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标题: 关于自然数所有因子的和除以自身的最大值问题。 [打印本页]

作者: lulijie 时间: 2009-7-20 21:03:16 标题: 关于自然数所有因子的和除以自身的最大值问题。

看了最近的关于完全数的帖子，我想到了一个问题。
用S表示自然数N的所有因数的和（除自身外）。那么如果S/N=1，就表示N为完全数。
那么S/N有没有最大值呢？

作者: superacid 时间: 2009-7-20 21:48:56

应该没有吧，所有的质数的倒数和为∞，
取数列an=p1p2...pn，其中pn为第N个质数。
则an的S为an(1/p1+1/p2+...+1/pn+...)
S/N>1/p1+1/p2+...+1/pn发散，故无最大值。

作者: Cielo 时间: 2009-7-20 22:06:34

令 f(n) = 自然数 n 的所有因数的和（包括自身）
设 n = ∏ p[sub]i[/sub][sup]k[sub]i[/sub][/sup]（分解为素因数的方幂之积）
则相应的 f(n) = ∏ (p[sub]i[/sub][sup]k[sub]i[/sub]+1[/sup]-1)/(p[sub]i[/sub]-1)
可以发现对于固定的 p[sub]i[/sub]，其指数 k[sub]i[/sub] 越大则 f(n)/n 的取值越大，
当 k->∞，(p[sup]k+1[/sup]-1)/p[sup]k[/sup](p-1) -> p/(p-1)
问题变为：当 i->∞ 时，∏ p/(p-1) 有没有极限（表示对所有素数求和）。
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楼上的解法果然简便！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-7-20 22:11 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-7-20 22:14:46

发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

作者: lulijie 时间: 2009-7-20 22:24:40

2楼的方法很漂亮。
若求N以内的S/N的最大值，如何求，有没有简单的公式？
比如N为100以内的整数，求S/N的最大值。

作者: Cielo 时间: 2009-7-20 23:54:38

原帖由 superacid 于 2009-7-20 22:14 发表
发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

赞！
以前见过的 ∏ [∑[sub]i=0[/sub][sup]∞[/sup]p[sup]-i[/sup])] ，结果这次还是你说了我才发现

作者: Cielo 时间: 2009-7-21 00:09:31

原帖由 lulijie 于 2009-7-20 22:24 发表
2楼的方法很漂亮。
若求N以内的S/N的最大值，如何求，有没有简单的公式？
比如N为100以内的整数，求S/N的最大值。

试了几个数，发现 60 有可能……

作者: superacid 时间: 2009-7-21 11:55:44

100以内确实是60

作者: lulijie 时间: 2009-7-21 19:00:38

用电脑计算了一下，得到以下结果： 100000以内。
2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,10080,15120,25200,27720,55440
------------------------------------------------------------------------
比如求100以内最大的比值，
查上表，100介于60和120之间，所以100以内当N=60 时比值最大。
仅当N逐渐增加到120 时，最大值才被N=120时夺走。
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看看上表好像有规律，又抓不到。

作者: ywb0743 时间: 2009-7-26 20:24:27

原帖由 superacid 于 2009-7-20 22:14 发表
发现一点：楼上的 ∏p/(p-1) 恰好等于 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 证明发散更容易

这是为什么，请教一下，谢谢！

作者: superacid 时间: 2009-7-26 20:39:09 标题: 回复 10# 的帖子

可以试着证明
∏(1/(1-p^(-s)))=1+2^(-s)+3^(-s)+4^(-s)+...
其中s是常数
用整数的质因数分解

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-7-26 20:46 编辑 ]

作者: ywb0743 时间: 2009-7-26 22:15:28 标题: 感谢11#的帮助

已经弄明白了，谢谢你，向你学习！

作者: xp_scorpio 时间: 2009-7-26 22:20:03

请问楼上的各位用的是什么知识？开学就要大学了不知道会不会学到，谢谢了.

作者: superacid 时间: 2009-7-27 08:18:17 标题: 回复 13# 的帖子

简单数论知识和一小部分级数知识。

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