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标题: 平几爱好者进 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-7-29 13:12:43 标题: 平几爱好者进

画一个圆，随便做出一个内接多边形。从某个顶点出发，沿对角线将这个多边形剖分为三角形，作出每个三角形的内切圆。求证：所有内切圆的半径之和是一个常数，也就是说内切圆的半径之和的大小与你最初选的是哪一个顶点无关。
图.jpg

平面几何爱好者做做这题，挑战挑战~~~~~~~

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作者: chrisvana 时间: 2009-7-29 13:45:30

好像很好玩的样子，要做一堆辅助线。

作者: 9HEADMOUSE 时间: 2009-7-29 14:50:06

有意思的一道题，期待高手解决！
难道也可以用立体（球体）思维方式解决？

[ 本帖最后由 9HEADMOUSE 于 2009-7-29 14:54 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2009-7-29 18:34:09

瞎猜个：
用面积，再加上弦长只与所对圆周角有关，不知道能不能证出来

作者: crmxm 时间: 2009-7-29 20:25:29

可以证得出来，我刚试了一下，有些复杂，不过还是可以证的

作者: Osullivan 时间: 2009-7-29 20:43:16

原帖由 crmxm 于 2009-7-29 20:25 发表
可以证得出来，我刚试了一下，有些复杂，不过还是可以证的

怎么证明的？可否提示一下~~~~~~~~~
这题貌似是世界难题哦~~~~~~~
起源于日本，很多数学家都在寻找证明方法~~~~~~~

作者: crmxm 时间: 2009-7-29 20:53:27

是吗，先证对于圆内接4边形成立
而对于圆内接三角形显然成立
再进行归纳

对其进行推广可得
经过推导可以得出对于圆内接n边形（n≥3），其对角线分成顶点为其顶点的（n-2）个三角形，这些三角形的内切圆半径和与外接圆半径比值等于
其顶点分圆的各段弧所对的圆周角的余弦值之和减去三角形的个数（即n-2）。
数学语言表达为
设∑r[sub]n[/sub]为其半径和，R为外接圆半径，θ[sub]1[/sub]……θ[sub]n[/sub]为其圆周角
则∑r[sub]n[/sub]=R（∑cosθ[sub]n[/sub]+2-n）

[ 本帖最后由 crmxm 于 2009-7-30 09:58 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-7-30 18:01:57

关于四边形的，用三角法，利用r=RsinA/2sinB/2sinC/2

作者: boy314 时间: 2009-7-30 18:05:52

设∑rn为其半径和，R为外接圆半径，θ1……θn为其圆周角
则qs-IHS-IN

作者: crmxm 时间: 2009-7-30 18:39:25 标题: 回复 8# 的帖子

是啊是啊，我也是这么做的，化简得
r=R(cosA+cosB+cosC-1)

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 12:15:23 标题: 7楼和10楼的朋友

原帖由 crmxm 于 2009-7-30 18:39 发表
是啊是啊，我也是这么做的，化简得
r=R(cosA+cosB+cosC-1)

7楼和10楼的朋友，你的结论有问题，做的过程应该想简单了，不够缜密。
给你指出一下：假设是正三角形按你的公式算出来半径是-5/2R？？
  假设是正方形按你的公式算出来是-2R??
  半径可能是负数吗？

正确的做法是先证明对于任意圆内接四边形成立
利用公式r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
其中r是任意三角形内切圆半径
   R是其外接圆半径
下面把四边形按其两条对角线剖分成两组三角形，分别求出两组三角形的内切
圆半径和再证明两者相等即可（证明中用到对角和为180度，同底内接三角形顶
角相等的结论）
    内接图.JPG

