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标题: 抛硬币的概率问题 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-7-9 20:56:04 标题: 抛硬币的概率问题

考虑一个事件，它有两种概率均等的结果。比如掷硬币，出现正面和反面的机会是相等的。现在我们希望知道，如果我不断抛掷硬币，需要多长时间才能得到一个特定的序列。

序列一：反面、正面、反面
序列二：反面、正面、正面

首先，我反复抛掷硬币，直到最近的三次抛掷结果形成序列一，然后我记下这次我抛掷了多少次才得到了我要的序列。重复执行这个过程，我可以算出得到序列一平均的抛掷需要次数。同样地，反复抛掷硬币直到序列二产生，它所需要的次数也有一个平均值。你认为这两个平均值哪一个大哪一个小？换句话说，出现序列一平均所需的抛掷次数少还是出现序列二平均需要的次数少？亦或它们两种情况相等？

PS：也是与硬币有关的一个非常简单有趣的题目：
在一个漆黑房间里，有100个硬币，其中有10个正面朝上，90个反面朝上。要求把硬币分为两堆（两堆数目可以不等），你允许任意翻动硬币，使得每堆的正面朝上的硬币个数相等。（不要把此句理解错了），请问怎么操作~~~~~~~

[ 本帖最后由 Osullivan 于 2009-7-9 21:59 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-7-9 21:02:47

我的第一感觉：任何长度相等的序列的平均次数应该是一样的。

作者: nileibin 时间: 2009-7-9 21:04:13

我的第一直觉认为.是一样的概率.

作者: Osullivan 时间: 2009-7-9 21:10:14

其实不一样~~~~~~~~
我刚看到，也很诧异~~~~~~~~~

作者: 今夜微凉 时间: 2009-7-9 21:13:24

大学概率学的书有这题~和那个裴多数X列有关~

作者: nileibin 时间: 2009-7-9 21:30:28

嘿嘿.做个简单的程序看看.

作者: 夜雨听风 时间: 2009-7-9 21:39:22

其实是一样的概率都一样

作者: Osullivan 时间: 2009-7-9 21:46:54

原帖由 夜雨听风 于 2009-7-9 21:39 发表
其实是一样的概率都一样

绝对不一样，再次申明！！！~~~~~~~~

作者: maO 时间: 2009-7-9 21:48:38

应该是不一样的.

作者: 马良 时间: 2009-7-9 21:54:06

bu zhidao,希望高手解答！！！！

作者: nileibin 时间: 2009-7-9 21:59:28

结果出来了.挺诧异的.
每个数列都做了10000次试验.总共做了n*10000次试验.
发现序列一的次数总和一般为9万多.接近十万了.
而序列二的次数都是七万左右.

作者: 小波 时间: 2009-7-9 22:00:17

PS那个题是不是这样的，操作方法和如果条件是1个正面朝上，99个反面朝上是类似的。

PS：在漆黑的房间里反硬币……怕怕~~

作者: Osullivan 时间: 2009-7-9 22:05:47

原帖由 nileibin 于 2009-7-9 21:59 发表
结果出来了.挺诧异的.
每个数列都做了10000次试验.总共做了n*10000次试验.
发现序列一的次数总和一般为9万多.接近十万了.
而序列二的次数都是七万左右.

实验结果完全正确~~~~~~~~
说明后者所需次数少~~~~~~~~

作者: Atato 时间: 2009-7-9 22:15:40

貌似吧里发过这题?呵呵

作者: lulijie 时间: 2009-7-9 22:39:16

正面记作1，反面记作0.
序列一：反面、正面、反面及010
序列二：反面、正面、正面  及011
第一种情况：前三步就完成：
   序列一  010  概率1/8
   序列二  011  概率1/8
第二种情况：第四步才完成：
   序列一 1010或0010 概率2/16
   序列二 1011或0011 概率2/16
第三种情况：第五步才完成：
   序列一 11010或10010或00010                概率3/32
   序列二 11011或10011或00011或01011 概率4/32
。。。。。。
第一、第二种情况两序列概率相同，
第三种情况，序列二概率大
所以序列二完成任务快，所以平均步数少。

作者: Osullivan 时间: 2009-7-9 22:46:13

原帖由 lulijie 于 2009-7-9 22:39 发表
正面记作1，反面记作0.
序列一：反面、正面、反面及010
序列二：反面、正面、正面  及011
第一种情况：前三步就完成：
   序列一  010  概率1/8
   序列二  011  概率1/8
第二种情况：第四步才完成：
...

