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标题: 【悬赏】立体几何难题 [打印本页]

作者: superacid 时间: 2009-11-11 23:56:32 标题: 【悬赏】立体几何难题

已知空间内两两异面的三条直线L1,L2,L3
问所有与这三条直线都共面的直线构成怎样的空间几何图形？

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-14 11:08 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2009-11-12 00:03:06

有点印象，貌似做过……

不会是你们的考试题吧？

作者: superacid 时间: 2009-11-12 00:10:28 标题: 回复 2# 的帖子

显然不是，
mxh很仁慈的，只要1个小时不到就能拿100分...
这是书上的题，我昨天晚上一直在想这道题，还是没想出来，
还好今天不考。

作者: 托马斯泽诺斯机 时间: 2009-11-12 00:17:19

从相对论角度分析
楼主这题相对我来说难了一点，我做不出。

作者: a312637477 时间: 2009-11-12 00:17:26

没有这图形，你都说了他们之间两两异面，那还存在与这三条直线都共面的线么？？？

[ 本帖最后由 a312637477 于 2009-11-12 00:18 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-12 00:20:04

原帖由 a312637477 于 2009-11-12 00:17 发表
没有这图形，你都说了他们之间两两异面，那还存在与这三条直线都共面的线么？？？

显然存在的。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-12 00:22 编辑 ]

作者: Cielo 时间: 2009-11-12 00:21:36

找到这一题了，原来原题是证明题啊！
只能猜出答案就是这样，不知道怎么证……
期待大家来解答，上过这门课的我就不掺和了

（以下内容与解答本题无关
嗯没上过mxh的课，听说期中是很仁慈，不过因为有优秀率的限制，所以要么期末会巨难，要么就只能最后整体往下调分……）
————————————————————————————————————————————————————————
不会做……一点想法已发短消息给楼下！

[ 本帖最后由 Cielo 于 2009-11-12 00:31 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-12 00:23:20

Cielo，以后咱们还是私聊吧...

你到底知不知道解答？

作者: noski 时间: 2009-11-12 00:24:10

我想到了平等六面体中互成异面的三条棱，然后另外三条棱就是与前面这三条直线都共面的直线

作者: superacid 时间: 2009-11-12 00:31:38

貌似这样的直线一定有无数条

作者: noski 时间: 2009-11-12 00:32:24

然后这三条直线连续的变化，有点像双曲面？好像很漂亮。。。。
另外还有一条直线的情况。。。。

作者: 骰迷 时间: 2009-11-12 16:37:00

同5L的問題..算了,我還有一點自知之明...
------------------------------------
看過樓下的圖就明白了,線A共面線B,線B共面線C,並不等於線A共面線C
不過左邊不是還有一條棱符合嗎

[ 本帖最后由骰迷于 2009-11-12 18:43 编辑 ]

作者: noski 时间: 2009-11-12 17:48:29

红色是三条互为异面的直线；蓝色是与这三条直线都分别共面的直线；这是啥？

附件: 3line.gif (2009-11-12 17:48:29, 30.74 KB) / 下载次数 32
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=NzY3ODN8ZDI4ZTRlMzB8MTc0MDc5ODY1NHwwfDA%3D

