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标题: 数轴上的问题 [打印本页]

作者: limite034 时间: 2010-3-21 22:50:37 标题: 数轴上的问题

我也给大家出一道题。（我从某某习题里面抄来的。）

在（0，1）区间寻找一个数列。它以这个区间内任意一个点为极限点。简单说明一下，为什么。

作者: 夜雨听风 时间: 2010-3-21 23:00:27

实在不懂LZ说什么

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:03:59

原帖由 夜雨听风 于 2010-3-21 23:00 发表
实在不懂LZ说什么

怎么会不懂呢？我是抄来的习题。关于数轴上一个小小的数列概念问题。

作者: aubell 时间: 2010-3-21 23:09:45

lim n->无穷大 n/(2n+1)

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:13:03

原帖由 aubell 于 2010-3-21 23:09 发表
lim n->无穷大 n/(2n+1)

不好使。再想想吧。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:15:20

极限存在不就应该是唯一的嘛

作者: gb57 时间: 2010-3-21 23:16:23

0.1+0.1^n
0.2+0.2^n

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:20:56

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2010-3-21 23:15 发表
极限存在不就应该是唯一的嘛

概念有问题。再想想

作者: superacid 时间: 2010-3-21 23:23:25 标题: 回复 6# 的帖子

题目说的是"极限点"，就是聚点，一个数列可以有很多个极限点

作者: aubell 时间: 2010-3-21 23:25:56 标题: 回复 5# 的帖子

lim n->无穷大 n/(2n+1)
极限是1/2 ，为啥不好使？

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:26:07

额，那就取有理数列吧。。。根据有理数的稠密性得证

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:28:08

或者干脆就sin(n)好了。。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:28:34

或者干脆就sin(n)的绝对值好了。。。

作者: superacid 时间: 2010-3-21 23:31:39

构造这样数列:
1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
这个数列包含所有(0,1)之间的有理数
对任意(0,1)之间的实数，都有无穷多个有理数“非常接近”它，所以那个数列的所有极限点是[0,1]

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:32:34

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2010-3-21 23:26 发表
额，那就取有理数列吧。。。根据有理数的稠密性得证

这个答案是对的。为什么。简单说明一下。为了大家。如果不完全，大家可以补充。谢谢

作者: superacid 时间: 2010-3-21 23:32:48

铯下手好快。。。

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:34:11

楼上和我一个意思，不过干脆sin(n)的平方或者绝对值更方便，就是证明起来麻烦点

作者: aubell 时间: 2010-3-21 23:37:19

真是很没劲的题目。

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:37:27

原帖由 铯_猪哥恐鸣 于 2010-3-21 23:34 发表
楼上和我一个意思，不过干脆sin(n)的平方或者绝对值更方便，就是证明起来麻烦点

不好使，有些画
                  /^\/^\
               _|__|  O|
      \/    /~    \_/ \
      \____|__________/  \
               \_______    \
                     `\    \                \
                        |    |                \
                        /    /                   \
                     /    /                      \\
                     /    /                      \ \
                  /    /                         \  \
                  /    /          _----_          \ \
               /    /          _-~    ~-_       | |
               (    (       _-~ _--_ ~-_    _/ |
               \    ~-____-~ _-~ ~-_ ~-_-~ /
                  ~-_          _-~       ~-_    _-~
                     ~--______-~             ~-___-~添足了。如果这样。你怎么证明

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:37:37

恩，暴强解释的不错，和我们书上的各种定理的“证明”差不多，就是我们书上一般不打你那个引号的- -b

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:38:39

原帖由 aubell 于 2010-3-21 23:37 发表
真是很没劲的题目。

对不起。我让你失望了。要不然我出个简单一点的？

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-21 23:41:13

额，回19楼，其实还是一样的，就是利用了有理数的稠密性

作者: robester 时间: 2010-3-21 23:44:49

sin（N）的绝对值的循环节是无理数
这就决定了sin（N）的绝对值不可能进入循环
那自然就是0到1的所有数了

想想好像证据还是不足

[ 本帖最后由 robester 于 2010-3-21 23:46 编辑 ]

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:46:07

回 22楼
我没说对与否，希望将答案解释一下。让大家搞明白概念。这就是我炒着到题出给大家的意思。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-21 23:47 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2010-3-21 23:47:44

