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标题: 高中奥赛题...有无人告诉我解法 [打印本页]

作者: 77hsxian 时间: 2010-1-9 18:54:27 标题: 高中奥赛题...有无人告诉我解法

是否存在x使得 tanx+根3 ,cotx+根3为有理数

作者: Honku 时间: 2010-1-9 19:02:12

设t=tanx+根3
则 t-根3=tanx , 且t为有理数
同理设
k=cotx+根3
k-根3=cotx,且k为有理数
又k*t=cotx * tanx=1
推出kt-根3*(k+t)+3=1

剩下的是二元二次方程
很简单了

又知k+t=n*根3，且k、t为有理数，所以k、t不存在

高中奥赛题哪有这么简单...我做的比这难多了...
面对代数题最重要的是掌握换元的方法，还有建议学习一下一点数论的基础知识
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看了四楼的解答，休正一下我的：
设t=tanx+根3
则 t-根3=tanx , 且t为有理数
同理设k=cotx+根3
k-根3=cotx,且k为有理数
又    k*t=cotx * tanx=1
推出 kt-根3*(k+t)+3=1
即    kt-根3*(k+t)+2=0
即    kt+2=根3*(k+t)
当k=0或t=0时，显然不成立
当kt 不等于 0时，
有k+t=n*根3(n不等于0)
又知k、t为有理数，所以k、t不存在
综上,k、t不存在
故x不存在

好，满分了！

还有四楼那个啊，是两式相乘后是减不是加

[ 本帖最后由 Honku 于 2010-1-9 19:38 编辑 ]

作者: dikembemutombo 时间: 2010-1-9 19:10:55

Honku是韦东亦二世

作者: Honku 时间: 2010-1-9 19:16:08

原帖由 dikembemutombo 于 2010-1-9 19:10 发表
Honku是韦东亦二世

我连全国高中数学联赛都去不了.........
太弱小了- -
我们学校还有很多强人啊........

作者: xiaoxiao_wxy 时间: 2010-1-9 19:19:50

设 tanx+根3=a (a为有理数）cotx+根3=b (b为有理数）
则tanx=a-根3 cotx=b-根3
又tanx*cotx=1
所以（a-根3)(b-根3)=1
整理得（ab+2)+(a+b)根3=0
所以ab+2=0且a+b=0
解得：无实数解
所以不存在

作者: Paracel_007 时间: 2010-1-10 12:48:04

嗯，不难。。。
全国高中数学联赛混过一等奖的路过。。

作者: 拽额泽BOY 时间: 2010-1-10 12:53:15

看不懂，在基本三角函数里逞英雄的路过

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