=a了~~~~但是结果（角度值）我们都一样吧？

作者: aben306 时间: 2009-7-6 13:56:12

晕...怎么还有数学题???

这不是把我难坏了?>

作者: Osullivan 时间: 2009-7-6 14:42:53

3在n*n的方格中每个格中填入一个确定的整数。已知任意的2*2方格中所有数何是偶数，同时任意3*3方格中所有数的和也是偶数。任意的n也使得此方格表中所有数之和偶数。求所有满足条件的n。

LZ的表述确实不大清楚，我对LZ题目的理解是：

对于任意n*n方格，其中任意2*2 ，3*3，4*4，…（n-1）*（n-1），n*n，所有的方格数字和为偶数。这样的话所有格都填偶数就OK了，没有太大意义。
但我对LZ最后一句话“任意的n也使得此方格中所有数之和为偶数。”LZ是不是在表达，n*n方格确定了，任意填入某一数到方格，使得2，3，4，…n阶的方格中各数之和为偶数，如果是这样理解的话还比较有难度。
我琢磨了会，如果任意填入某数m，m为偶数时，所有都填偶数满足。但如果m为奇数了，我试了会，发现填到5*5的方格就没法填下去了。我用01分别表示奇偶，如下图。但n＝7时，就没法解决了。

LZ还是把原题找出来，大家研究研究，自己的表述有时不准确容易让做题人走很多弯路！

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作者: Cielo 时间: 2009-7-6 16:07:50

第一题用2楼的方法很容易算的吧！

作者: superacid 时间: 2009-7-6 16:46:46 标题: 回复 10# 的帖子

意思是求所有的n，使得在n*n方格中填入的数满足如下的要求时，所填数的总和必为偶数：
1.任意2*2方格的数之和为偶数
2.任意3*3方格的数之和为偶数

我现在知道当n mod 6=0,2,3,4时正确，n mod 6=1时不正确。

作者: superacid 时间: 2009-7-6 16:47:57

第一题我答案算错了，不过干嘛非要硬算呢？我的方法不是很精妙吗？

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-6 16:50 编辑 ]

作者: Osullivan 时间: 2009-7-6 16:50:16

原帖由 Cielo 于 2009-7-6 16:07 发表
第一题用2楼的方法很容易算的吧！

恩，2楼貌似结果算得有点问题~~~~~~~

作者: superacid 时间: 2009-7-6 16:58:57 标题: 回复 14# 的帖子

前面答案算错了，现在改过来了。

作者: ocg42 时间: 2009-7-6 20:32:24

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: lulijie 时间: 2009-7-6 21:35:44

我来另一个硬算的方法：

a=2*tgθ
设线段BP的长度为L
那么 L^2=1+4*(tgθ)^2
应用正弦定理： 1/ sin α = L/sinθ =  根号(1+4*(tgθ)^2)/sinθ =根号( (1/sinθ)^2+(2/cosθ)^2 )
要求α 的最大值，就是求  (1/sinθ)^2+(2/cosθ)^2 的最小值。
经过计算（或用微积分求导），得 ctgθ=根号2 ,那么  sinθ=根号(1/3)
得L=根号3
所以：sinα=sinθ/L=1/3.

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作者: superacid 时间: 2009-7-7 09:51:57 标题: 第4题

称一个好的染色法是满足
(1)若该图存在奇顶点则可以将其棱红蓝二染色，使得每个点连出的红色棱与蓝色棱差距不超过1
(2)若该图不存在奇顶点则可以将其棱红蓝二染色，使得某一个点连出的红色棱与蓝色棱差距不超过2，且除去这个点以外的所有点连出的红色棱与蓝色棱一样多
的染色方法。

