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标题: 加拿大中学3年级数学竞赛的一道题 [打印本页]
作者: libiamo    时间: 2007-12-18 10:44:49     标题: 加拿大中学3年级数学竞赛的一道题

Jean在纸上写一个2187位的，由1和2组成的数字，<br>Judith以这样的方法，建立了一个数字：她从左读Jean的数字，她每看到“1”，她就写112；她每看到“2”，她就写111。<br>比如说，Jean的数是2112，Judith就写111112112111。<br>当Judith写完的时候，她发现，她的数字的前2187位数和Jean的数字完全相同。<br>问题：在Jean的数字中，有几次<span style="font-weight: bold;">连着的5个1</span>？<br>选项：a)182&nbsp;&nbsp;  b)183&nbsp;&nbsp;  c)184&nbsp;&nbsp;  d)185&nbsp;&nbsp;  e)186<br><br>
作者: 乌木    时间: 2007-12-18 17:10:29

此题甚妙！初步分析，原数的头 2187/3－1＝729－1＝728 位中含有的 2  的个数即为本题答案。但是，具体多少，一时还未找出。
作者: 乌木    时间: 2007-12-18 17:35:02

初步摸索一下，原数的第 3、6、12、15、21、24、27、30、33、39、42、48、51、54、57、60、66、69、75、78、84、87、93、96、102、105、108、111、114、120、123、129、132、135、……位上是数字 2 ，如此摸索到728位不是个事，即使苦干一番排出，肯定不算好办法。讨救兵啦！

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-18 17:44 编辑 ]
作者: shendy    时间: 2007-12-18 21:00:53

妙题啊..让我先想想,忍不住先回个帖
作者: shendy    时间: 2007-12-18 21:25:48

..没头绪!等答案了
作者: Tain    时间: 2007-12-18 23:15:42

这个简单嘛
一个一个列出来
列完2187个数一下就可以了
作者: 乌木    时间: 2007-12-19 07:40:14

由1得112 －－含1个2。<BR>由112得112&nbsp; 112&nbsp; 111 －－含2个2 ，即下一代含2个11111。<BR>由112&nbsp; 112&nbsp; 111得112&nbsp; 112&nbsp; 111&nbsp; 112&nbsp; 112&nbsp; 111&nbsp; 112&nbsp; 112&nbsp; 112 －－含7个2，即下一代含7个11111。<BR>再得81位数－－含20个2，即下一代含20个11111。<BR>再得243位数－－含61个2，即下一代含61个11111。<BR>再得729位数－－含182个2，即下一代的2187位数含182个11111。<BR>据题意，该“下一代的2187位数”即原数，<BR>故1楼的答案为182。

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-19 07:41 编辑 ]
作者: duoasis    时间: 2007-12-19 08:25:46

我做的答案是184。。。。=。=
作者: 乌木    时间: 2007-12-19 09:34:14

<P>7楼的结果不是全部列出243个或729个数字再清点的，因此，有可能答案182不对（？）</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>前面到81位数是全部列出数字清点的，81位数有20个2。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>对243位数是列出一部分，借用前面已有的结果20，加上判定第243位数字是2，故20×3＋1＝61。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>对于729位数则不必列出具体数字，判定第729位数字是1，故得到61×3－1＝182。</P>
<P>&nbsp;</P>
<P>不知这样考虑是否有误？</P>

[ 本帖最后由 乌木 于 2007-12-19 09:49 编辑 ]
作者: Tain    时间: 2007-12-19 10:18:43

<P>182 方法一：见6楼。</P>
<P>方法二：易得前三位为112。</P>
<P>&nbsp;前3位决定了前9位，前9位决定前27，前27决定前81。。。 前3位有多少个1，则前9位便有多少个2，前9位多少个1，前27便有多少个2。。。 兼于此： 前3位2个1则前9位有2个2、7个1。前9有7个1，则前27有7个2、20个1，前27有20个1，则前81有20个2、61个1。前81有61个1，则前243有61个2，182个1。前243有182个1，则前729有182个2。</P>
<P>&nbsp;前729位有182个2，一个2对应一个五连1（若第729位为2则这个2不造成5连1）。故为182 。</P>

[ 本帖最后由 Tain 于 2007-12-19 10:29 编辑 ]
作者: 乌木    时间: 2007-12-19 11:37:25

不懂编程，乱说说：

如果题目中的1改为0，2改为1，是否更便于写个程序由电脑算？
作者: whitetiger    时间: 2007-12-21 13:45:47

7#差不多对了，有一个地方没考虑清楚。

分析题目，可以认为2187(=2^7)位数字可以这么出来：Jean写出第1(=3^0)位数字，Judith写出对应的3(=3^1)位数字，这也是Jean的前3(=3^1)位数字。然后Judith再写出对应的9(=3^2)位数字，……如此反复，直到写出2187(=2^7)位数字。

第1位数字，一定是1。
怎么会出现“2”这个数字呢？只能是从“前一代”（利用乌木的讲法）数字中的“1”变过来的，前一代数字中有多少个“1”，这一代数字中就有多少个“2”。
怎么会出现5个连续的“1”呢？只有在前一代数字中出现“21”，才能形成这一代数字中的连续5个“1”。（以下是乌木没有考虑到的问题）所有的数字中“2”不可能连续出现；因此除非是前一代数字以“2”结尾，否则前一代数字有多少“2”，这一代数字中就有多少个“1”。
每代数字结尾的数字肯定是“1”、“2”交替的。

