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标题:
一个小游戏,甲获胜的概率是?
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作者:
小蓝灵
时间:
2009-7-13 12:14:13
标题:
一个小游戏,甲获胜的概率是?
一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行。裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、····、2006,然后随意擦去一个数。接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜。
按照这种游戏规则,求甲获胜的概率。(用具体的数字做答)
作者:
superacid
时间:
2009-7-13 12:27:03
前面题目看错了
如果擦去一个奇数,甲必输,乙必胜。
[
本帖最后由 superacid 于 2009-7-13 13:47 编辑
]
作者:
nileibin
时间:
2009-7-13 12:42:37
这种题目通常是有必胜策略的吧.
作者:
lamianbu
时间:
2009-7-13 12:48:46
好像挺难的。
小学生才研究这种题目。
上大学后,很少接触“互质”这个词。
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楼上两位说的不对吧,
裁判,是
“随意”
擦掉一个数。两个学生是
“非常聪明”
的。
这样一个随机条件,结果,可能是甲有必胜策略,也可能乙有必胜策略。
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有研究这种题目的精力,哥德巴赫猜想,都能搞出来。
[
本帖最后由 lamianbu 于 2009-7-13 12:53 编辑
]
作者:
龙魔
时间:
2009-7-13 14:01:40
好像挺难的。
小学生才研究这种题目。
上大学后,很少接触“互质”这个词。
作者:
MickeyLeo
时间:
2009-7-13 15:16:51
标题:
回复 4# 的帖子
没错,分两种情况,但是因为一共2006个数,所以乙有必胜策略,而甲没有。如果二人都是随意擦去,那么甲获胜的概率太难算了吧?
作者:
lulijie
时间:
2009-7-13 15:48:45
甲获胜的概率是0.
乙的策略:先去掉1和所有的质数,再去掉不含2和3因子的数,最后剩下的就是2的倍数或3的倍数。
接着:保持含2因子的数和含3因子的数(含3因子的数若也是含2因子的数,那就算作含2因子的数)都至少有两个。
若甲使得含2因子的数等于1个,那么就消灭含2因子的数。最后只剩3的倍数,必胜。
若甲使得含3因子的数等于1个,那么就消灭含3因子的数。最后只剩2的倍数,必胜。
所以最后就剩含2因子的数2个,含3因子的数2个。而轮到甲先选,所以甲必败。
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看错了,原数中无1。
剩4个数时,是轮到乙先,要重新考虑了。
[
本帖最后由 lulijie 于 2009-7-13 15:53 编辑
]
作者:
lulijie
时间:
2009-7-13 17:00:46
裁判随意擦去1个数
擦去奇数(概率1002/2005),那么剩下的偶数比奇数多2个,那么乙每次都去掉奇数,那么最后剩下的两个数必是偶数,所以乙必胜。
擦去偶数(概率1003/2005),那么剩下的偶数同奇数一样多。应该是甲必胜。
所以甲胜利的概率=1003/2005
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下面分析剩下的偶数同奇数一样多时,是否甲必胜。
若乙全部去掉奇数,那么甲全部去掉偶数(2,4,8,16,32等仅含2的因子的数尽量剩下)。到最后剩4个数时,剩下2,4和两个奇数,乙先选,那么乙必败。
若乙中间有选偶数,那么甲在乙选偶数的时候选奇数(尽量留下质数和含不同因子个数少的数如9、81、25等,尽量选择含不同因子个数多的数。)
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2006以内 例如: 8、9因为仅含因子2、或3,所以属于 含有不同因子个数 =1的类
含有不同因子个数 总数
1: 334
2: 959
3: 630
4: 82
作者:
lulijie
时间:
2009-7-13 20:51:09
2-2006之间的整数:分为
第一类:质数 一共有304个
第二类:两个质数的乘积。如6、10、15等 一共有564个
第三类:只含有1种质因数。如4、8、9、27等 一共有 30个
第四类:除了第二类以外的只含有2种质因数的数。如4*3,4*9等。 一共有395个
其中含2因子不含3、5因子的有264个 4a类数
其中含3因子不含2、5因子的有90个 4b类数
其中含5因子不含2、3因子的有29个 4c类数
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第一类数,乙一定要首先清除。
第二类数,乙也要清除,
因为若剩下都是第二类数,那么在剩下5个数时,甲有必胜招。
第三类数,乙也要清类除,否则,甲保证两组第三类数平衡,最后剩下4个数时,如剩2,4,3,9。乙就陷入绝境。
在乙清除完前三类数,已清除了898个数。
那么甲也清除了898个数,最后剩下204个数,可以使得
剩下4a类数88个, 4b类数87个, 4c类数29个,
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以后甲要保证至少两种四类数的存在,不能被乙清除掉两种四类数,只剩一种四类数,这是可以做到的。
最后剩4个数时,刚好4a类数两个,4b类数两个。(或其他两种四类数各两个)。如以下形式:
2^m1*a^n1,2^m2*b^n2 , 3^p1*c^q1,3^p2*d^q2
只要甲做到使得质因子a与b不同,c和d不同,那么就稳操胜券。(1)
若做不到,那么只要做到a、b与c、d不同也可以。 (2)
(1)和(2),肯定能做到一点,所以甲必胜。
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