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标题: 一根杆子的问题 [打印本页]

作者: 金眼睛 时间: 2009-9-21 10:14:10 标题: 一根杆子的问题

还是来出一道比较有趣的问题吧，欢迎欣然来试试，说说思路也好么！呵呵！

已知：有一条笔直通向远方的大路，在路的起点有一条起始线，然后每隔固定的距离都画有起始线的平行线。

现在只知道这个固定间隔的下限是Smin，固定间隔的上限是Smax。

要求：制作一根直杆，要求将这根直杆按照某种放置方式放到路面上之后（不能接触起始线，放置位置固定），一定会与路面上的线相交。

解释：也就是说杆子放好以后，无论固定间隔取为Smin到Smax区间内的哪个值，都会发生相交的情况。显而易见、杆长为Smax，无论垂直于平行线放置在任何位置都是符合题意的，但L=Smax有些浪费，如果合理安排杆子的位置，其长度应该有一个最小值Lmin。

所求：这根杆子最短长度Lmin。

例题：Smin=11，Smax=17的情况下，Lmin为多少？

————————————————————————————————————————————————————————————————

补充问题：如果放置位置也提出要求结果又如何？比如杆子底端与起始线之间距离D为定值，或者D在一定范围内取值。

[ 本帖最后由金眼睛于 2009-9-24 10:10 编辑 ]

附件: [题意图] road.JPG (2009-9-22 10:57:50, 37.23 KB) / 下载次数 77
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作者: lulijie 时间: 2009-9-21 22:45:02

杆子与平行线垂直，近端距起始线距离Smin，杆子最短长度为Smax－Smin。
不知道题目我是否理解错了。这么简单？

作者: conwood 时间: 2009-9-22 01:09:20

S一定是整数吗？是的话取Smin到Smax的数的最小公倍数。

作者: 金眼睛 时间: 2009-9-22 10:51:35

原帖由 lulijie 于 2009-9-21 22:45 发表
杆子与平行线垂直，近端距起始线距离Smin，杆子最短长度为Smax－Smin。
不知道题目我是否理解错了。这么简单？

这道题是从我工作中的一个实际问题抽象而来的，看似简单，实际很考验思路，有了思路也确实不难，所以说还是很有趣的。

我出的例子不是很好，按照这个例子确实杆子最短为Smax－Smin，但不是所有情况都如此。

比如：Smax=8，Smin=1，D=4，则Lmin=4，而并不是Smax－Smin=7。

最好是用理论证明一下，这样才能解决补充问题，即对任意D值求Lmin，Lmin随D值变化的曲线也是蛮有趣的。

另：用最小公倍数来确定我认为是不对的，杆子长为Smax已经足够了，O(∩_∩)O~

[ 本帖最后由金眼睛于 2009-9-22 11:26 编辑 ]

作者: 乌木 时间: 2009-9-23 00:08:51

好像类似方法可以求π值的？

作者: tm__xk 时间: 2009-9-23 01:21:33

其实....我根本就没明白题意....

作者: rubik-fan 时间: 2009-9-23 09:43:47

没搞明白题目意思.我要么坚信楼主的表达能力有问题,要么怀疑我的智商有问题.

作者: lj040051 时间: 2009-9-23 10:08:15

原帖由 rubik-fan 于 2009-9-23 09:43 发表
没搞明白题目意思.我要么坚信楼主的表达能力有问题,要么怀疑我的智商有问题.

真的看不到你的头像~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

作者: lulijie 时间: 2009-9-23 13:45:02

假设杆子垂直起始线放置，近端距起始线距离D，划线的间距为S，杆子长度为L
那么  D<=k*S<=D+L          k等于某个整数。
题目的意思是当D确定时，对于S∈[Smin,Smax]，上述式子的k都存在，求最小的L。
  那么D/S<=k<=D/S+L/S。
所以D/S+L/S>={D/S}       {X}表示不小于X的最小整数
所以L>=S*{D/S}-D
即Lmin=Max(S*{D/S}-D)       S∈[Smin,Smax]
      Max(f)  表示S在上述范围内变化时f的最大值。
如果D限制在某范围内时，那么所求的最小值就等于函数Lmin在该范围内（自变量为D）的最小值。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-23 13:59 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-9-23 13:51:04

对于 Smax=8，Smin=1，D=4
Lmin＝Max(S*{4/S}-4) S∈[1,8]
所以Lmin =4

作者: 外野手 时间: 2009-9-23 14:28:43

D≤（Smin+Smax）/2，Lmin=Smax-D；
（Smin+Smax）/2＜D＜Smax，Lmin=D-Smin；
D≥Smax，Lmin=D-Smin。
不知道合不合LZ的题意。

