魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 小发一道神奇的题目 [打印本页]

作者: Osullivan 时间: 2009-8-25 20:02:56 标题: 小发一道神奇的题目

直线x+y=n，其中n是一个素数。这条直线将恰好通过第一象限里的n-1个格点（如上图，图中所示的是n=11的情况）。将这n-1个点分别和原点相连，于是得到了n-2个灰色的三角形。仔细数数每个三角形内部的格点数，你会发现一个惊人的事实：每个三角形内部所含的格点数都是一样多。这是为什么呢？
图.jpg

附件: 图.jpg (2009-8-25 20:02:56, 37.7 KB) / 下载次数 46
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NjU1ODJ8Y2Y2MDdlN2F8MTc0MDY1MjA1OXwwfDA%3D

作者: lulijie 时间: 2009-8-25 20:23:20

三角形的与原点相邻的两条边分别与直线x+y=n和x轴构成的两个三角形的面积相减，就得到它们的面积都等于
1/2*n*(h+1-h)=1/2*n

作者: Cielo 时间: 2009-8-25 20:28:46

依稀记得格点三角形内部的点数和其面积有关……

又在网上查了一下，是 Pick 定理吧？还与边上的格点数有关。
————————————————————————————————

原帖由 Osullivan 于 2009-8-25 20:34 发表
n为什么有为素数的限制？

因为要保证边上没有格点。

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-8-25 20:37 编辑 ]

作者: q376997368 时间: 2009-8-25 20:32:43

初中课本里面讲过计算网点内不规则图形的面积计算，里面有这一点~
面积和点数有关~

等待大师

作者: Osullivan 时间: 2009-8-25 20:34:09

原帖由 lulijie 于 2009-8-25 20:23 发表
三角形的与原点相邻的两条边分别与直线x+y=n和x轴构成的两个三角形的面积相减，就得到它们的面积都等于
1/2*n*(h+1-h)=1/2*n

三角形与原点相邻的两条边与X轴构成的是哪个三角形啊？
n为什么有为素数的限制？

作者: lulijie 时间: 2009-8-25 20:41:35

三角形坐标 (0,0),(n-h,h),(n-h-1,h+1)
与直线x+y=n X轴构成的两个三角形
(0,0),(n-h,h),(n,0) 面积＝1/2*n*h
(0,0),(n-h-1,h+1),(n,0) 面积＝1/2*n*(h+1)
面积相减＝1/2*n

作者: a87256506 时间: 2009-8-25 20:43:55

即将升上高中无能力发言

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-25 22:34:47

查了下pick定理，理解了。

作者: tm__xk 时间: 2009-8-26 01:12:01

n/2=3/2+x-1
x=(n-1)/2

作者: 咖啡味的茶 时间: 2009-8-26 08:02:59

素数的作用是保证外围格点相同

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)