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标题: [原创]岸上的猫和水里的老鼠 [打印本页]

作者: noski 时间: 2007-7-9 10:04:04 标题: [原创]岸上的猫和水里的老鼠

想到一个有趣的题：
有一个圆形的湖，直径100米。
一只老鼠在湖心处游泳，岸边来了一只猫。
猫很饿啊，到嘴边的美味自然不会放过，可是猫不会游泳，只好绕着湖岸追老鼠跑。
猫的速度是10m/s，那么，老鼠游泳速度至少要多少才能安全逃上岸呢？
（老鼠到岸边时，若猫没有到达老鼠的位置，老鼠便安全了）
 
我想，老鼠大可不必沿着半径直线游回岸边去，所以，它可以游得比3.18m/s更慢一些。。。那是怎样的路线呢?
 
 
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最终答案见：11# noski   29# 金眼睛  
以及26# 钟七珍所贴出的百度贴吧链接
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[ 本帖最后由 noski 于 2008-10-15 19:02 编辑 ]

作者: noski 时间: 2007-7-9 13:30:12

又找到一种游法，老鼠的速度可以比2.41m/s更小！

发现此题要多难有多难[em06]

作者: Cielo 时间: 2007-7-9 23:03:30

我只是提供一个老鼠的策略，但不一定是最优的：

老鼠在任意时刻都朝着猫与圆心的延长线方向游，不知道能逃上岸吗？

作者: Arcan 时间: 2007-7-11 20:53:03

肯定小于10/（φ＋1）≈2.415m/s

作者: Cielo 时间: 2007-7-17 14:24:00

10/（pi+1）我可以理解，但是我想问的是：老鼠要能够到达与猫相对静止的那一点，需要多长时间？

哦我又算了一下，好像可以在有限时间内到达。但从那一点以后的运动就难以确定了。

呵呵确实很难啊……

作者: hw294 时间: 2007-7-21 13:32:54

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: Cielo 时间: 2007-8-31 21:43:46

顶一下，希望大家都能来讨论一下这个问题，好难啊！

作者: libiamo 时间: 2007-9-1 05:10:18

个人认为，老鼠的路线应该是螺旋形。。。不知道这个汉语怎么说，查字典，仿佛叫对数螺线。
很不确定阿[em06]

作者: 诸几市 时间: 2007-9-4 03:50:15

关于这个问题我考虑了一下.总结出几点

1,老鼠如果要以最小速度脱险的话肯定不能沿猫的起始点与圆心的延长线方向跑,也就是只要跑完半径就可以,这样的速度大概要达到3.2米/秒左右才能不被抓.(但这是比较省时间的)(100/314*10=3.2米/秒左右)

2,老鼠也肯定不能一直按螺旋线跑(在任意时刻都朝着猫与圆心的延长线方向游),因为如果老鼠以小于3.2米/秒的速度按猫与圆心的延长线方向游的话,那结果只有1个就是老鼠被淹死猫饿死.如过大于这个速度游就没意义了.

3.老鼠只能以先螺旋(使老鼠和猫始终保持在通过圆心的直线两端)再直线的行进路线才能以最小速度脱险,而这个行进路线的改变点就在离圆心12米(取整数)处.到了这个点就由绕圆心的螺旋行进路线改为直线向离该点最近的岸边游,这样老鼠只要以2.4米/秒(粗略计算)的速度就可以悠闲脱险了

[em01]

个人看法,不妥之处还请指教.

作者: cillayfd 时间: 2007-10-16 07:54:01

猫会游泳吗

作者: noski 时间: 2007-10-16 16:32:10

9楼总结的3点，前2.5点是对的。最后不能向离岸最近的点游，因为那不是最优的...