作者: superacid 时间: 2009-11-12 19:33:07

看不出来

作者: annt053 时间: 2009-11-12 20:04:58

这是大学的吧…还没到这个层次！所以无法解答啦

作者: noski 时间: 2009-11-12 20:45:18 标题: 回复 12# 的帖子

那一堆蓝线都与那条竖直的红线相交，而且图中画出来的蓝线只是三分之一，最终要绕成一圈的。。

作者: superacid 时间: 2009-11-12 21:45:31

但是这图看起来不太舒服

作者: noski 时间: 2009-11-12 23:16:15

回楼上，那图确实没有透视的感觉，要是用程序画就应该好看多了。。

另外正确答案是这样的吗？

作者: superacid 时间: 2009-11-12 23:37:02 标题: 回复 18# 的帖子

是具有某些性质的双曲面，并且L1,L2,L3的位置不同，曲面种类也不同

作者: Cielo 时间: 2009-11-13 01:07:23

原帖由 noski 于 2009-11-12 20:45 发表
那一堆蓝线都与那条竖直的红线相交，而且图中画出来的蓝线只是三分之一，最终要绕成一圈的。。

原帖由 superacid 于 2009-11-12 21:45 发表
但是这图看起来不太舒服

图不错哦！绕成一圈就很能说明问题了啊！

作者: superacid 时间: 2009-11-13 09:01:07 标题: 回复 20# 的帖子

现在水平不够高，看一部分图看不出来

作者: lulijie 时间: 2009-11-13 19:46:59

设L1、L2、L3方程为： (参数方程)
L1： x=x1+r1*h1
      y=y1+s1*h1
      z=z1+t1*h1
L2： x=x2+r2*h2
      y=y2+s2*h2
      z=z2+t2*h2
L3： x=x3+r3*h3
      y=y3+s3*h3
      z=z3+t3*h3
上述只有h1、h2、h3为变量，其他都是常数（与直线的位置有关）
设符合要求的直线L0方程为：
L0： x=x0+r0*h0
      y=y0+s0*h0
      z=z0+t0*h0
x0、y0、z0、r0、s0、t0都是所求的值。
--------------------------------------------------------------------------
因为两条直线共面，要么相交，要么平行。
L0与L1、L2、L3都共面，那么最多只能与其中的一条直线平行，
而与其中的一条平行且与其他两条相交的直线只存在一条，总共只有三条这样的直线，暂时不考虑。
下面只考虑与L1、L2、L3都相交的情况。
先考虑L0与L1相交：
那么下式联立成立
   x=x1+r1*h1
      y=y1+s1*h1
      z=z1+t1*h1
   x=x0+r0*h0
      y=y0+s0*h0
      z=z0+t0*h0
  消去变量h1、h0，得
   (s1*t0-s0*t1)(x0-x1)+(t1*r0-t0*r1)*(y0-y1)+(r1*s0-r0*s1)*(z0-z1)=0 式子1
同理L0、L2相交得
   (s2*t0-s0*t2)(x0-x2)+(t2*r0-t0*r2)*(y0-y2)+(r2*s0-r0*s2)*(z0-z2)=0 式子2
同理L0、L3相交得
   (s3*t0-s0*t3)(x0-x3)+(t3*r0-t0*r3)*(y0-y3)+(r3*s0-r0*s3)*(z0-z3)=0 式子3

式子1、2、3共有x0、y0、z0、r0、s0、t0  六个未知量。
（x0，y0，z0)代表直线L0上的一点：
我们任意指定空间一个点（x0，y0，z0)，从上面三式联立，可解出r0、s0、t0一个解，代表
过空间任一点（x0，y0，z0)，只有一条直线与L1、L2、L3都相交。
而对于3个方程解3个未知量，一般情况下都有一个解。
所以过空间任一点（x0，y0，z0)，一般情况下都能做出一条直线与L1、L2、L3都相交。
所以所有符合条件的直线构成的图形必将布满整个空间。
-------------------------------------------------------------------------------
对这结果我还无法接受，大家看看这样的结论有没有错。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-13 19:48 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2009-11-13 20:10:45

由于直线L0方程中的x0、y0、z0可以任意取，不妨都取在直线L1上，
那么x0=x1+r1*h1
y0=y1+s1*h1
z0=z1+t1*h1
代入式子1、2、3中，得到关于r0、s0、t0、h1的三个方程，
假设h1为已知量，解出r0、s0、t0的解。（关于r0、s0、t0的三元一次方程）
这样直线L0的位置可以用参数变量h1来决定，而h1的取值范围为整个实数系。
这样随着h1的取值变化，L0的位置、方向也随之变化，
----------------------------------------
h1的渐变过程可以表现出直线L0的变化过程，
但所有的直线将遍及空间的每一个角落。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-13 20:19 编辑 ]

作者: noski 时间: 2009-11-13 20:33:50

这些计算结果说“过空间任一点(x0，y0，z0)，一般情况下都能做出一条直线与L1、L2、L3都相交”，
但是可以直观的想一下，考虑这些相交的情况：
过空间任一点P(x0，y0，z0)，且与L1相交的直线，是在P与L1确定的平面上，以P为旋转中心的一族直线；
这族直线中，要是有一条能够与L2和L3同时相交的话，除非：L2与平面PL1的交点M、L3与平面PL1的交点N、与P这三点共线。。而一般情况下是不能满足这个条件的。。

