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标题: 正十二面体二面角问题 [打印本页]

作者: Paracel_007 时间: 2009-11-15 17:38:29 标题: 正十二面体二面角问题

正十二面体相邻两面的二面角:pi+arctan(-2)
我算出来了，但方法很复杂，有很麻烦的三角化简(也可能我化简的方法不对

)
谁有简单的方法说下？谢谢！

作者: superacid 时间: 2009-11-15 17:46:40

不就是一个三面角公式么...

作者: Paracel_007 时间: 2009-11-15 20:11:34

我不知道那个公式啊

~~
写下吧，谢谢！
我立几不好啊

作者: Paracel_007 时间: 2009-11-15 20:20:12

呃……公式找到了……不过算起来很烦

作者: lulijie 时间: 2009-11-17 00:13:25

利用余弦定理即可
设边长为1，A、C在BD上的垂足为H。
那么所求的二面角就等于∠AHC.
因为：
AH=CH=sinλ
AC^2=(1+1-2cosλ)=2-2cosλ
所以cos∠AHC=(AH^2+CH^2-AC^2)/2AH*CH=[(sinλ)^2+(sinλ)^2-(2-2Cosλ)]/2(sinλ)^2=(Cosλ-Cosλ^2)/(1-(cosλ)^2)
= cosλ/(1+cosλ)=cos108°/(1+cos108°)=-cos72°/(1-cos72°)
------------------------------------------------------
若要化简，那么如下：
(tan∠AHC)^2=（1-2cos72°）/(cos72°)^2
因为cos36°-cos72°=1/2，所以1-2cos72°=1-2（cos36°-1/2)=2-2cos36°=2(1-cos36°)
又因为 (cos72°)^2=1/2*(1+cos144°)=1/2*(1-cos36°)
所以 (tan∠AHC)^2=4
因此：∠AHC=Pi-arctan2

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作者: lulijie 时间: 2009-11-17 00:26:31

或者直接利用cos72°=1/(1+√5)
得 cos∠AHC=-cos72°/(1-cos72°)=-1/√5

作者: ZJY 时间: 2009-12-27 20:27:44

哇，貌似很复杂----------

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