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标题: 真的永远追不上？ [打印本页]

作者: 浪迹萍踪 时间: 2009-8-14 20:38:29 标题: 真的永远追不上？

小时候听过这样一种说法：
小红和小明跑步，小红在小明前面20米的地方，俩人同时开始跑，小明的速度2米/秒，小红的速度1米/秒。出发后10秒，小明跑了20米，到了小红出发时的位置，而这在这10秒里，小红又往前跑了10米，所以此刻两人相差10米；在经过5秒，小明跑了10米，到了5秒前小红的位置，而这5秒里，小红又往前跑了5米，所以此刻两人相差5米。以此类推，小明只能无限的接近小红，却永远超不过她，这是为什么呢。。。

作者: superacid 时间: 2009-8-14 20:47:26

这是一个著名的悖论
这要考虑级数的敛散性。

作者: purple 时间: 2009-8-14 20:52:48

这个悖论好像叫阿基米德和乌龟

作者: superacid 时间: 2009-8-14 21:00:52

肯定不是阿基米德

作者: 黑桃Q 时间: 2009-8-14 21:05:27

我看过这道题不会

作者: ursace 时间: 2009-8-14 21:26:20

灰常有名的悖论，俺自己还研究过，总之就是极限的问题

作者: 虎揪弟 时间: 2009-8-14 21:33:26

晕了

作者: 业余魔术师 时间: 2009-8-14 21:47:59

这个和放学回家是一个道理。
你放学回家，先走路程的一半，再走剩下一半，再走剩下的一半。
那你什么时候能到家？

这和“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这个命题是不同的。
不同点关键在于时间！
如果规定你放学回家用10分钟走完一半路程，再用10分钟走完剩下的一半路程……
每个一半路程都要用一样的时间的话，那就永远也到不了家了。

但实际上，如果你是匀速前进的话，第2个一半路程就只花费5分钟了，再往后是2.5分钟。
这样，越往后时间也就越少，极限是0。

所以还是可以到家的。

作者: purple 时间: 2009-8-14 21:58:17 标题: 回复 4# 的帖子

也许这个悖论有很多版本，但肯定有阿基米德一个

作者: 耗子哥哥 时间: 2009-8-14 22:03:12

　　这道题？其实是在偷换概念。

　　用正面去计算：
　　小明和小红的速度比较：小明比小红快2-1=1(m/s)
　　小明比小红落后20米，追上这20米需要20÷1=20(秒)

　　而返回来，按照楼主的思路：前10秒，下面5秒，下面2.5秒，再下面1.25秒，甚至继续的0.625、0.3125、0.15625……
　　但是，你的时间单位从10秒到15秒，到17.5秒，到18.75、19.375、19.6875、19.84375……
　　时间在无限地接近20秒，但是就是不突破追上的那个时间点，你可以把差距进一步细微，但是因为你的思维角度默认禁止了追上的那一个时间点，拒绝从量变到质变的那一个时间点，把这个对极限的追求限制在了t→20的范围之内。

[ 本帖最后由耗子哥哥于 2009-8-14 22:10 编辑 ]

作者: flary 时间: 2009-8-15 10:11:52

楼上的讨论都很好，我对这个问题多少有些了解，也来聊两句。

这是一个很好的问题，但把它叫做悖论并不是十分妥当。悖论是指以一个被承认为真的命题为前提，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论；反之，以先前被承认的命题的否命题为前提，亦可得互为矛盾命题的结论。比较著名的有罗素悖论，理发师悖论等等。现在这个问题之所以得出看起来荒谬的结论，是由于推理上的直接逻辑错误所导致，而不是在进行了正确的推理后得到矛盾的结果。

这个问题确实可以用很多不同的版本来表达。比较权威的就是阿基里斯和乌龟。前面有的朋友说是阿基米德那也无所谓，但最好还是说阿基里斯标准一点。阿基里斯就是那个全身都刀枪不入唯独脚后跟不行的那个人。。。

来说这个问题。从小红和小明怎么怎么样开始，讲了一大堆，它所要表达的意思无非就是“小明不得不无数次地追赶小红领先他的距离”。这话并没有错，但问题出在最后一行的“以此类推，小明只能无限的接近小红，却永远超不过她”中的“以此类推”。事实上这个类推是错误的，它的症结在于否定了可收敛的正项级数的存在性，学过数学分析的人都应该可以看懂我这句话。说的通俗一点，就是这个“类推”默认了无穷多个正数相加等于无穷。但实际上，无穷多个正数相加，结果可以是有限的。所以，虽然小明不得不无穷多次地向前跑一段距离来追赶小红，但幸运的是，他所需要跑的这无穷多个距离段的总和却是一个有限的距离。因而在有限的时间内他就可以追上可爱的小红妹妹了。

无穷多个正数相加等于一个有限数的例子非常多，例如1/2+1/4+1/8+…=1，20+10+5+2.5+…=40等等。事实上这里所谓的“相加”已经并非初等数学中的有限个对象相加的概念，而是需要借助极限的理论重新定义过，具体的理论可以在任何一本正规的数学分析教材中找到，有兴趣的朋友可以看看，多了解一点正统的数学对于清晰地理解我们的生活还是大有好处的。

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