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标题: 一个奇特的素数筛选的矩阵 [打印本页]

作者: ggglgq    时间: 2005-1-6 09:08:45     标题: 一个奇特的素数筛选的矩阵

一个奇特的素数筛选的矩阵
    请大家看看下面的这个对称矩阵:
       4     7   10   13   16   19   22 ......
       7    12  17   22   27   32   37 ......
      10   17  24   31   38   45   52 ......
      13   22  31   40   49   58   67 ......
      16   27  38   49   60   71   82 ......
        ... ...  ...  ...  ... ...  ... ...
    规律是显然的:第一行公差为 3 ;第二行公差为 5 ,...
    这个对称矩阵有什么用呢?
    这就是森德拉姆(Sundaram,1934)素数筛法矩阵,如果一个自然数 N
出现在矩阵当中,那么 2*N+1 是合数;反之若 N 不在表中出现,则 2*N+1
肯定是素数!
    这么神奇的矩阵,奥妙在哪里呢 ?

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-6-29 11:15 编辑 ]
作者: ggglgq    时间: 2005-1-7 11:47:47

其实原理很简单!

让我们来分析一下:显然,矩阵的第i行、第j列的通项为
2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4
因此若N在表中的i行j列出现,则
2*N+1=2(2(i-1)(j-1)+3(i-1)+3(j-1)+4)+1
=(2(i-1)+3)(2(j-1)+3)
显然是一个合数。
假设2*N+1是合数,那么肯定存在奇数m,n满足2*N+1=m*n,并且
m>=3,n>=3, 那么,
N=(m*n-1)/2=((2*((m-3)/2)+3)(2*((n-3)/2)+3)-1)/2
根据通项公式,N应该出现在矩阵的(m-3)/2+1行,(n-3)/2+1列。
因此若N在表中不出现,则2*N+1必为素数!

[ 本帖最后由 ggglgq 于 2009-6-29 11:17 编辑 ]
作者: cube_master    时间: 2005-1-7 14:02:39

好,顶一下[em23]
作者: lok    时间: 2005-3-1 19:17:36

看來大家還是數學高手!
作者: Cielo    时间: 2005-6-29 11:50:26

估计是高中竞赛题,强






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