作者: kelman 时间: 2009-11-13 20:37:33

成数学讨论版了。。。。。

作者: lulijie 时间: 2009-11-13 20:49:21

过直线外一点，做与两条异面直线都相交的直线都只有一条，何况与三条异面直线都相交。
---------------------------------------
确定L0的位置，除了满足
(s1*t0-s0*t1)(x0-x1)+(t1*r0-t0*r1)*(y0-y1)+(r1*s0-r0*s1)*(z0-z1)=0 式子1
(s2*t0-s0*t2)(x0-x2)+(t2*r0-t0*r2)*(y0-y2)+(r2*s0-r0*s2)*(z0-z2)=0 式子2
(s3*t0-s0*t3)(x0-x3)+(t3*r0-t0*r3)*(y0-y3)+(r3*s0-r0*s3)*(z0-z3)=0 式子3
很可能还缺了一个条件，有了这个条件，(x0,y0,z0)才不能随便选择。
在上面计算过程中，都没有用到下面条件（表示(x0,y0,z0)在直线L1上）
      x0=x1+r1*h1
      y0=y1+s1*h1
      z0=z1+t1*h1
完全可以加上这个条件。这样23楼的结论就正确了，除了最后一句话。
--------------------------------------------------------------------
直线L0的位置可以用参数变量h1来决定，而h1的取值范围为整个实数系。
这样随着h1的取值变化，L0的位置、方向也随之变化。
h1的渐变过程可以表现出直线L0的变化过程。
大家有兴趣可以解出直线L0的参数h1表达式。（就是解一个三元一次方程）

作者: lulijie 时间: 2009-11-13 21:09:08

还是不对，
   x0=x1+r1*h1
      y0=y1+s1*h1
      z0=z1+t1*h1
作为增加条件的话，
式子一就失去了作用。

作者: superacid 时间: 2009-11-13 23:20:44

很不幸地告诉你，你的答案是错的

作者: argonium 时间: 2009-11-13 23:31:22

满足条件的直线有无数条构成一个曲面

作者: lulijie 时间: 2009-11-14 12:09:21

为了简化计算，取L1所在的直线为坐标系的x轴。
那么：
L1: y=0
   z=0
L2: x=x2+r2*h2
   y=y2+s2*h2
   z=z2+t2*h2
L3: x=x3+r3*h3
   y=y3+s3*h3
   z=z3+t3*h3
------------------------------------------
点（x1,0,0)为直线L1上的一点。
过(x1,0,0)、L2的平面：
x+(t2(x1-x2)+r2z2)/(t2y2-s2z2)*y+(s2(x1-x2)+r2y2)/(s2z2-t2y2)*z-x1=0
过(x1,0,0)、L3的平面：
x+(t3(x1-x3)+r3z3)/(t3y3-s3z3)*y+(s3(x1-x3)+r3y3)/(s3z3-t3y3)*z-x1=0
过(x1,0,0)，与L2、L3都相交的直线方程为下列二式联立：
x+(t2(x1-x2)+r2z2)/(t2y2-s2z2)*y+(s2(x1-x2)+r2y2)/(s2z2-t2y2)*z-x1=0 式1
x+(t3(x1-x3)+r3z3)/(t3y3-s3z3)*y+(s3(x1-x3)+r3y3)/(s3z3-t3y3)*z-x1=0 式2
随x1的取值不同，直线的位置随之变化。
所以这些直线构成的图形，只要从式1、式2消去x1即可。
得：
((s2*z2-t2*y2)*x+(t2*x2-r2*z2)*y+(r2*y2+s2*x2)*z)*(t3*y+s3*z+s3*z3-t3*y3)=((s3*z3-t3*y3)*x+(t3*x3-r3*z3)*y+(r3*y3+s3*x3)*z)*(t2*y+s2*z+s2*z2-t2*y2)    式3
---------------------------------------------------------------------------------------------
所有这些直线构成的图形构成二次曲面。曲面方程就是式3

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-14 12:10 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-14 12:12:43

