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标题: 应该算是个谬论 [打印本页]

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 18:42:44 标题: 应该算是个谬论

问题：证明无限求和(i从0到无穷大) 1/(2i+1)-1/(2i+3) 是有理数。用数学归纳法当i=0时显然成立设当i=k时成立，可表示为a/b那么当i=k+1时，那么a/b+1/(2k+3)-1/(2k+5)=[2a(2k+3)(2k+5)-b]/[b(2k+3)(2k+5)]可表示为两整数比所以命题得证大家没看出问题么

[ 本帖最后由咖啡味的茶于 2009-8-23 18:46 编辑 ]

作者: littlehua 时间: 2009-8-23 19:12:51

不用这么麻烦把把两个数通分相减的2/（2*i*i+8i+3）
根据有理数的定义只要是能用a/b（ab均为整数）表示的数则这个数是有理数

明显2/（2*i*i+8i+3）这符合定义不知道这样对不对

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 19:16:54

但是结论是错的啊。问题在哪呢

作者: superacid 时间: 2009-8-23 19:26:03

数学归纳法对于任意大的有限数成立，无限不适用。

作者: littlehua 时间: 2009-8-23 19:27:06

问题出在数学归纳法的定义

根据数学归纳法（1）如果命题An是正确的可以推出An+1命题也是正确的
（2）第一个命题A1是对的那么，序列的所以命题也是对的即 A1 A2.....An也是正确的

问题出在

a/b+1/(2k+3)-1/(2k+5)=[2a(2k+3)(2k+5)-b]/[b(2k+3)(2k+5)]

这一块把

作者: littlehua 时间: 2009-8-23 19:30:22

4楼的好像是不对

数学归纳法就是用来证明这些无穷的命题

可以参考 http://www.douban.com/subject/1320282/ 本书第十五到十七也

我的数学归纳法也是引用自这本书的

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 19:41:37

被发现咯。实际原式的结果是pi/4。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 20:07:17

其实数学归纳是没错的。但是到无限后，分母变成无限大。问题就在这。

作者: lulijie 时间: 2009-8-23 20:09:28

如果数学归纳法可以用于无限的话，那么可推出e是有理数：
（n+1)^n/n^n 对于任意n都是有理数（整数除以整数的类型），当n趋向于无穷时，它等于e，所以e是有理数。

作者: superacid 时间: 2009-8-23 20:12:48

原帖由 littlehua 于 2009-8-23 19:30 发表
4楼的好像是不对

数学归纳法就是用来证明这些无穷的命题

可以参考 http://www.douban.com/subject/1320282/ 本书第十五到十七也

我的数学归纳法也是引用自这本书的

哪个数学归纳法可以证明无限的命题？

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 20:19:21

那为什么就不行？数学归纳法没有说不适用于无限啊

作者: lulijie 时间: 2009-8-23 20:32:34

就以数列f(n)=(n+1)^n/n^n为例说明，
你可以用数学归纳法证明对于任意的n，f(n)都小于e。
你也可以用数学归纳法证明对于任意的n，f(n)都是有理数。
但却不能得出f(n)的极限就是有理数。关于有理数还是无理数的判断，不能涉及到极限问题。
不是有句话吗：量变引起质变。
无限递推下去的有理数，会引起质变，变成了无理数。

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-23 22:00:37

不能涉及到无限是因为分母如果是无限大的话，这种处理方式就错了

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