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标题: 我的一个猜想 [打印本页]

作者: sail 时间: 2009-7-15 12:32:53 标题: 我的一个猜想

能否过已知两点、切已知直线，用尺规作图法作一个圆。
如果能，请写出做法并作图。
如果不能，请给出证明。

如图所示：

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作者: jjj_jecmy 时间: 2009-7-15 12:35:23

肯定能，但我只是小学生，不会~~~期待高手~~沙发~~

作者: sail 时间: 2009-7-15 12:46:49

可惜我问了老师，问了很多尖子，他们都没能解出来（高中）

作者: lernem 时间: 2009-7-15 13:49:03

肯定是可以的只要知道圆心和半径就能了

作者: lulijie 时间: 2009-7-15 14:02:58

建立坐标系，坐标  A(0,a)，B(h,b)， b>a。
假设所求的圆的圆心为O(x,y)。
那么  AB的垂直平分线方程： x^2+(y-a)^2=(x-h)^2+(y-b)^2  即  2hx+2(b-a)y=h^2+b^2-a^2
      O点到给定直线的距离等于OA：y^2=x^2+(y-a)^2 即 x^2-2ay+a^2=0
联立上述两式，解得x=sqr(ba) * sqr(h^2+(b-a)^2)) /(b-a)  - h*a/(b-a)       sqr()为开根号。
sqr(h^2+(b-a)^2))  就是AB的长度。
h*a/(b-a) 可以尺规作出，
所以只要能过尺规作出x长度的线段，那么从坐标原点，往横轴方向量出x长度的线段，截出p点，再以p点作横轴的垂线与AB的垂直平分线相交，交点就是所求的圆心。
而要作出x长度的线段，就必须作出根号(a*b）长度的线段，只要做出了该长度的线段，x长度的线段就非常容易完成。
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所以本题能否尺规作图就等价于，已知a、b长度的线段，能否尺规作图作出m长度的线段，使得a:m=m:b。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-7-15 14:05 编辑 ]

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作者: lulijie 时间: 2009-7-15 14:24:47

m=根号(a*b)

用以上方法就可以尺规作出m长度的线段。
所以本题目能够尺规作出。

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作者: Cielo 时间: 2009-7-15 16:10:58

楼上正确！

联结两点并延长，与已知直线交于O点，利用切割线定理，只需要作出切线长即可。

而这个长度利用勾股定理很容易作出来。

作者: q376997368 时间: 2009-7-15 16:21:57

弱弱地问下，如果要用直角坐标系或者什么未知数那还叫尺规作图吗？
这挑剔应该可以转变为在平面上找一点，使得这一点到已知两点及直线距离相等

作者: Cielo 时间: 2009-7-15 16:27:18

原帖由 q376997368 于 2009-7-15 16:21 发表
弱弱地问下，如果要用直角坐标系或者什么未知数那还叫尺规作图吗？
这挑剔应该可以转变为在平面上找一点，使得这一点到已知两点及直线距离相等

那些只是思考过程，具体操作都是可以用尺规完成的！

作者: sail 时间: 2009-7-15 20:58:28 标题: 回复 5# 的帖子

尺规作图即用无刻度的尺子和圆规进行作图，因此不具备度量功能。

作者: lulijie 时间: 2009-7-15 21:11:30

用圆规就可量度。

作者: lulijie 时间: 2009-7-15 23:34:52

楼主的老师、尖子生们为什么做不出，是因为他们对尺规作图的精髓未能领悟。以为尺规作图就是不断地从已知线段、直线、圆等出发，一步一个脚印的做。不知道用未知数、代数的方法，先算出要作的量的长度，只要这个长度能够尺规作图作出来就成。这是逆向思维问题。

作者: wzhllk 时间: 2009-7-16 13:21:46 标题: 我会解答！

我的方法： 1、在直线上任取一点。
               2、连接三点构成三角形。
               3、尺规做这个三角形的外接圆。（这个课本上可是有教过的哦）
                     3.1  作每条边的垂直平分线。
                     3.2  三条垂直平分线一定交于一点。
                     3.3  以这个交点为圆心，交点到三角形任意顶点为半径。
                     3.3  拇指和食指搓圆规。

不过我试了一下，好像不对啊！

[ 本帖最后由 wzhllk 于 2009-7-16 16:18 编辑 ]

作者: sail 时间: 2009-7-17 11:46:46

很明显不对啦！第一步就错了。

作者: superacid 时间: 2009-7-17 21:40:42 标题: 回复 13# 的帖子

这个......

作者: venheng 时间: 2009-7-18 07:47:28

哈哈~貌似一题高中的奥数题~~但具体解法忘了~

作者: venheng 时间: 2009-7-18 07:51:45

啊对了在这个题上主要用到的是圆规~直尺最多用3次就够了~

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