用数学归纳法，显然任意顶点数为2或3的图都存在一个好的染色法。
当顶点数大于3时，考虑一个奇顶点和它的任意一条棱，设棱的两个顶点为A,B，
去掉这条棱后的剩余的图的每一个最大连通分支都可以存在一个好的染色法。
（一）若是连通图，分2种情况讨论：
1.剩下的图含有奇顶点：
由于原图中A,B至少有一个奇顶点，所以现在A,B至少有一个偶顶点，该偶顶点连出的红色棱与蓝色棱一样多，所以红色,蓝色必有一种颜色满足条件；
2.剩下的图不含奇顶点：
存在一个好的染色法使得A连出的红色棱与蓝色棱差距不超过2，其余点连出的红色棱与蓝色棱相等。若A点红色棱多，则连蓝色；蓝色棱多，则连红色。
（二）若不是连通图，则其最大连通分支为2，分5种情况讨论：
1.A连出的红色棱与蓝色棱相等，B也相等：此时任意选择AB的颜色就可以了；
2.A连出的红色棱比蓝色棱多(蓝色比红色多同理)，B相等；因为多出的数量不超过2，所以此时AB染蓝色就可以了；
3.B连出的红色棱比蓝色棱多，A相等：与2类似；
4.A连出的红色棱比蓝色棱多，B也是：AB染蓝色；
5.A连出的红色棱比蓝色棱多，B连出的蓝色棱比红色棱多，变换含B的最大连通分支的所有棱的颜色(红→蓝，蓝→红)，就变成第4中情况。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-7 11:41 编辑 ]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-7 20:49:58

不是吧。。。到现在没有看到合适的答案

作者: superacid 时间: 2009-7-7 20:52:42 标题: 回复 19# 的帖子

有什么问题？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-7 20:57:12

角度没算出来，第二第三也没有完整答案，第四，答案也不完整啊！

作者: superacid 时间: 2009-7-7 21:03:07

第二题实在看不懂，第四题应该是对的

作者: lulijie 时间: 2009-7-7 21:42:28

第2题的意思我的理解是这样的：
用1234567表示七张凳子。
第一个人随便选，可以任意选，比如选2号，
第二个人，不能选1号和3号，因为他要尽可能不挨着别人坐，他可选择4567的任何一张，比如选5号，
第三个人，不能选13，也不能选46，他只能选7
第四个人，因为无论如何选都要挨着别人坐，所以他可以任意选了，
第五、六、七都可任意选。
这样，按选择凳子的顺序，排成一个序列，就是一种排法，
2571346
2571436
2574136
.........
上述都是一种排法。
楼主的意思就是1234567七个数排列，一共有多少种合法的排法？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-7 21:49:26

对，就这个意思。

作者: lulijie 时间: 2009-7-7 22:19:26

电脑编程计算，有1008种。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-7 22:36:55

是的。答案确实是1008

作者: lulijie 时间: 2009-7-7 22:46:48

具体计算：前三个位置选择，必定都不相邻。
分两种情况
1.  第四个人可选择不相邻：只有一种情况
      前4个号码是 1357 的一个排列，一共4! 种，后三人随便选择，有3! 种
   总共  4！*3！=144种。
2.  第四个人不能选择不相邻：有以下六种情况
136
146
147
246
247
257
前三个人号码可以交换，后4个人号码可以交换
总共  6*3！* 4! = 864 种
--------------------------------------
所以一共有144+864=1008种。

作者: lulijie 时间: 2009-7-7 23:36:23

第四题我的思路是这样的：
奇数点必定是偶数个。
先讨论2个奇数点的情况。
我们从一个奇数点开始，沿着连通线往前走，走遍所有的连通线，最后必定终结于另一个奇数点。（一笔画完成的条件就是最多两个奇数点）。这样，我们走的第一条连通线画红线，第二条画蓝线，第三条画红线....,依次类推.。
每一个偶数点，一进必有一出，所以她们的红蓝线一样多，相差为0。而两个奇数点，除了开始出发的和最后终结的，其他也是一进必有一出，所以它们的红蓝线相差1。

作者: lulijie 时间: 2009-7-8 00:07:17

现在讨论任意数目个奇数点：
我们还是采取原来的方法，从一个奇数点开始，沿着连通线往前走，一红一蓝，一红一蓝的染色，最后终结于另一奇数点。这样这两个奇数点已经无路可走，即没有没染色的连通线，所以它们的红线蓝线差为1。其他偶数点，包括其他奇数点它们已染色的连通线红蓝相差为0。
现在我们从第三个奇数点，按照相同的方法前进，边走边染色，最后也是终结于第4个奇数点。所以这两个奇数点，红蓝差也是1。中间经过的偶数点，一进必有一出，所以它们的红蓝差，必定是0。
若还有其他奇数点，再重复上述步骤，直到所有的奇数点都染色完毕。
这样，所有的奇数点，红蓝线差为1，所有的偶数点红蓝线差为0。
染色完毕。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-8 07:45:03

思路不错，但是没有考虑是否会走重复的路。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-7-8 08:00:06

原帖由 Osullivan 于 2009-7-6 14:42 发表
3在n*n的方格中每个格中填入一个确定的整数。已知任意的2*2方格中所有数何是偶数，同时任意3*3方格中所有数的和也是偶数。任意的n也使得此方格表中所有数之和偶数。求所有满足条件的n。
LZ的表述确实不大清楚 ...

