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标题: 最近数学区比较冷清，我来发道题 [打印本页]

作者: superacid 时间: 2009-9-17 08:54:27 标题: 最近数学区比较冷清，我来发道题

证明：对于任何正整数k>1，都能找到一个2的幂，它的末尾的k个数字中至少有一半是9

作者: 今夜微凉 时间: 2009-9-17 09:01:45

这题感觉比较难~没想过2的幂竟然还有这样的性质~

作者: yandinet 时间: 2009-9-17 09:10:44

不理解。f(x)=2^x这个函数的微分是恒正的，f(0)=1，所以任何大于1 的整数都可以表达为f(k)=2^x，末尾K个数字至少一半9？f(4)=2^2，哪来的末尾四位？

作者: 今夜微凉 时间: 2009-9-17 09:12:44

楼上，比如k=2时，4096〔2的12次幂〕和8192〔2的13次幂〕都满足~这样的实例能理解吧？不是2的k次幂哦~

[ 本帖最后由今夜微凉于 2009-9-17 09:13 编辑 ]

作者: zhy3729 时间: 2009-9-17 11:14:53

什么级的题目…高中能做么………

作者: noski 时间: 2009-9-18 10:55:58

没有头绪啊。。最近的题都好难-_-

作者: 骰迷 时间: 2009-9-18 20:33:19

那些九會不會都是從右邊數過來,每兩個數有一個九的

作者: Cielo 时间: 2009-9-18 21:09:58

用归纳法易证：5[sup]n[/sup] | (2[sup]m[/sup]+1)，这里 m=2·5[sup]n-1[/sup]
即 10[sup]n[/sup] | (2[sup]m+n[/sup]+2[sup]n[/sup])
也就是说 2[sup]m+n[/sup] 的最末 n 位恰好为 10[sup]n[/sup]-2[sup]n[/sup]，易知其中至少有一半是9.

作者: superacid 时间: 2009-9-20 18:53:29

LS不愧是我的学长啊！

作者: Cielo 时间: 2009-9-20 22:16:49

原帖由 superacid 于 2009-9-20 18:53 发表
LS不愧是我的学长啊！

惭愧……
其实一开始也完全不知道怎么下手，想用归纳法，但发现偶数推奇数的时候没办法

然后用计算器算出末尾是 992 的，但还是没想法。
过了一天再想，偶然想到 96、992 这种可能有点规律，转化成 10[sup]n[/sup]-2[sup]n[/sup] 之后就容易了。

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