{sin(n)}的所有极限点构成区间[-1,1]
这就是我和铯给LZ出的题目，我保证一定正确

作者: robester 时间: 2010-3-21 23:50:21

{sin(n)}的所有极限点构成有理数区间[-1,1]？

作者: limite034 时间: 2010-3-21 23:51:27

原帖由 superacid 于 2010-3-21 23:47 发表
{sin(n)}的所有极限点构成区间[-1,1]
这就是我和铯给LZ出的题目，我保证一定正确

我个人的观点，在11楼的答案最好。解释起来也不费劲。

作者: superacid 时间: 2010-3-21 23:51:41 标题: 回复 26# 的帖子

实数区间[-1,1]

作者: superacid 时间: 2010-3-22 00:03:28

根据LZ的回复推测出LZ还不能确定铯的答案是否正确

作者: limite034 时间: 2010-3-22 00:19:18

原帖由 superacid 于 2010-3-22 00:03 发表
根据LZ的回复推测出LZ还不能确定铯的答案是否正确

11楼的答案是对的。如果习题是十分。可以给四分。剩下的六分就是解释了。

作者: sadgen 时间: 2010-3-22 01:19:16

额。。稍微解释下吧

任意 a属于（0，1）
若a是有理数则易知结论成立
若a是无理数任意a的邻域都有有理数则可以取出收敛到a的有理数列。。

于是得证。。。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-22 03:24:19

我猜LZ的意思是要构造一个数列,使得任取0和1之间的一个数L,都存在一个子数列收敛于L..

我也不记得应该怎么说了..

作者: limite034 时间: 2010-3-22 07:43:07

原帖由 tm__xk 于 2010-3-22 03:24 发表
我猜LZ的意思是要构造一个数列,使得任取0和1之间的一个数L,都存在一个子数列收敛于L..

我也不记得应该怎么说了..

应当是这个层面上意思。还要重申。这道题不是我考大家。原本就有这么一道题。我觉得挺有意思，拿出来献给喜欢数学的爱好者。考的是对于数的基本概念。基本原理和基本方法。谢谢你的回答

作者: limite034 时间: 2010-3-22 07:47:40

原帖由 sadgen 于 2010-3-22 01:19 发表
额。。稍微解释下吧

任意 a属于（0，1）
若a是有理数则易知结论成立
若a是无理数任意a的邻域都有有理数则可以取出收敛到a的有理数列。。

于是得证。。。

解释是对的。可以给分。就是有些简单，再详细一下。让每一个喜欢数学的爱好者看明白。

作者: happyyu 时间: 2010-3-22 10:28:35

文化有限！路过看看！！！

作者: 铯_猪哥恐鸣 时间: 2010-3-22 11:41:42

解释：若A是有理数，则对任意b>0，取A属于数列，满足A-A的绝对值小于b.若A是无理数，则对任意b>0，取a=[A/b*100000000000000000000]/100000000000000000000，[]表示取整。显然有：a属于数列并有绝对值A-a小于b，证毕。。。好像证明稍微雷了点。。。

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-22 12:28:53

简单的说，a是有理数，An=a-1/n则a的任意临域内有无穷多个An，则a的临域内当然有无穷多个有理数列的点，故为极限点；a是无理数，则保留小数点后n位作为An，也满足a的任意临域内有无穷多个An，即有无穷多个有理数列的点，也为极限点

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-3-22 12:40 编辑 ]

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-22 12:33:13

我在想mn-[mn]， n为整数1，2，……，m是一个无理数，即mn的小数部分满不满足这个条件啊

作者: limite034 时间: 2010-3-22 13:37:14

看来，大家要集思广议。我也没有标准答案。我倒是有个答案。自己琢磨的。在观察观察。看看别人的，更好。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-22 20:48:41

11L:
有理数列是什么意思?

看36L的话..
0.1,0.1,...,0.9;0.01,0.01,...,0.99;0.001,...,0.999;...
显然满足..

作者: schuma 时间: 2010-3-26 00:39:10

那就把所有 (0,1)的有理数排成一个序列了，这个数列在[0,1]区间上稠密，所以每一点都是极限点

作者: limite034 时间: 2010-3-26 12:46:44

原帖由 schuma 于 2010-3-26 00:39 发表
那就把所有 (0,1)的有理数排成一个序列了，这个数列在[0,1]区间上稠密，所以每一点都是极限点

答案很好。应当给分。
如果在严格的说，答案可以这样：
将 (0,1)所有的有理数从小到大排成一个序列。

希望有谁能给大家将“为什么”描述更详细一点。即让大家了解实数的性质，又让大家更好的理解极限的概念。
我虽然做过此题，但是，我也没有找到出题人的标准答案。谢谢！
如果有谁能解释的更清楚，我会将此题的“出处”告诉大家。
如果还没有更好的解释，我就将我的答案说出来，看看大家是否满意。

作者: Cielo 时间: 2010-3-26 14:26:05

很多回答都很好啊！
尤其14楼和40楼都给出了具体数列了，楼主还不满意？

我觉得最容易解释的就是40楼的例子了，每个数写成小数形式就OK……

作者: Cielo 时间: 2010-3-26 14:28:48

原帖由 limite034 于 2010-3-26 12:46 发表

如果在严格的说，答案可以这样：
将 (0,1)所有的有理数从小到大排成一个序列。 ...