放出一个答案：

如下图：

岸上的猫和水里的老鼠

列出的是一个又有cos又有根号的方程，用数值解法能解出，老鼠的速度为2.1723m/s。

不用担心猫会转方向，因为猫改变方向只会更有利于老鼠。

我算不出比这个更小的数了，但还是不知道这个答案是不是最优的。

附件: [岸上的猫和水里的老鼠] ZHXOUxnA.jpg (2007-10-16 16:21:02, 11.18 KB) / 下载次数 62
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTA2NTJ8YjBlYjYzNWN8MTc0MDgxOTcwMHwwfDA%3D

作者: ouroboros 时间: 2008-3-23 15:33:26

我觉得楼上解答是错误的，因为猫和老鼠有平等的选择方向权力，如果一开始就按照小圆切线方向，猫没理由沿长弧跑。这个问题不能按一般物理问题那样直接定性然后定量计算，这个问题运动过程极其复杂，需要先定量分析用数学方法确定老鼠在脱离小圆以后的瞬时速度最佳方向（脱离瞬间应该是对着猫所在位置180度圆周对称点的），以对其轨迹进行分析，才能给运动定性，接着才能定量计算。

作者: Cielo 时间: 2008-3-23 18:46:20

原帖由 noski 于 2007-10-16 16:32 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=56638&ptid=4012" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
9楼总结的3点，前2.5点是对的。最后不能向离岸最近的点游，因为那不是最优的...放出一个答案：如下图：10652列出的是一个又有cos又有根号的方程，用数值解法能解出，老鼠的速度为2.1723m/s。不用担心猫会转方向，因为 ...

顶一下！我5楼说的就是后面一段老鼠游的方式有太多选择了……

作者: Cielo 时间: 2008-3-25 22:09:29

原帖由 noski 于 2007-10-16 16:32 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=56638&ptid=4012" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
9楼总结的3点，前2.5点是对的。最后不能向离岸最近的点游，因为那不是最优的...放出一个答案：如下图：10652列出的是一个又有cos又有根号的方程，用数值解法能解出，老鼠的速度为2.1723m/s。不用担心猫会转方向，因为 ...

在上面给出的图中，老鼠向右游的话猫可以选择向右追（就是说猫可以等无穷小的一段时间，看老鼠往哪边游然后决定自己的路线），所以图中这种情况应该不会出现的。 而且就算老鼠先往左引诱猫往左追，当老鼠又折向右时，猫也可以根据当时的情况决定是继续往左追还是也折向右追。感觉好复杂……

作者: wwwamos594 时间: 2008-3-26 15:14:18

而这个行进路线的改变点就在离圆心12米(取整数)处

 这个点怎么得到的？

作者: 宇枫幽蓝 时间: 2008-3-26 15:18:22

请问：猫跑着不会累吗？它还饿肚子呢~~~~`

老鼠游泳也会累的，不怕水肿？？

作者: Cielo 时间: 2008-3-26 19:47:33

原帖由 wwwamos594 于 2008-3-26 15:14 发表 <a href="http://bbs.mf8-china.com/redirect.php?goto=findpost&pid=103348&ptid=4012" target="_blank"><img src="http://bbs.mf8-china.com/images/common/back.gif" alt="" border="0"></a>
而这个行进路线的改变点就在离圆心12米(取整数)处

这个点怎么得到的？

呵呵我认为路线的改变点距圆心的距离应该是：半径 * （鼠速度 / 猫速度），因为鼠可以在这个距离上和猫保持相对距离不变，也就是位于猫与圆心的连线的延长线上。 但是鼠速度是未知的，而且路线改变点之后的情况很难分析，所以不会做啊……

作者: noski 时间: 2008-3-26 19:56:23 标题: 回复 14# 的帖子

嘿嘿，老鼠先沿直径远离猫一点点，看猫是追还是不追，是往左追还是住右追。。猫动了，然后老鼠再像上面说的走就是了

作者: Cielo 时间: 2008-3-26 20:12:45 标题: 回复18#楼的帖子

嗯这个我也想过，但猫就算往左追了，当它发现老鼠往右的话，也可以根据距离的远近而选择继续往左追或是折回来向右追。

作者: noski 时间: 2008-3-26 20:18:34 标题: 回复 19# 的帖子

猫折回来老鼠就成直角拐弯，猫会发现它转方向还不如不转。。。

作者: Cielo 时间: 2008-3-26 22:10:30 标题: 回复楼上

呵呵是啊，但是想要达到图中的路线应该就不可能了吧，所以那个解不一定能取到吧。

作者: noski 时间: 2008-3-27 00:30:08 标题: 回复 21# 的帖子

这个解能取到，按那个直线算出来的速度，一定能逃出去，拐弯只会使老鼠需要的速度更小。。

作者: Cielo 时间: 2008-3-27 08:57:45

嗯那我再看看，可能我考虑得不够仔细。

作者: hw294 时间: 2008-4-8 13:10:28

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: hw294 时间: 2008-4-9 12:47:24