第一组 p=4R[sin(A/2)sin(a/2)sin((180-A-a)/2)+sin((180-A)/2)sin((180-B-a)/2)sin((B-180+A+a)/2)]
第二组 q=4R[sin(B/2)sin((180-B-a)/2)sin(a/2)+sin((180-B)/2)sin((180-A-a)/2)sin((B-180+A+a)/2)]
   令p-q化简后p-q=0 说明两组三角剖分的内切半径和相等，这就证明了对于
任意圆内接四边形成立。
   下面证任意圆内接多边形成立

内接图2.JPG

   用数学归纳法假设n边形成立，下面证n+1边形成立
   由图可知，任意n+1边形可以看成由其某一子n边形增加一个三角剖分而来
如图n+1边形从n边形增加了三角形ABC 这样做不失一般性
   一对于顶点A和C引出的三角剖分除了三角形ABC以外是同一个n边形，其内
切半径和相等，加上同一个三角形ABC的内切半径行成的n+1边形的内切半径和
也相等
   二对于除A B C以外的顶点引出的三角剖分我们假设此顶点为D，从图上
可以看到利用前面已经证明的四边形结论，
   ABC内切半径+BCD内切半径=ABC内切半径+ACD内切半径
   这样D引出的三角剖分内切半径和就等于原来的n边形内切半径和加上
ABC内切半径和如此与第一种情况相同。所以这些顶点引出的三角剖分内径和
都相等
   三顶点B所引出的三角剖分,需要变换一下视角。B引出的三角剖分可以看成
除ABE以外的n边形再加上 ABE形成的。 n边形是满足内径和不变的这样B引出的
三角剖分就和E引出的三角剖分有同样的内径和，前面已经证的E三角剖分与除B以
外其他三角剖分内径和相等，所以B三角剖分与其他顶点的三角剖分内径和相等
   至此，圆内接n+1边形任意顶点形成的三角剖分内径和都相等
由归纳法任意圆内接多边形任意顶点形成的三角剖分内切半径和都相等

为了让大家看明白多写了点！

[ 本帖最后由 ywb0743 于 2009-7-31 14:45 编辑 ]

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作者: crmxm 时间: 2009-7-31 14:51:43 标题: 回复 11# 的帖子

楼上证明方法的确可证，关于楼上对我证法的疑问，我做一下解释

首先，楼上肯定没有注意我的一些说法
是这样的：这些三角形的内切圆半径和与外接圆半径比值等于
其顶点分圆的各段弧所对的圆周角的余弦值之和减去三角形的个数（即n-2)
我也将自己的证法向大家说明一下

证明过程如下
关于四边形，借用楼上的图，r△ABC=cos∠ABC+cos∠BAC+cos∠BCA-1
r△DBC=cos∠DBC+cos∠BDC+cos∠BCD-1
因为∠BAC+∠BDC=π
所以r△ABC+r△DBC=cos∠ABC+cos∠BAC+cos∠BCA-1+cos∠DBC+cos∠BDC+cos∠BCD-1
=cos∠ABC+cos∠BCA+cos∠DBC+cos∠BCD-2
同理得r△ABD+r△ACD=cos∠BDA+cos∠BAD+cos∠CAD+cos∠CDA-2
因为∠BDA=∠BCA,∠BAD=∠BCD,∠CAD=∠CBD,∠CDA=∠CBA
所以r△ABC+r△DBC=r△ABD+r△ACD
假设对于圆内接2n边形结论成立，现证对于圆内接2n+1，2n+2边形成立
1.对于圆内接2n+1边形
设圆内接2n+1边形顶点P1……P2n+1，规定对于m边形，（Pn）为Pn引出直线得三角形的内切圆半径和
对于圆内接2n边形P1P3P4……P2n+1,(P1)=(P3)
而△ABC的内切圆半径和为恒值
所以对于整个图形(P1)=(P3)，同理,(P1)=(P3)=(P5)=……(P2n+1)=(P2)=(P4)=……(P2n)
可得结论
2.对于圆内接2n+2边形
设圆内接2n+2边形顶点P1……P2n+2，
对于圆内接2n+1边形P1P3P4……P2n+2,(P1)`=(P3)`
而△ABC的内切圆半径和为恒值
所以对于整个图形(P1)=(P3)，同理,(P1)=(P3)=(P5)=……(P2n+1),(P2)=(P4)=……(P2n+2)
对于圆内接2n边形P1P4P5……P2n+2,(P1)=(P4)
对于圆内接4边形P1P2P3P4，(P1)=(P4)
所以对于整个图形(P1)=(P4)，则(P1)=(P3)=(P5)=……(P2n+1)=(P2)=(P4)=……(P2n+2)
可得结论
综上，对于圆内接2n+1，2n+2边形结论成立，有归纳公理得任意给定圆内接多边形一顶点形成的三角剖分内切半径和都相等

