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标题: 具有正交对角线的四边形 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-8-12 00:05:54 标题: 具有正交对角线的四边形

如图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直（正交），E，F，G，H分别是垂足O关于四条边BA， AD， DC， CB
的对称点（镜像点）。

证明：E，F，G，H恰好在一个圆上。

附件: 四边形.jpg (2009-8-12 00:05:54, 58.45 KB) / 下载次数 52
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作者: 时空 时间: 2009-8-12 00:17:39

楼上，警告你一次

作者: Atato 时间: 2009-8-12 06:43:22

厉害...一直没想过有这样的性质.
待我想想..

作者: superacid 时间: 2009-8-12 07:54:41

原帖由 日寸穴工 于 2009-8-12 00:17 发表
楼上，警告你一次

同意

这题貌似用复数比较方便。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-8-12 07:56 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-8-12 12:12:06

　　
　　

　　

      这道题比较简单，设 E'、F'、G'、H' 分别为  OE、OF、OG、OH 中点（交点），

很容易证得：  E'、F'、G'、H' 恰好在一个圆上。即原命题得证！


　　
　　
　　
　　

作者: superacid 时间: 2009-8-12 17:45:24

原帖由 ggglgq 于 2009-8-12 12:12 发表
　　
　　

　　

      这道题比较简单，设 E'、F'、G'、H' 分别为  OE、OF、OG、OH 中点（交点），

...

牛顿定理

作者: yang_bigarm 时间: 2009-8-13 08:37:06

可否写出完整的证明呢？

作者: ggglgq 时间: 2009-8-13 10:38:43

　　
　　

　　
　　　
　　

由已知直得： A、E'、O、F' 四点共圆， B、E'、O、H' 四点共圆，

C、G'、O、H' 四点共圆， D、G'、O、F' 四点共圆，从而得到

∠1 = ∠2 ，  ∠3 = ∠4 ，

由于  ∠2 、∠4 互余，

故 ∠1 + ∠3 = RT∠ ；

同理 ∠5 + ∠6 = RT∠ ；

因此  ∠E'F'G' 、∠E'H'G' 互补。

从而得到 E'、F'、G'、H' 恰好在一个圆上。即原命题得证！

　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2009-8-13 10:39:47

　　
　　

这可能是用初中几何题改编的，的确不难。

没时间上论坛，今天早上才发现 superacid 荣登版主了，在这儿祝贺一下！
　　　　


因本人工作繁忙，希望 superacid 上任后帮忙料理《数学、算术趣题汇总帖》

http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=29326

谢谢！

　　
　　
　　　
　　

作者: Cielo 时间: 2009-8-18 22:40:45

有了好的想法，果然就简单了啊！

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