提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: 钟七珍 时间: 2008-4-14 02:55:43

　
　　我认为，11楼的答案就是最佳方案。但是证明较难。
　　有关此问题的讨论，可参见：http://tieba.baidu.com/f?z=34111 ... 6%A8%CA%C6&pn=0

作者: bbshanwei 时间: 2008-5-11 14:48:33

题目都牵扯到刘翔了！！不过那个螺旋上的点有点难理解。

作者: noski 时间: 2008-5-24 01:12:47 标题: 回复 26# 的帖子

在百度贴吧的讨论结果，是说11楼我的那个答案是最优结果喽？

作者: 金眼睛 时间: 2008-5-25 21:52:22

也来谈谈对这道题的一些粗浅的想法，呵呵，其实大家都说得挺全面了。
1.       猫如何判断往哪个方向追：我觉得老鼠的运动方向不是猫考虑的主要问题，它要考虑老鼠在自己和圆心形成的直线的哪一侧，比如老鼠在图中的D点，无论运动方向如何，猫都向右侧运动。猫的主要目的是将老鼠置于线OA上，这样老鼠就不得不游回O点，从而不能逃脱。
2.       老鼠的第一段路径：老鼠的目的与猫相反，老鼠应努力将自己置于线OC上，假设老鼠的最大游动速度为V，将该速度作为保持在OC线上的线速度，可以算出老鼠的最大能力点，OB=5V，则开始的时候老鼠从O游到B可以非常悠闲，路线也是任意的，甚至可以往回游，它只需要提供一个小于V的线速度，从而将自己保持在线OC上，注意这时候A点是动的，线OC是相对于点A的。
3.       老鼠的第二段路径：等到了老鼠的最大能力点B的时候，老鼠就不能保持在OC上了，它应该在OA覆盖到自己身上的同时到达岸边。这时候老鼠先不动，观察猫，猫如果不动，老鼠就沿BC动，速度可以任意小，所以猫必须先动，老鼠向其相反方向启动，启动的同时，猫不会变向，因为老鼠这个瞬间在OA直线的左侧。
4.       关于第二段路径的方向：老鼠可以选择右侧弧AC中的任意一点上岸，无论是哪一点，为了保持速度最小，路径应该是直线，我计算了一下，如果猫一直不变向，老鼠沿BA游速度是最小的，但是，F点是个拐点，过了F点老鼠总会在路径的某点处引起猫的转向，所以楼主算得对，BF就是最佳路径，老鼠的速度是Vmin=2.172336282m/s。
5.       如果老鼠选的是C点，结果就是10/(pi+1)，呵呵！或者老鼠如果水性好，可以跟猫比比耐力啊，嘿嘿！

[ 本帖最后由金眼睛于 2008-5-25 22:00 编辑 ]

附件: [示意图] Rat.JPG (2008-5-25 21:52:22, 14.56 KB) / 下载次数 39
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=MTcyMzd8ZTk2MDQzZDZ8MTc0MDgxOTcwMHwwfDA%3D

作者: psuynjw 时间: 2008-8-27 14:11:38 标题: 最简单的答案才是真答案

个人认为:猫不是傻的.不管老鼠怎么跑,只要距离和猫不超过半径10米,猫都可以不动.
猫并不是非要朝着老鼠游的方向的那个方向跑,只有老鼠和猫之间的距离超过10米了,猫才需要路.本人不才,没学好数学和语文,不知道有没有描述清楚.
比如:老鼠离岸只有一米了,猫已经在离老鼠一米的岸上等了,老鼠转180度,猫没必要立刻向老鼠转的那个方向的岸上跑.

作者: kexin_xiao 时间: 2008-8-27 14:37:30

来学习一下

作者: 刚吃完 时间: 2008-8-28 04:10:24 标题: 此题难度非同一般，

此题难度非同一般，
答案：将是一本书。
没有娱乐性，

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