[ 本帖最后由 crmxm 于 2009-7-31 14:55 编辑 ]

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 16:04:58 标题: 回复12#

原帖由 crmxm 于 2009-7-31 14:51 发表
楼上证明方法的确可证，关于楼上对我证法的疑问，我做一下解释

首先，楼上肯定没有注意我的一些说法
是这样的：这些三角形的内切圆半径和与外接圆半径比值等于
其顶点分圆的各段弧所对的圆周角的余弦值之和减去 ...

哦！那说明你把问题复杂化了, 根本没那么复杂类似的方法实际上只要把所有顶点与圆心连接
任意三角形 r=R(cosA/2+cosB/2+cosC/2-1)
A,B,C为每条边的圆心角
圆内接任意n边形 r=R(cos(a_1/2)+cos(a_2/2)+……+cos(a_n/2)-2+n)
其中 a_1 ,a_2 ,……,a_n 是n 边形的每条边对应的圆心角，边之圆心角与剖分无关为定值，不证自明，一目了然
每增加一条边会增加三项COS（）和常数1 ，其中一个COS()与式中已有的约掉就可以推出上式

[ 本帖最后由 ywb0743 于 2009-7-31 16:15 编辑 ]

作者: crmxm 时间: 2009-7-31 16:14:33

这与我的式子不是等价的吗
我只不过是不希望看到式子里带有半角，将a1/2换成了θ1，即θ1=a1/2
没有根本的差别

圆心角与圆周角有什么本质差别？
若选用圆周角，在图上不好标注，要标注就要连结圆心，且最后式子带有半角，看起来很不和谐。

[ 本帖最后由 crmxm 于 2009-7-31 16:17 编辑 ]

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 16:17:19

差别大了你的2n+1 ,2n之类归纳证明的都是不需要写的。
只要边不变，圆心角都相同，一眼就看出与三角剖分无关，我怎么讲你才明白

我写的大家都明白

跟你说你就认死理晕！

[ 本帖最后由 ywb0743 于 2009-7-31 16:21 编辑 ]

作者: crmxm 时间: 2009-7-31 16:19:23

在后续证法上的不同，我承认你的不错，但我的证法也没有程序和逻辑上的错误

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 16:22:40

证明除了严格也需要一目了然使问题简单化是人类科学的终极方法！！！！！！
区别大不？？？

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 16:28:17

跟你拿这一题举例直接结论就是任意内接多边形不同剖分内径和相等

但是从圆心角证明来看这个命题弱了还可以更强

应该是任意一组圆内接多边形只要他们边长的集合完全一样无论选择哪种边长的排序所得到的这一组多边形他们的所有不同剖分内径和等

这就是简化的好处！

[ 本帖最后由 ywb0743 于 2009-7-31 16:46 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-7-31 16:33:20

你们两个人......
拿真实能力出来比才有效。

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 16:36:21

原帖由 superacid 于 2009-7-31 16:33 发表
你们两个人......
拿真实能力出来比才有效。

向你学习！

作者: superacid 时间: 2009-7-31 16:41:27

不至于吧......

作者: ywb0743 时间: 2009-7-31 17:09:46 标题: 回复楼上

呵呵，上次就有个问题请教你的，以后多指教呀！

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