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标题: 【似是而非】数列和值大小之惑 [打印本页]

作者: migl 时间: 2009-8-12 12:06:45 标题: 【似是而非】数列和值大小之惑

现有两个无穷项数列：
{an}={1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 ……}
{bn}={2、4、6、8、10、12、14、16、18、20 ……}

将这两个开放式的无穷项数列的各项相加，并分别求和。这显然是不现实的，也没有意义。

本人的问题是：
如果和值可以计算，那么大家觉得是数列{an}的和值San大，还是数列{bn}的和值Sbn大呢？或是一样大（都是无穷大

）？

也许不同的思路可以得到相反的结果哦~~~
大家觉得呢？

本帖最后由 migl 于 2009-8-14 10:59 修改标题

[ 本帖最后由 migl 于 2009-8-14 10:59 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-8-12 12:19:34

大家不会是太严谨了吧，少了点娱乐气息……

不妨抛开纯粹的数理困扰，运用简单的直觉来进行计算比较。

作者: 小波 时间: 2009-8-12 12:21:14

发散的怎么会有“如果和值可以计算”这一说法呢？

都是无穷大也不是一样大，如果有无穷大的阶这一概念的话，他们是同阶但不等价，b是a的两倍。

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-12 12:47:26

an的通项和sn是n(n+1)/2，bn的通项和sb是n(n+1)，现要求的是n趋于无穷时何数更大。由“实变函数论”的知识，知道，他们都是超限基数中的“可数集”，是等价的，可以一一对应的，所以他们是完全一样的东西，没有大小之分。需要注意的是，有人会说，两者相除是2，相减得无穷，但值得说明的是，正无穷之间只能作加乘运算，减除运算是没意义的，就好比分母是0一样，所以那样作只会没意义。关于这个问题可以去请教大学数学系老师

[ 本帖最后由今夜微凉于 2009-8-12 13:01 编辑 ]

作者: migl 时间: 2009-8-12 16:17:23

从感性上来说，b是 a的偶数项的集合，就算二者都是无穷项，数列b的和值也应该小一点的吧？

[ 本帖最后由 migl 于 2009-8-12 16:32 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-8-12 17:44:03

无穷大只能计算极限

作者: 今夜微凉 时间: 2009-8-12 18:14:50

就这题来说，有两种直觉思路〔其实都不对〕。一、觉得该这样计算，lim [n(n+1)/2]/[n(n+1)]=1/2，即可得出前者之和是后者的1/2，因此直觉认为前者的和小些，但错误的地方是，式子列错了，应该是[lim n(n+1)/2]/[lim n(n+1)]，而这样就是无穷除无穷了，因此无意义，所以此直觉不对。二、就像楼主说的，后者属于前者的集合，这点没问题，所以直觉会认为前者的和大于后者。这个直觉为什么也不对呢，原因在于，a和b中的每个元素都一一对应，即，a中任取一数，在b中都有唯一对应的数，反过来也成立，因此a和b中元素“一样多”〔其实说明a和b是一模一样的无穷〕。则假设an={1,2,3,4,5......}，sn={1,3,6,10,15.....}，即sn就是an的前n项和，则an和sn也一一对应，因此在数学上说，他们是一样多的无穷〔称作“可数集”〕，继续下去可知，bn的和与bn也一样，因此，an的和与bn的和是一样的，完全一样的〔可能比较难理解，因为又牵扯到无穷〕

作者: superacid 时间: 2009-8-12 18:20:13

应该说，这样的数列不能求和

作者: 小波 时间: 2009-8-12 18:32:16 标题: 回复 8# 的帖子

就是呀…………首先就否定能求和了

作者: migl 时间: 2009-8-13 12:58:56

求和值就不想费神了。

想想，有点搞不明白，这个数列{b}到底是所有正偶数的集合，还是所有自然数的两倍的集合。

怎么看我都觉得像是所有正偶数的集合。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-17 13:25:27

不是觉得就是对的。无限是有大小比较的，但是只有等价或者大大大于(大大小于)。San=n(n+1)/2等价于(n^2)/2，Sbn=n(n+1)等价于n^2。既没有互相等价，也不存在大大大于的关系。O(v)/O(w)既不是一，也不是无限大(无限小)。

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