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标题: ♥ ？共几种不同涂法：用三色涂正方体8顶点 [打印本页]

作者: HeyShawn 时间: 2009-11-23 15:56:54 标题: ♥ ？共几种不同涂法：用三色涂正方体8顶点

给正方体的8个顶点涂红色、黄色或蓝色，
经翻转或旋转后若相同则看作同一种情形，
请问共有几种不同的涂法？

作者: superacid 时间: 2009-11-23 16:52:27

这可以用群论的思想解决，参见《奥赛经典》

作者: 乌木 时间: 2009-11-23 17:47:57

1楼题目是不是指，用三种颜色涂8个点子，每种颜色无论出现几次，从0次到8次都允许？

作者: superacid 时间: 2009-11-23 18:30:31 标题: 回复 3# 的帖子

应该是吧

作者: 乌木 时间: 2009-11-23 19:23:13 标题: 回复 4# 的帖子

那么，是不是8位的三进制数问题？每一位的变化为0、1、2，逢“三”进位，比如 00000010[sub]（3）[/sub]就是十进制的3，00000020[sub]（3）[/sub]就是十进制的6，等等。对吗？

[ 本帖最后由乌木于 2009-11-23 19:27 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2009-11-23 19:27:40 标题: 回复 5# 的帖子

不是，因为要考虑到对称的图形只算一种

作者: superacid 时间: 2009-11-23 19:37:20

可以搜索一下Polya计数法

作者: superacid 时间: 2009-11-23 20:16:25 标题: 先发个答案

CtrlA

(8×3^1+28×3^2+16×3^3+24×3^4+8×3^6)÷(8+28+16+24+8)=101

作者: ggglgq 时间: 2009-11-23 23:08:26

原帖由 HeyShawn 于 2009-11-23 16:40 发表

转载：
对魔方研究来说，群论有一个非常重要的优点，就是它可以充分利用魔方的对称性。
我们前面提到 4325 亿亿这个巨大数字时，其实有一个疏漏，那就是并未考虑到魔方作为
一个立方体所具有的对称性。由此导致的结果，是那 4325 亿亿种颜色组合中有很多其实
是完全相同的，只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。因此， 4325 亿亿
这个令人望而生畏的数字实际上是 “注水猪肉”。那么，这 “猪肉” 中的 “水份”
占多大比例呢？说出来吓大家一跳：占了将近 99%！换句话说，仅凭对称性一项，
数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级[注五]。

原文链接：
http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/rubikcube.php

原帖由乌木于 2009-11-23 17:38 发表

109楼说“……只是从不同的角度去看 (比如让不同的面朝上) 而已。……”，说得很不对。

“4.3×10^19”这个数目是指纯色魔方六个中心块不动位置的条件下，角块和棱块经过转魔方方法所能得到的不同状态数目，谈不上什么“让不同的面朝上”之类的说法。也就是说，决无半点“水分”！在计算三阶纯色魔方的式子中根本没有中心块状态的变化数，一个魔方的中心块各自固定位置之后，还怎么“让不同的面朝上”？！即使计算全色魔方，中心块也只有各自的自转变化数，没有魔方整体运动。

在计算偶阶魔方的总态数时，一般已经排除了魔方整体运动产生的24同态问题，所以，也决无“水分”。

　　
  　　
　　
卢昌海的那篇科普读物《魔方与“上帝之数”》在论坛中早有人转帖，

谢谢！它很好地诠释了正六面体三阶魔方的最远状态寻找的艰难过程。其

“仅凭对称性一项，数学家们就可以把魔方的颜色组合减少两个数量级”

的科学性，利用我的《正六面体 N 阶魔方-48“同态”图解》及其逆变换

http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar
　　
直接可以验证，其压缩比率为 1/96　！　


关于我的《正六面体 N 阶魔方-48“同态”图解》的详细讨论，请大家

参考：《正六面体 N 阶魔方-48“同态”解释》

   http://bbs.mf8-china.com/viewthread.php?tid=6220&extra=page%3D1&page=3


《正六面体 N 阶魔方-48“同态”解释》占了 100 余楼，浪费了我大量

时间和精力，因此我也不打算再花精力去整理了。能看懂的不整理也能看懂，

看不懂的整理得再好也白搭！

　　
　　
　　
　　

作者: ggglgq 时间: 2009-11-23 23:08:52

　　

为什么要提上面这个问题呢？因楼主的问题如果改成正六面体二阶魔方，

http://bbs.mf8-china.com/data/attachment/forum/dvbbs/2006-5/20065719274976097.rar

其经过上面这 48“同态”处理，正六面体二阶魔方的状态数将是多少呢？

这个问题我认为更有意思，希望大家有空算一算！

　　
　　
　　

作者: tm__xk 时间: 2009-11-24 00:15:54

奥赛经典的Polya....当小说翻过....显然没记得....

作者: superacid 时间: 2009-11-24 07:16:35

用Polya法做这题很容易，
话说回来，有人知道怎么证明Polya法吗？

作者: noski 时间: 2009-11-25 16:13:06

Polya好方法，学习了~

作者: zxl0714 时间: 2009-11-28 18:31:53

我记得组合数学书上有好像有证明，我忘记了。。。

作者: tm__xk 时间: 2009-11-28 20:12:10

看数学会头晕的....

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