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标题: 一个最值问题.. [打印本页]

作者: 三硝基甲苯 时间: 2010-3-21 14:53:04 标题: 一个最值问题..

已知X^2+Y^2=1
（X平方加Y平方等于一）

求3X+4Y的最大值和最小值。
我们老师的解法相当的强悍..看看各位能不能想出来

作者: mengfl 时间: 2010-3-21 14:59:44

不就是用图做吗。。。

作者: 淡淡幽情KK 时间: 2010-3-21 15:05:46

方法一：
设X=cosa, Y=sina
则3X+4Y=3cosa+4sina=5sin（a+A)
所以最大值5，最小值-5
方法二：
用柯西不等式
（3X+4Y)^2<=(3^2+4^2)(X^2+Y^2)=25,所以-5<=3X+4Y<=5
方法三：
图解法，先画一个单位圆，再画直线3X+4Y=0，当直线平行移动时，两个相切位置的值就是最大最小值。

[ 本帖最后由淡淡幽情KK 于 2010-3-21 15:13 编辑 ]

作者: 三硝基甲苯 时间: 2010-3-21 15:11:19

楼上果然...
那么（Y-2）/（X-1）呢？

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-21 15:19:20

不就是圆上的点到1，2的斜率么，切线的位置
几何作图，倾角为A,则cotA=（0.5+0.5）/（1-0.5*0.5）=4/3 正切的二倍角公式
故斜率为0.75，最小

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-3-21 15:25 编辑 ]

作者: 淡淡幽情KK 时间: 2010-3-21 15:21:38

设X=cosa, Y=sina
则(Y-2)/(X-1)=(cosa-2)/(sina-1)=t
整理得：tsina-cosa=t-2
即√ （t^2+1）sin（a+A）=t-2
|sin（a+A）|=|t-2|/√ （t^2+1）<=1
解得：t>=3/4

作者: 三硝基甲苯 时间: 2010-3-21 15:24:57

为什么答案上是最小值是1...
看看0.75能取到不...寒假作业上的~

6L上几年级啊..（但愿他还在上学..不然就杯具了..）

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-21 15:26:57 标题: 回复 7# 的帖子

在-0.6，0.8取到

作者: 淡淡幽情KK 时间: 2010-3-21 15:32:11 标题: 回复 7# 的帖子

我上大二，呵呵，还在上学~~

作者: superacid 时间: 2010-3-21 15:43:27

我觉得这些题目用几何意义解非常理所当然

作者: aben306 时间: 2010-3-21 15:56:32

三楼好强哦.....

作者: Paracel_007 时间: 2010-3-21 19:52:34

同意10楼。。。这种题目我遇到过不少。。。

作者: Cheng_943 时间: 2010-3-21 20:12:29

我会三种方法数形结合柯西不等式三角换元

作者: Cheng_943 时间: 2010-3-21 20:13:55

我会三种方法数形结合柯西不等式三角换元就是三楼的~ 这是一个经典例题

作者: kost12 时间: 2010-3-21 22:16:12 标题: 回复 14# 的帖子

高中的确学过，至少应该会一种，可现在大多数都还给老师了；
3楼和14楼不错，还都记得

作者: kost12 时间: 2010-3-21 22:29:34 标题: 回复 14# 的帖子

高中的确学过，至少应该会一种，可现在大多数都还给老师了；
3楼和14楼不错，还都记得

作者: sheep_涵 时间: 2010-3-21 22:29:43

三硝基甲苯、炸药哦、

作者: kost12 时间: 2010-3-21 22:39:18

不是故意灌水。。。这个论坛的验证码系统。。。太恐怖了。。。
而且论坛经常连不上，啥时候才能解决阿。。。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-4-6 11:29:26

加个第四种解法吧,用极坐标换元,不过这种方法有点无聊

作者: tm__xk 时间: 2010-4-6 12:53:47

"我们老师的解法相当的强悍..看看各位能不能想出来"

方法多的是..我就不明白何以有一个被称为"强悍"..还非得用这个不可..= =

作者: superacid 时间: 2010-4-6 17:48:59 标题: 回复 20# 的帖子

那是因为LZ没有数形结合这方面的思想

作者: limite034 时间: 2010-4-6 18:04:59

我理解楼主的表达意思是：他有一种使用中学里面学过的最简洁的解法来解这道题。建议楼主拿出来，让大家品评一下。免得生出疑惑。

作者: tm__xk 时间: 2010-4-6 18:44:51

根本就猜不出LZ指的是哪个..= =

作者: rubik-fan 时间: 2010-8-7 04:56:21

我猜想楼主指的是用夹逼定理……哈哈
我喜欢这个定理的名字

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