那么是什么二次曲面呢？

作者: lulijie 时间: 2009-11-14 12:27:10

二次曲面有以下几种：
（以下是标准的方程）
      (1)椭圆曲面 x^2/a^2+y^2/b^2=z^2
　　(2)椭球面 x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
　　(3)单叶双曲面 x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1
　　(4)双叶双曲面 x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1
　　(5)椭圆抛物面 x^2/a^2+y^2/b^2=z
　　(6)双曲抛物面 x^2/a^2-y^2/b^2=z
   三个柱面 x^2/a^2+y^2/b^2=1；x^2/a^2-y^2/b^2=1；x^2=ay
-----------------------------------
首先L1、L2、L3三线异面，
x2、x3、y2、y3、z2、z3、r2、r3、s2、s3、t2、t3必须满足一定的条件。  （限制条件）
分析式3是什么曲面，要分析式3的各个系数关系，结合限制条件。来判断属于什么曲面。
立体解析几何没学过，自学来的部分都忘得差不多了。
这要翻资料，首先要了解三元二次方程的系数在什么情况下属于什么曲面。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2009-11-14 12:32 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-14 12:57:23

这个貌似过于繁琐...系数太繁了

作者: superacid 时间: 2009-11-14 16:01:47

是二次曲面且由直线构成是二次直纹面，
只可能是柱面、单叶双曲面、双曲抛物面(马鞍面)，
柱面明显不对，剩下单叶双曲面、马鞍面。

作者: lulijie 时间: 2009-11-14 18:14:38

不知道直纹面的概念，上网查一下：
直纹面：如果曲面S上有一族单参数直线(随着一个参数变化的一族直线),而S的每一点都在这族直线上,则称S为直纹面。这族直线中的每一条直线都称为直母线.
上述我说的式1、式2所确定的直线，刚好是由参数x1确定的一族直线，符合上述定义的直纹面。
正像楼上说的，只有单叶双曲面、双曲抛物面符合题意。

作者: superacid 时间: 2009-11-15 09:00:27

貌似判断到底是哪一种有很大的难度

作者: ggglgq 时间: 2009-11-15 09:18:32

　　

设正方体的边长为 2 （如图），两两异面的三条直线为蓝线，如图建立

坐标系，则所求双曲面方程为： xy + yz + zx = -1  。

作者: ggglgq 时间: 2009-11-15 09:18:57

　　
　　　　

轨迹问题是解析几何中常见的有趣的问题。

对于同一图形可以有不同的轨迹描述，从而得到不同的方程，如

平面解析几何中用不同的轨迹（方法）描述双曲线，便得到如

   x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1  及  xy = k  (abk≠0)  等不同的方程形式

但它们经过旋转、缩放等变换后，即可化为同一图形方程（双曲线）！

对于立体解析几何，甚至高维解析几何，亦如此。因此轨迹问题对于

三维以上空间来说需要很好地总结归纳其内在规律。


对于本主题，化简一般两两异面的三条直线的轨迹方程是比较麻烦的，故

本人只给出上面这种特殊的 xy + yz + zx = -1 双曲面方程，便于大家参考。

因为所有满足题目要求的轨迹都可以经过旋转、缩放、平移等变换化简

成这个简单的 xy + yz + zx = -1 双曲面方程！
　　　
　　
　　

　
　　
　　　
　　
　　

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-11-15 18:28 编辑 ]

作者: ggglgq 时间: 2009-11-15 09:21:33

　
　　

结合本主题另外给大家提供一个游戏，供大家闲暇时消遣娱乐，呵呵！
　　　　
　　

作者: superacid 时间: 2009-11-15 09:24:07

LS那个图恰恰说明的是单叶双曲面的直纹性
37楼的图...用魔方...

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-15 09:25 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-15 09:51:02

计算得xy+yz+zx=-1是单叶双曲面

作者: superacid 时间: 2009-11-15 11:30:20

二次曲面的知识：

设二次曲线F(x,y,z)=0
方程.gif

可以写成

记

令

对于空间的一个旋转变换将F(x,y,z)=0变为F(x',y',z')=0，设过渡矩阵为C0，则C0为正交矩阵，坐标变换公式.gif

。
对于任意实数s，有

所以

也就是说

在任意旋转变换下是不变量。

我们可以据此判断一般二次曲面的类型。

[ 本帖最后由 superacid 于 2009-11-15 11:52 编辑 ]

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作者: superacid 时间: 2009-11-15 12:07:00

由于单叶双曲面标准方程是x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1
马鞍面标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=2z
所以判断究竟是单叶双曲面还是马鞍面只需看I3是否等于0
貌似计算有点痛苦

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