这是不可能的……
假设排好了，由稠密性，任何相邻两项之间还有无穷个有理数比前面一个大，比后面一个小。

作者: limite034 时间: 2010-3-26 14:49:38

原帖由 Cielo 于 2010-3-26 14:28 发表

这是不可能的……
假设排好了，由稠密性，任何相邻两项之间还有无穷个有理数比前面一个大，比后面一个小。

我认为概念有问题。为什么逼我先解释。能不能再等等。然后我解释，可以吗？如果不正确都没关系。只是争论。明辨一下。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 16:27:17 标题: 回复 45# 的帖子

个人认为..排成一个数列后..最起码我任给一个正整数n,你都能明确告诉我第n项是什么数..

作者: limite034 时间: 2010-3-26 17:15:21

原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 16:27 发表
个人认为..排成一个数列后..最起码我任给一个正整数n,你都能明确告诉我第n项是什么数..

其实，大家搜一搜有理数如何定义的。搜一搜历史来历，譬如谁是康托尔，谁是希尔伯特。就好解答了。
这涉及到集合的基数和势。有理数是可数集。尽管它是无限。也就是说，可以通过从小到大编排序号。一直数下去。由于他是无限集，不能用有限的数法数到第n项是几。但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面。总不能否认，它能排队这个事实吧！如果还停留在用有限的概念上理解“极限”和“无限”。就有点太那个了。你说呢？如果谁有兴趣，搜索资料，看看如何回答效果最好。希望给出标准答案。
  总之，将有理数从小到大能够排列，不是我的发明。任何实数理论或者集合论都会有记载。我之所以把这道题找出来，就是希望大家再重新理顺概念，如果有谁想考研究生，特别是基础数学方面的，是一件有意义的事情。
  这是一道近三十年前，中国科学院数学所的研究生入学考题。共三问，本题20分。我省略了最后一问。就是关于上确界的问题。
  在试卷中，还有一道经典考题。就是使用多种方法求出某个“正态函数积分”。（注意是多种方法,至少三种）本题20分。（怎么表述记不清了）

作者: superacid 时间: 2010-3-26 17:21:11

请LZ把自己的答案发来分享一下

作者: limite034 时间: 2010-3-26 17:30:13 标题: 谢谢，BQ.

我们是朋友。现在吗？再等等好吗？我可没有标准答案。我只是凭自己的感觉做的，不一定准确。见笑了。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-26 18:04 编辑 ]

作者: limite034 时间: 2010-3-26 18:48:56

关于“正态函数积分”的题，如果谁喜欢数学，可以凭自己的数学知识，立定找到一两种方法。如果是五六种方法，就得查查参考书了。由于我对这道题就有准备（“压”对题了）。我的确用了五六种方法。其中一种方法就是套用概率论中给出的“正态分布的概率密度函数”积分公式。直接就可以给出答案。虽然有点“投机取巧”。搞应用数学和统计的专家喜欢。我把这“小把戏”奉献出来，如果你喜欢，可以问问老师，这么做行不行。

作者: 魏森 时间: 2010-3-26 19:15:17

说清是怎么回事，看不懂题啊。。。。。。。。。。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 19:18:01 标题: 回复 47# 的帖子

Q可数,"可以通过从小到大编排序号",这点没问题.
"但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面"
问题开始出现..

编排序号没问题,比如像14L.
以14L为例,任给俩数,可知谁先谁后,也没问题.
但是先后是取决于序号的大小,而不是原数的大小..

如果要排在前面的总比排在后面的小,是不可能的..

提醒下..注意LZ的问题..应该是说对任一0,1间的实数,总有子数列收敛于它.
"子数列"是说取出某些项,且须保持它们在原数列中的顺序!!!!