如果步数n再大些时，是否会发生变化呢？概率能否用步数n表示出？~~~~~~~~~

作者: shadowyang 时间: 2009-7-9 23:53:32

原帖由小波于 2009-7-9 22:00 发表
PS那个题是不是这样的，操作方法和如果条件是1个正面朝上，99个反面朝上是类似的。

PS：在漆黑的房间里反硬币……怕怕~~

是类似的，只要分成90和10个两堆，让后吧10个的那堆全都翻过来就行了。

作者: lulijie 时间: 2009-7-10 00:01:02

序列一：第n步完成任务的概率记作 A(n)/2^n
      那么有以下递推公式：
                  A(2)=0，A(3)=1，A(4)=2，A(5)=3
                  A(n+4)=A(n+3)+A(n+2)+A(n)
序列二：第n步完成任务的概率记作 B(n)/2^n
      那么有以下递推公式：
                  B(2)=0，B(3)=1
                  B(n+2)=B(n+1)+B(n)+1

作者: lulijie 时间: 2009-7-10 00:22:09

所以平均步数
序列一 S(1)= ∑  n* A(n)/2^n

序列二 S(2)= ∑  n* B(n)/2^n

计算到n=30时，S(1)=9.37，S(2)=7.94
   结果与电脑模拟基本相符。

作者: lulijie 时间: 2009-7-10 00:49:54

具体结果
                  A(n)       B(n)
n=3：          1             1
n=4：          2             2
n=5：          3             4
n=6：          5             7
n=7：          9             12
n=8：       16             20
n=9：       28             33
n=10：       49             54
n=11：       86             88
n=12：    151          143
n=13：    265          232
n=14：    465          376
n=15：    816          609
n=16： 1432          986
n=17： 2513       1596
n=18： 4410       2583
n=19： 7739       4180
n=20： 13581       6764
n=21： 23833       10945
n=22： 41824       17710
n=23： 73396       28656
n=24：128801       46367
n=27：696081    196417
n=28  1221537    317810
n=29  2143648    514228
n=30  3761840    832039

作者: 357433865 时间: 2009-7-10 00:55:08

我的第一感觉就是不一样。但是我不会证明！

作者: lulijie 时间: 2009-7-10 01:31:14

将B(n)数列每项都加1，就得到了斐波那挈数列。  记 a=根号5
所以B(n)的通项就是 ( ( (1+a )/2)^n-( (1-a) /2 )^n) / a -1
所以序列2的平均步数=  ∑ [ n* ( ( (1+a )/4)^n-( (1-a) /4)^n) / a -n*0.5^n ]
计算它的极限 =8

作者: superacid 时间: 2009-7-10 09:22:31

经计算，S(1)=10

作者: lulijie 时间: 2009-7-10 15:48:41

解得 A(n)的通项公式=0.177008822674709 * 1.75487766624669 ^ n + 0.822991177325291 * 0.754877666246692 ^ n * Cos(1.40771544260295 * n) - 0.552445577291555 * 0.754877666246692 ^ n * Sin(1.40771544260295 * n)

序列一的平均步数=∑ [ n*(0.177008822674709 * 0.877438833123345 ^ n + 0.822991177325291 * 0.377438833123346 ^ n * Cos(1.40771544260295 * n) - 0.552445577291555 * 0.377438833123346 ^ n * Sin(1.40771544260295 * n)) ]

计算它的极限值=10。
同23#的计算结果。

作者: Zeon.C 时间: 2009-7-24 20:46:18

1要高一点八。。。
后面的。。。直接打乱一分2？

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