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标题: 一道圆的活而不难的题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-1 20:19:56 标题: 一道圆的活而不难的题

如图，△ABC内接于圆O，AD是直径，E是BC延长线上一点，且ED是圆O的切线，连接EO并延长，分别交AC,AB于F,G,求证：OF=OG.
(期待多解……)
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作者: superacid 时间: 2009-8-1 20:31:12

好像很老的嘛，貌似过C作EFG的平行线...

作者: 如来佛猪 时间: 2009-8-1 20:34:53

哎...学的东西都忘记咯...想想看吧

作者: sunyuanhong 时间: 2009-8-1 20:38:43

解不出来，暑假忘光了

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-3 22:12:35

高中的方法：如图：所有辅助线如图所示
不妨仿照蝴蝶定理的正法，用正弦定理试试
由正弦定理得
HF/sinFCH=HC/sinHFC
FO/sinFAO=AO/sinAFO
相除化简得到
HF/FO=(sinFCH*HC)/(sinFAO*AO)
同理有
IG/GO=(sinGBI*IB)/(sinGAO*AO)
这两式相除得到
(HF/FO)/(IG/GO)=(sinGAO/sinFAO)*(sinFCH/sinGBI)*(HC/IB)
其中sinGAO/sinFAO=BD/CD，sinFCH/sinGBI=AH/AI=ID/HD
而易证△EHC∽△EBI，HC/IB=EC/EI
△ECD∽△EBD，BD/CD=ED/EC
△EHD∽△EID，ID/HD=EI/ED
带入可得
(HF/FO)/(IG/GO)=(ED/EC)(EI/ED)(EC/EI)=1
HF/FO=IG/GO
两边加1得到
HO/FO=IO/GO，而HO=IO，因此FO=GO
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[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2009-8-3 22:14 编辑 ]

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作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-8-3 22:13:44

初中的方法：如图，取BC中点H，过C作CM//EG分别交AB,AD于M,N,连接HO,HN,HD,CD,
∵CH=BH故OH⊥BE，则由∠OHE=∠ODE得出O,H,D,E四点共圆，
故∠ODH=∠OEH=∠NCH，从而N,H,D,C也四点共圆，
故∠HND=∠HCD=∠BAD，∴NH//AB
又∵H是BC中点，故NH是△CBM的中位线，即CN=NM,
又CM//FG由平行线平分线段成比例，有OF/NC=AO/AN=OG/NM,
从而得出OF=OG.
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[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-6-26 19:22 编辑 ]

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作者: chenyunheng2 时间: 2009-8-3 22:53:08

佩服，我初三，做不出来，很妙

作者: tm__xk 时间: 2009-8-24 01:34:08

设CO交DG于H.
由Pascal定理知H在圆上.
于是AFC和DGH关于O对称.

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