魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 给版主的一点建议 [打印本页]

作者: yang_bigarm 时间: 2009-9-23 00:00:00 标题: 给版主的一点建议

经常来这个版有将近一年的时间了，期间见识了很多有意思的题目，也认识了本版很多解题高手。
我自己曾收藏的很多有意思的题目，大部分都已经发在这个版上了，到目前为止，几乎每一道都
逃不过本版高手们的切题法眼啊。还有若干个没有解出的问题，可能是因为我问了好几问，或者提得太一般
的原因吧。

我有个建议，就是把本版所讨论过的问题先分类，然后标定难度，最后做成一个pdf合集（有目录，
有索引的），由于我们讨论的问题大部分都是含有数学公式的，最好是用LaTeX来打印，我想
这将是一件有无量公德的事情啊！我最终的愿望是完成一本中国版的《最迷人的数学趣题集》。

当然，特别要收集的是网上不常见的，有特色的问题。像海盗分金，天枰秤12个球之类的问题虽然经典，
但是网上到处都有，就不收录了。

问题分类可按代数，几何，方程，数论，概率，排列组合，算法，逻辑，博弈论，杂题等等分。
问题的难度标定建议按幼儿园小学中学大学硕士博士分6个级别。
更进一步，每个问题最后可以写一些评述，包括大家的回帖讨论和这个问题的背景知识，以及有用的链接等。
先说这么多，不知版主和各位魔友有没有兴趣。

最后再献上一个有挑战性的问题：
---------------------------------------problem---------------------------------------
求解方程
Sin(Sin(Sin(Sin(x)))) = Cos(Cos(Cos(Cos(x))))
--------------------------------------- end ---------------------------------------
你能看到美丽而复杂的曲线吗？

[ 本帖最后由 yang_bigarm 于 2009-9-23 00:01 编辑 ]

作者: 阿海 时间: 2009-9-23 00:31:15

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: r_517 时间: 2009-9-23 01:49:41

無視2樓

易證：
1、cos(cos(x))>sin(sin(x))
2、0°<x≤90°時sin(x)<x

由函數對稱性，只要考慮-90°≤x≤90°就行

當-90°≤x<0°時，等式兩邊一正一負
當0°<x≤90°時，sin(sin(sin(sin(x))))<sin(sin(sin(x)))=sin(sin(cos(90°-x)))≤sin(sin(cos(sin(90°-x))))=sin(sin(cos(cos(x))))<sin(cos(cos(x)))=cos(90°-cos(cos(x)))≤cos(sin(90°-cos(cos(x))))=cos(cos(cos(cos(x))))

綜上，方程無解

[ 本帖最后由 r_517 于 2009-9-23 01:59 编辑 ]

作者: r_517 时间: 2009-9-23 02:10:44

順便提個推廣問題吧：
設f(x)=f1(x)=sin(x),g(x)=g1(x)=cos(x)
fn+1(x)=f(fn(x)),gn+1(x)=g(gn(x))

求所有正整數n，使得fn(x)=gn(x)有實數解

作者: Zeon.C 时间: 2009-9-23 06:26:56

……支持时空…哈哈
　
我在小肉肉的日志里看到了~

作者: r_517 时间: 2009-9-23 06:31:59 标题: 回复 5# 的帖子

同支持一下時空^ ^

這里每周26小時電腦課，快空虛死了……咱都想開始參加ACM了……快來打消我的這種無聊念頭吧……囧

愛爾蘭連魔方都沒得買，身邊只有SQ1、三階、二階、四階、8板、12板……

順便猜測4樓答案為n=1……證明等咱明天有空的時候再證吧……睡覺～

[ 本帖最后由 r_517 于 2009-9-23 06:36 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-9-23 08:26:52

非常赞同LZ
现在开始大学生活了，空闲时间不多，我还不会LaTeX，望各位数学爱好者帮忙一起完成。

作者: MJ_Colonel 时间: 2009-9-23 09:05:35

不错，这样也能把魔方吧的知名度提高一下

作者: 阿海 时间: 2009-9-23 09:08:49

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: ggglgq 时间: 2009-9-25 08:08:36