作者: lulijie 时间: 2009-9-23 19:54:28

Lmin=max(S*{D/S}-D)=max(S*{D/S})-D
若D<Smin:：                   那么 Lmin= Smax* -D
若D/Smax为整数：       那么Lmin=Smax
若D/Smin<[D/Smax]＋1：那么Lmin＝Smax* ([D/Smax]+1)-D
若以上都不是：             那么Lmin＝max( D/([D/Smax]+1), Smax* ([D/Smax]+1)-D)    max(a,b)表示a和b中较大的数。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
修正：以上的图应该是Smin<＝1/2*Smax时的图。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-23 20:06 编辑 ]

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作者: lulijie 时间: 2009-9-23 21:19:19

如果Smin>Smax/2,那么图如下

---------------------------------------------------------------------------------

对于D不限范围(即 D∈(0,+∞) )，那么
如果Smax/Smin>=2 ，那么D＝Smax/2，Lmin=Smax/2。
如果Smax/Smin<2 ，那么D＝Smin，Lmin=Smax-Smin。

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作者: conwood 时间: 2009-9-24 09:00:39

最小公倍数不是用来确定长度的，而是用来确定位置的。放在最小公倍数那个地方，只要长度>0，就可以有交点。

原帖由 金眼睛 于 2009-9-22 10:51 发表

这道题是从我工作中的一个实际问题抽象而来的，看似简单，实际很考验思路，有了思路也确实不难，所以说还是很有趣的。

我出的例子不是很好，按照这个例子确实杆子最短为Smax－Smin，但不是所有情况都如此。
...

作者: 金眼睛 时间: 2009-9-24 10:20:30 标题: 回复 14# 的帖子

求的是最小长度。间距是可以变化的，长度只是大于零，不能保证“一定”相交。

作者: 金眼睛 时间: 2009-9-24 11:06:16

这道题来源于实际，我解的结果不知道是否正确，所以拿出来跟大家讨论一下，欢迎其他的思路及答案。

lulijie的答案与我相同，图也一样，呵呵，很有趣的一个图吧？

只不过少了一些证明和解释，就算是理解了题意的人也未必能看懂，下面我简单解释一下这个答案吧。

对于固定的Smin、Smax以及D值，至始至终要比较的是三个量的大小，在其中取最大的一个值：

1、当间距为Smax时，超出D值线的第一根Smax间隔线与D值线之间的距离。杆长不能小于该值，其具体大小为ceil(D/Smax)*Smax-D。
注：ceil()为向正无穷方向取整函数，即[x]+1；

2、当S在Smin、Smax之间取值时，S线与D线重合，也就是D为S的整数倍，此时杆长必须保证一个S的长度才能满足题意。
当间距从Smax向Smin缩小的过程中，S线第一次接触到D线的时候，这个需要保证的S是最大的一个，为D/ceil(D/Smax)。
特例：当D<Smin时，这种情况将不会发生，故这个值不需要保证。

3、当间距为Smin时，超出D值线的第一根Smin间隔线与D值线之间的距离。杆长不能小于该值，其具体大小为ceil(D/Smin)*Smin-D。

可以证明，第三个量虽然可以分别大于前两个量，但却不能同时大于它们，故第三个量可以不考虑。

答案为：
当D>=Smin时，Lmin=max(ceil(D/Smax)*Smax-D，D/ceil(D/Smax))；
当D<Smin时，Lmin=ceil(D/Smax)*Smax-D=Smax-D，因为第二个量不必保证。

[ 本帖最后由金眼睛于 2009-9-24 11:07 编辑 ]

作者: 银色闪电 时间: 2009-9-26 00:07:22

哗,你们是做什么工作的,写的东西,我一句都没有看懂,

作者: tm__xk 时间: 2009-9-26 01:14:02

我突然发现我把题意理解了....

作者: kexin_xiao 时间: 2009-9-26 19:18:56

今天才发现，又被金眼睛点名了

仔细看了问题和答案，还是不明白，估计只有金眼睛把实际工作说明白才可以理解。
现在人变的懒了，不爱动脑子了，有问题，更喜欢编程让计算机做了。今后还要多向金眼睛同学学习，好好学习，多动手动脑！

作者: noski 时间: 2009-9-26 21:02:43

大略的一想，令D＝Smin，L＝Smax - Smin，似乎就是答案，但细细想来，原来这道题有趣得多，赞。。

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