只需要n满足就行了，不管n-1。问题意思是任意2*2和任意3*3的方格都有数字和为偶，那么可以推出在n个方格中，所有数字和是偶数。求这个数目n

作者: 小半仙 时间: 2009-7-8 13:56:40

没听懂十楼的话，还是觉得题很模糊

作者: noski 时间: 2009-7-8 16:19:11

第一题我也是求导算的，arcsin(1/3) ，用Windows计算器算了一下约为19.471°
第二题拓展一下，如果改成ABCDEFG依次去坐在凳子上，每个人都尽可能的不挨着前一个人（如果可以选择的话，就不挨着前一个人），那这种次序有多少呢？
比如：
A坐在2号，B就可以坐在4、5、6、7号；
A坐在2号，B坐在4号，C就可以坐在1、6、7号；
……
没的选择的时候才可以挨着。。

作者: lulijie 时间: 2009-7-8 19:31:39

下面我详细的用一笔画思路来证明第四题：
1.任何连通图，奇数点的个数必定是偶数个。
2.两个奇数点的连通图，必定能一笔画完成，且必须从一个奇数点开始，最后终结于另一个奇数点。
3.我们从连通图的一个奇数点开始，沿着未染色的连通线前进，边前进边染色，只要还有未染色的连通线存在，就任意选择一条连通线前进。直到无路可走为止。那么，终止点必定是奇数点。我们把从一个奇数点开始，边前进边染色，到最后无路可走，终止为止，叫做一次“一笔画”过程。在一次“一笔画”过程中，染色的颜色是一红一蓝，交替进行。那么在一次一笔画完成后，奇数点所画的红蓝线数相差1，偶数点红蓝线数相等。
4.对于2n个奇数点的连通图，我们可以把它分成n个部分连通图的相叠加，每个部分连通图都是两个奇数点的连通图，且它们之间没有重复的连通线。这样每个部分连通图都可以完成一笔画。对于原始连通图的偶数点，可以出现在一个或若干个部分连通图中，但它在每个部分连通图中都是偶数点。对于原始连通图的奇数点，可以出现在一个或若干个部分连通图中，但其中有且只有一个是奇数点。这样，对于原始连通图的偶数点的红蓝线数相差等于0+0+...，永远等于0，奇数点的红蓝线数相差等于1+0+0......=1。
----------------------------------------------------
下面来证明 2n个奇数点的连通图，一定可以把它分成满足条件的n个部分连通图的相叠加。
我们先从任意一个奇数点开始，沿着连通线往前走，一红一蓝，一红一蓝的染色，最后终结于另一奇数点。这样最后一个奇数点的连通线已全部染色完毕，可以清除，而出发时的奇数点，要么连通线也全部染色完毕，要么剩下偶数个连通线未染色，成了“偶数点”。这样完成一次一笔画后，由剩余的未染色的连通线构成的连通图，它的奇数点减少为2n-2。
这样，不断进行一笔画过程，每次完成后，奇数点个数减2，经过上述共n次一笔画过程，奇数点个数将减到0。每个被染色过的连通线，都不出现在后面的连通图中，所以不会出现重复计算。
若经过上述n次一笔画过程，所有的连通线都被染色过，那么我们就把原始连通图分成了n个部分连通图（每个都可以一笔画，具备2个奇数点）的相叠加。
若经过上述n次一笔画过程，还剩下没有染色的连通线，那么，它们所有的点都是偶数点。它们可以全部连通在一起，也可以分割成彼此不相通的几部分。其中的每一个部分必定与我们前面的某一次一笔画有共同的顶点，这样我们把这部分与原先的这一笔画部分连通图叠加在一起，仍然是具备2个奇数点的连通图，肯定可以一笔画完成。这样我们把所有的剩余部分都并在前面的某个一笔画连通图中，这样形成的n个部分连通图，满足上面第四点的所有条件，所以证明完毕。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-8 19:53 编辑 ]

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