魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 损坏的计算器 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-9-22 23:31:33 标题: 损坏的计算器

刚在一本书上看到一个和有意思的题目。

-----------------------------------problem-------------------------------------------
有一个科学计算器，它上面的大部分按钮都失灵了。只有Sin Cos Tan ArcSin ArcCos ArcTan
这6个按钮是有好的。计算器安好电池之后显示的数字是0。

问：能否只按这6个按钮有限次而得到任意一个有理数 p/q

例如要得到1，就按 ArcCos(0) = 1

注意：这里假定所有的计算都是具有任意精度的，也就是Sin(ArcCos(1/2))=sqrt(3)/2没有浮点舍入的误差。

作者: 战斗机 时间: 2009-9-23 00:24:25

天知道啊！你搞计算机入迷了吗？

作者: Zeon.C 时间: 2009-9-23 06:31:39

恩…我蒙可以得…做不出阿…

作者: victormagic 时间: 2009-9-23 08:47:25

从值域来看是可以的方法不明

作者: Cielo 时间: 2009-9-23 21:15:09

原帖由 yang_bigarm 于 2009-9-22 23:31 发表
例如要得到1，就按 ArcCos(0) = 1 ...

应该是Cos(0)=1

题目不会做……

作者: lulijie 时间: 2009-9-24 01:15:50

cos0=1
用f(x)表示sin(arctan(x))
g(x,k)表示f(f(f(...)))    k个嵌套f 函数。
那么 g(1,3)=f(f(f(1)))=sin(acrtan(sin(arctan(sin(arctan(1))))))=1/2
      g(1/2,5)=1/3
      g(1/3,7)=1/4
      g(1/4,9)=1/5
      ......
      g(1/n,2n+1)=1/(n+1) 即  g(1,n^2-1)=1/n

作者: lulijie 时间: 2009-9-24 01:31:58

h(x)=f(cos(arctan(x))
那么
h(1/2)=2/3
g(2/3,4)=2/5
g(2/5,6)=2/7
g(2/7,8)=2/9
......
g(2/(2k-1),2k)=2/(2k+1) ，即 g(2/3,(k-1)(k+2))=2/(2k+1)

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-24 01:34 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-9-24 07:26:54

负数怎么办？

作者: lulijie 时间: 2009-9-24 13:14:53

设：w(x)=Tan(acrcos(f(x))
那么  w(1/x)=x
比如  w(1/2)=2
      w(1/3)=3
      w(2/3)=3/2
-----------------------------
这样对于任意正整数n，  可通过 w(g(1,n^2-1))  获得。
对于p/q， p、q都是正整数，且其中至少有一个为1或2。都可以通过以下获得：
cos(0)=1
g(1,n^2-1)=1/n
h(1/2)=2/3
g(2/3,(k-1)(k+2))=2/(2k+1)
   w(1/x)=x
----------------------
对于负号可以通过比如cos(2)、sin(4)等获得。
但对于比如-1/2如何获得，即其他p/q如何获得，还在考虑中。大家也想想有什么办法。

作者: phileas 时间: 2009-9-24 20:30:33

正有理数都是可以得到的。
可以用数学归纳法证明更强的命题：对任意自然数p,q，sqrt(p/q)都是可以得到的。

只要注意三个公式就可以了：
公式一：sin( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b + a) )
公式二：cos( arctan( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( b / (b + a) )
根据以上两个公式，对q进行归纳，可以证明，当p<q时，sqrt(p/q)是可以得到的。

公式三：tan( arcsin( sqrt( a / b ) ) ) = sqrt( a / (b - a) ) ，其中 a < b
根据这个公式，显然，当p > q时，sqrt(p/q)也是可以得到的。

=============================================
负有理数不知道怎么搞。
arcsin( cos(2) ) = pi/2 - 2
arctan( tan(2) ) = 2 - pi
不过不知道怎么把里面的pi去掉

[ 本帖最后由 phileas 于 2009-9-24 21:04 编辑 ]

作者: 金眼睛 时间: 2009-9-25 11:35:33

计算过程无非是这些函数的一种序列，首先进行两两组合，发现下面几个有用的公式：
1、sin(acos(x))=cos(asin(x))=1/sqrt(1-x^2)；2、cos(atan(x))=1/sqrt(1+x^2)；3、tan(asin(x))=x/sqrt(1-x^2)；
4、tan(acos(x))=sqrt(1-x^2)/x；5、sin(atan(x))=x/sqrt(1+x^2)；

再对这些公式进行组合，可以得到更为实用的两个公式：6、公式2带入3或者5带入4，可得1/x；7、公式5带入1可以得到sqrt(1+x^2)。

cos(0)=1，故用7式数次我们可以得到sqrt (n)，n为正整数，故全部正整数n也可以通过n^2获得，再通过公式6，1/sqrt(n)及1/n易得。

考虑任意的有理数p/q，观察公式7： x->sqrt(1+x^2)，是一个把根号下真分数化根号下带分数很好的工具，而且有公式6做保证，自然想到辗转法。

举例说明：例如要求5/3，我们来倒推一下，计算5/3=sqrt(25/9)=sqrt(1+sqrt(16/9)^2)，也就是说，我们需要预先得到sqrt(16/9)，这样

sqrt(16/9) -> sqrt(7/9) -> sqrt(9/7) -> sqrt(2/7) -> sqrt(7/2) -> sqrt(5/2) -> sqrt(3/2) -> sqrt(1/2) = 1/sqrt(2)

前面已经知道，1/sqrt(n)是可以获得的，所以任意的正有理数p/q都可通过此法获得，不过这种方法对于负值不适用，我也没想出来负值怎么做。

[ 本帖最后由金眼睛于 2009-9-25 21:23 编辑 ]

作者: 魔导师淩少 时间: 2009-9-25 11:45:33

天。。。。。。。。我疯了医院在哪？

作者: superacid 时间: 2009-9-25 11:55:53 标题: 回复 12# 的帖子

可以去医疗服务区

作者: yang_bigarm 时间: 2009-9-26 16:57:25

哈哈，类比辗转相除法，金眼睛的解法正中下怀啊！
我一开始也是不断地尝试各种组合，后来发现一个sqrt(2/3), sqrt(3/5), sqrt(8/5)....
这样的序列，让我联想到了辗转相除法。

负数的我也没有想出来。

作者: a626954762 时间: 2009-10-31 09:08:18

晕啊.................

作者: yuanzesong 时间: 2009-10-31 09:14:17

我数学不好~~~~我遇到这种情况会买个新的

你们继续研究题~~·我飘过

作者: 谢老师 时间: 2009-11-4 17:00:25

绞尽脑汁！限制条件多啊！

作者: erictrui 时间: 2009-11-4 22:13:38

我建议再买一个计算器吧……

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)