第0代，1(=3^0)位数字，就是“1”，有0个“2”，1个“1”，以“1”结尾；
第1代，3(=3^1)位数字，有1个“2”，有3-1=2个“1”，以“2”结尾，有0个连续的5个“1”；
第2代，9(=3^2)位数字，有2个“2”，有9-2＝7个“1”，以“1”结尾，有1-1=0个连续的5个“1”；
第3代，27(=3^3)位数字，有7个“2”，有27-7＝20个“1”，以“2”结尾，有2个连续的5个“1”；
第4代，81(=3^4)位数字，有20个“2”，有81-20＝61个“1”，以“1”结尾，有7-1=6个连续的5个“1”；
第5代，243(=3^5)位数字，有61个“2”，有243-61＝182个“1”，以“2”结尾，有20个连续的5个“1”；
第6代，729(=3^6)位数字，有182个“2”，有729-182＝547个“1”，以“1”结尾，有61-1=60个连续的5个“1”；
第7代，2187(=3^7)位数字，有547个“2”，有2187-547＝1640个“1”，以“2”结尾，有182个连续的5个“1”；
……

虽然乌木没考虑清楚，但是正好不需要做“减1”的调整，答案也对了。

最后可以完全把公式导出来：
当n为偶数时，3^n位数字中，有[(3^n)-1]/4个“2”，有[(3^(n+1))+1]/4个“1”，以“1”结尾，有[(3^(n-1))+1]/4-1=3/4[(3^(n-2))-1]个连续的5个“1”；
当n为奇数时，3^n位数字中，有[(3^n)+1]/4个“2”，有[(3^(n+1))-1]/4个“1”，以“2”结尾，有[(3^(n-1))-1]/4个连续的5个“1”。
作者: 乌木    时间: 2007-12-21 15:12:14

哈，我是考虑了“前一代”末位是1还是2的，当判断出那729位数的末位和末第二位都是1后，我就删去了每一步分析中所说的关于末位的情况了。看来，删得不妥－－至少显得不严密了。
作者: libiamo    时间: 2007-12-22 09:43:16

<br>
这个简单嘛
一个一个列出来
列完2187个数一下就可以了
<br><br>数学竞赛60分钟，一共25道题，是没有时间慢慢列滴。。。如果列完了后，数漏了一个不就前功尽弃了吗<img smilieid="10" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border="0"><br>去年我们学校参赛的没有一个人做出来。。。<br><br>我将在2008年2月底去参加加拿大国家竞赛（中学4年级的，题比这个还难<img smilieid="10" src="http://bbs.mf8-china.com/images/smilies/default/sweat.gif" border="0">），正在趁着圣诞假期好好努力~~~<br>

[ 本帖最后由 libiamo 于 2007-12-22 09:48 编辑 ]
作者: libiamo    时间: 2007-12-22 10:14:29

182答案是对的~ 画个表格行更清楚：<br><br>“代”&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Jean的数的位数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Judith的数的位数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Jean的“1”的个数&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; “2”的个数<br>1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 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<span style="color: Black; font-weight: bold;">182</span>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 61<br>7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 729&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2187&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 537&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="font-weight: bold;">182</span> &nbsp;<br>8&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 2187&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <br>Jean的第8轮的5个1的个数，就是上轮的2的个数，也就是上上轮1的个数<br>
作者: Exploding    时间: 2007-12-23 03:32:17     标题: 182不知道对不对

11211211111211211112112这样循环啊每24个就2个5个1连着的2187＊2／24＝182．．．3
作者: libiamo    时间: 2007-12-23 12:18:52     标题: 还有到特别难的：

存在多少对正整数（n，r），4≤n≤r≤2007，使n个黑色的球，r个红色的球随机的排成一条直线时， 排在第一个的球和排在最后一个的球的颜色一样的可能性为50%  ？

选项：a)58  b)59  c)60  d)61 e)62
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2007-12-23 13:28:53

用程序做了，答案确实是182
112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112111112112111112112111112112112112112111112112111112112112112112111112112111112112112
182
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2007-12-23 13:30:20

附程序代码（pascal语言）
var
   a:array[1..10000]of longint;
   i,j,k,l,m,n:longint;
begin
   assign(output,'e:\out.txt');
   rewrite(output);
   fillchar(a,sizeof(a),0);
   a[1]:=1;
   for i:=1 to 3333 do begin
      case a of 1:begin
                        a[3*i-2]:=1;
                        a[3*i-1]:=1;
                        a[3*i]:=2;
                     end;
                   2:begin
                        a[3*i-2]:=1;
                        a[3*i-1]:=1;
                        a[3*i]:=1;
                     end;
                   end;
   end;
   n:=0;
   for i:=1 to 2187 do write(a);
   writeln;
   for i:=1 to 2183 do if [a,a[i+1],a[i+2],a[i+3],a[i+4]]=[1] then inc(n);
   writeln(n);
   close(output);
end.
作者: 铯_猪哥恐鸣    时间: 2007-12-23 13:48:08

17楼那道基本的概率问题。由题有：(P(n,2)+P(r,2))*(n+r-2)!=0.5*(n+r)!化简整理有：
(n-r)^2=n+r;
故n＋r为完全平方数，且由x与x^2同奇偶知对满足n＋r为完全平方数的任意值均可解出唯一的n与r。故共有根号（2×2007）取整－3＝60组
作者: libiamo    时间: 2007-12-28 11:01:25

楼上的60不对哦
作者: eflysky    时间: 2008-1-2 16:43:36

天哪，看着都晕
作者: shadowliao    时间: 2008-1-20 15:34:52

很多高手啊！！！我看了都不会。
作者: dadiao2ooo    时间: 2008-3-9 10:38:01

21楼做出来的可是62?
作者: rockboy1991    时间: 2008-3-9 10:44:41

我选W还可以啊！？o(∩_∩)o...哈哈
作者: Neo63    时间: 2010-1-21 13:35:43

哈哈这个题我当年在比赛中做过。。。实际上用Python可能很容易



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