　　
　　

支持！楼主的想法很好，是一个实现起来比较繁杂的建议，需要专人分类整理。

如果楼主愿意，我想这一任务交给楼主完成可能比较好！


楼主可以发一个帖子（置顶），慢慢完成这一计划！希望此贴成为 ★数学、算术趣题★

的镇宅之作！

  　　
　　
　　
　　
　　

作者: yang_bigarm 时间: 2009-9-26 17:13:18

原帖由 r_517 于 2009-9-23 01:49 发表
無視2樓

易證：
1、cos(cos(x))>sin(sin(x))
2、0°<x≤90°時sin(x)<x

由函數對稱性，只要考慮-90°≤x≤90°就行

very good proof! 但是我后来发现复数范围内有无穷多组解。

作者: Paracel_007 时间: 2009-9-27 21:23:48 标题: 回复 3# 的帖子

相当漂亮的证明，上面g，下面f

附件: sssscccc.jpg (2009-9-27 21:23:48, 104.46 KB) / 下载次数 64
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzAwNDR8MmUyNmI5NzB8MTc1MzAwMjg3OHwwfDA%3D

作者: lulijie 时间: 2009-9-27 21:43:05

3楼证得漂亮，12楼的图也很直观。
那么就这题我也出个题目：
设
f(x,1)=sin(x)
f(x,n+1)=sin(f(x,n))
g(x,1)=cos(x)
g(x,n+1)=cos(g(x,n))
也就是
f(x,n) 表示n个嵌套正弦函数
g(x,n) 表示n个嵌套余弦函数
-----------------------------------------
那么当n确定时，求1. g(x,n)+f(x,n)的最大值和最小值
2. g(x,n)-f(x,n)的最大值和最小值

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-9-27 21:44 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-9-27 22:43:05

对于4楼提的问题：
求所有正整數n，使得f(x,n)=g(x,n)有實數解
----------------------------
那么n=1或3。有两个解。

作者: lulijie 时间: 2009-9-28 01:07:54

3个函数曲线： g(x,3)=cos(cos(cos(x)))，f(x,3)=sin(sin(sin(x)))
g(x,3)，f(x,3) (蓝色表示)
g(x,3)-f(x,3) ( 红色表示)

所以 g(x,3)=f(x,3)  有实数解。
证明如下：因为 g(0,3)>f(0,3)
                     g(π/2,3)<f(π/2,3)
                              ----------------------------------------
                              f(π/2,3)=sin(sin(sin(π/2)))=sin(sin(1))>sin(sin(π/4)=sin(sqrt(2)/2)>sin(0.7)
                              g(π/2,3)=cos(cos(cos(π/2)))=cos(cos(0))=cos(1)=sin(π/2-1)<sin(0.6)
                              ----------------------------------------------
               所以 g(x,3)=f(x,3)  在0和π/2之间有实数解。

附件: fn_3.jpg (2009-9-28 01:07:54, 24.97 KB) / 下载次数 67
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzAwNzN8YmQxYjQ0ZTZ8MTc1MzAwMjg3OHwwfDA%3D

作者: lj040051 时间: 2009-9-28 11:59:08

好难啊好久没学高数了～～～～～～～～～～

作者: LYQ 时间: 2009-9-28 18:09:09

原帖由阿海于 2009-9-23 00:31 发表
●混这个论坛还不如买两本书看看

我觉得很奇怪,这位魔友说这一句为什么被扣了经验呢?还有,他说的那句话前面那个符号是什么意思呀!!

作者: superacid 时间: 2009-9-28 18:20:03

这人灌水过于严重
那是他的标志符号,,,

作者: 阿海 时间: 2009-9-28 18:28:00

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作者: 阿海 时间: 2009-9-30 09:06:36

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作者: 阿海 时间: 2009-9-30 11:46:26

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 谢老师 时间: 2009-10-7 23:22:12

还在灌水哦！解题吧，根本不需要解释其他！
本版是给那些喜欢数学、热爱数学的人，使他们在解题中得到快乐，得到提升、得到交流！
这些题目是思维的体操！给人以数学之美的享受！

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