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标题: 为什么圆周率 π 是无理数 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-8-19 22:03:55 标题: 为什么圆周率 π 是无理数

似乎在很早的时候，我们就听老师说过，圆周率 π = 3.1415926... 是无理数，
可是谁能把这件事说清除呢？

请问是谁告诉你这个结论的？你是怎样相信这件事情的？
为什么很多人那么容易相信圆周率 π 是无理数，而无法相信0.999.... = 1呢？

作者: 黑桃Q 时间: 2009-8-19 22:06:24

这种问题老头子都没弄出来你让我们弄寒

作者: r_517 时间: 2009-8-19 22:09:25

要用到积分。当然，会积分的人，也基本上肯定了解0.999...=1

作者: lulijie 时间: 2009-8-19 22:10:11

关于圆周率 π 是无理数，记得好像是中学老师灌输到脑子里的，无理数就是无限不循环小数，老师那时是这么说的。

作者: 小波 时间: 2009-8-19 22:27:46

很好奇吧，割圆术…………算啊算啊算

作者: argonium 时间: 2009-8-19 22:30:51

第二个问题很好理解
0.99999999999999……=9/9=1

作者: 东莞的8 时间: 2009-8-19 22:36:39

想不出来，以前看过的资料是用积分算的，用的反证法。

作者: 录 时间: 2009-8-19 22:48:27

不能表示為兩個整數之比的數為無理數..無理數還可以分為代數數和超越數兩類
如果一個無理數能表示為一個有理系數方程的根就叫代數數...如根號2是方程X^2-2=0的根..所以它是代數數..否則為超越數

作者: william_khs 时间: 2009-8-19 22:48:38 标题: 回复 7# 的帖子

對。
用反証法其實就是證明無理數的通用方法~

作者: yiymi 时间: 2009-8-19 22:49:41

很难，没想出来，等高手。。

作者: xxy509 时间: 2009-8-19 23:14:37

圆周率就是圆的周长和直径的比值
用反证法，还有积分算

假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数

ps：非本人原创，只起知识传递作用
希望对此感兴趣的人有帮助

作者: K_JC 时间: 2009-8-19 23:21:52

我是一个中学生.不知道说得对不对的
我初中的时候大概也问过老师这个问题.
为什么会是圆周率永远也写不完是一个无理数
记得老师当时大概是这样解释的:
圆形可以理解成一个无限多边形
本来圆周率的算出不是像我们学习那样量一下园的周长然后量一下园的半径. 然后通过多次计算出来的
而是本来一个正四边形然后一个正五边形这样数字就越来越准确(当然我不知道是怎么算的) 然后又正六边形正七边形一直无限边大下去. 当然这个可以无限的大. 没有最大的所以数一直是不准确的只会小数增加. 不会有停止.
大概就是这样可能我也说不清.
我是中学生,, 这个不一定对的

作者: conwood 时间: 2009-8-19 23:57:34

转载自维基百科：

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由Johann Heinrich Lambert于1761年证明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。

作者: wendaomaye 时间: 2009-8-19 23:59:43

原帖由小波于 2009-8-19 22:27 发表很好奇吧，割圆术…………算啊算啊算

这个对。我记得老师给画过图。就是一个多边形。不断的在边上切。最后就趋近一个圆了。

作者: superacid 时间: 2009-8-20 14:48:13

学生就这样很轻松地被老师糊弄过去了...

作者: r_517 时间: 2009-8-20 16:33:52

原帖由 superacid 于 2009-8-20 14:48 发表
学生就这样很轻松地被老师糊弄过去了...

没办法= =一般老师应该都是这么糊弄的。。。

作者: Paracel_007 时间: 2009-8-23 15:50:09

π 是无理数，这个要用微积分吧（我有一本书上又超越数的证明，一长段啊……）

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 19:09:30

我这里有个简单的证明。用pi表示圆周率。
首先，假设它是一个有理数。那么它表示为a/b。那么a/4b也是有理数。跟据Leibniz级数1-1/3+1/5-1/7+……+1/(2k+1)-1/(2k+3)+……=pi/4=a/4b。把等式左边化为2*(1/1*3+1/5*7+……)
先证明一个引理：a(i)是正整数。[a(1),a(2),a(3),…,a(n)]=1，那么S= a(i)的所有项乘积，S/a(i) (k=1,2,3,…,n)中n项最大公约数为1。
那么把原式通分后，会得到分子中不含有所有分母的因子的最简分数。那么分母数目是无限大的。那么b无限大。与题设矛盾。

作者: superacid 时间: 2009-8-23 19:23:24

楼上很有想法，只不过，显然是有问题的

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 19:30:06

问题出在哪里？

作者: superacid 时间: 2009-8-23 19:44:06

引理明显是错的

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 19:53:36

抱歉，引理没错。你能举出反例？我没把过程写详细而已

作者: lulijie 时间: 2009-8-23 22:09:43

我觉得18#的证明是判断一个数是有理数还是无理数，而过程中涉及到无限问题，同应该算是个谬论的贴中的问题是一样的。这样证明是错误的。
Leibniz级数对于任意k都是有理数，当k趋向于无穷大时的极限是Pi/4。我们要证明它的极限是不是有理数。不能用原数列、k趋向无穷大来证明。

作者: lulijie 时间: 2009-8-23 22:14:24

我再来举个例子：
f(k)=1+1/2+1/4+......+(1/2)^k
我们将f(k)通分后，分母是2^k，当k趋向无穷时，分母趋向无穷大，按照18#的证明方法，就会得出f(k)的极限是无理数。
但实际上，极限等于2。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-24 08:10:54

有道理耶。。无限除无限还是不能确定它是有理数还是无理数。

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