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 19:19:07 标题: 回复 47# 的帖子

才发现你是LZ....= =

作者: superacid 时间: 2010-3-26 19:40:38

看来LZ还是没有很好地理解极限

作者: limite034 时间: 2010-3-26 21:36:23

原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 19:18 发表
Q可数,"可以通过从小到大编排序号",这点没问题.
"但总能通过比较大小，看出谁编排在前面，谁编排在后面"
问题开始出现..

编排序号没问题,比如像14L.
以14L为例,任给俩数,可知谁先谁后,也没问题.
但是先后是取 ...

对于你的提醒，我就不好说了。只要给出一个子序列，有收敛性质就可以了。答案都正确。上面很多答案都符合要求。只要找到了就可以了。但是为了第二问，就得斟酌一下如何表达出来。条条大路通罗马，意思表达清楚了就可以了。从小到大排队容易表达，便于理解，便于对第二问解释。但绝不是唯一答案。你就是“跳变着”收敛也是收敛。也没错。这道题主要是考的是基本概念，没说要考从理论上如何论证。就是一道考试题，不可能写成论文。譬如。无理数如何论证。说清方法就是答案了。用“区间套”和“有限覆盖”概念解释一下就可以给分了。这是我的方法。标准答案是不是这个。我真的不知道。“我很多年没打鱼了”。
一开始还有人任为，极限点就是唯一的才叫极限呢。（别误会，可能是这个意思）。
上面的第二问得解释。还得解释。无理点怎么办，如果说“边上有一对有理数围着它呢”。这么解释，能给分吗？你说呢？

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 21:47:06 标题: 回复 55# 的帖子

"从小到大排队容易表达，便于理解，便于对第二问解释。但绝不是唯一答案"

差得远.."有理数从小到大排列"有问题..
"任取两个都能比较前后",和"可以写成一个数列"是不一样的..

题目明明就是构造数列..
如果连这个都不管,就相当于只说有理数可以逼近实数了..这本来就是实数的定义了....

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 22:03:40

查了一下..原来那个概念确实是叫极限点..

作者: limite034 时间: 2010-3-26 22:20:05

原帖由 tm__xk 于 2010-3-26 21:47 发表
"从小到大排队容易表达，便于理解，便于对第二问解释。但绝不是唯一答案"

差得远.."有理数从小到大排列"有问题..
"任取两个都能比较前后",和"可以写成一个数列"是不一样的..

题目明明就是构造数列..
如果连这 ...

对，能排队就可以了。我是按比较大小排队，至于你如何排队（找数列）能让别人看懂，并符合题意的要求是可以的。
实际上，就像你说的，就是构造一个数列。实数理论中关于无理数，就是用“有理数逼近”的方法。有限覆盖和区间套。所谓的“套”（别抠字眼）就是这个“从小到大排列”的数列中的子数列。换句话：将（0，1）区间所有的理数从小到大排列所组成的数列可以以区间内任意的无理点为极限点。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-26 22:31 编辑 ]

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 22:37:05 标题: 回复 58# 的帖子

"排队（找数列）"

你还没明白我在说什么..
就按排队的说法吧..你必须明确说出第一个人是谁,第二个人是谁,第三,第四,...

按比较大小是不能满足的!!!!

"将（0，1）区间所有的理数从小到大排列所组成的数列"
将（0，1）区间所有的理数从小到大排列不能组成数列....

PS一个.突然发现任何遍历Q的数列都可以..

作者: limite034 时间: 2010-3-26 22:53:22

哦，明白你的表达了。有理数的势是阿列夫零。无理数的势是阿列夫1。
有理数可数，可列。不能从小到大排队？如果能排。排出来的是什么。如果不能排队，你怎么数？才叫可数可列。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-27 00:11:39 标题: 回复 60# 的帖子

Q可列,就是说可以不重不漏写成一个数列.
但绝不代表这个数列单增..

作者: superacid 时间: 2010-3-27 06:54:09

请LZ仔细查看关于数列的概念

作者: limite034 时间: 2010-3-27 07:43:05

原帖由 tm__xk 于 2010-3-27 00:11 发表
Q可列,就是说可以不重不漏写成一个数列.
但绝不代表这个数列单增..

怎么还抠字眼。“绝不代表这个数列单增或者单减，”这句话中：
首先，应当确定是否承认“从小到大排列”的数列，也就是“单增数列”是不是符合第一问的答案的一种？如果不符合那答案是什么。满足第一问的数列“可有”无数种。但是，题目有两问。不管是什么答案，你的答案应当能够很清晰的解释无理点。

找出的“区间套”子序列本身就是“两头加逼”无理点。（这话不一定严格，勿抠字眼）

BQ想让我说出我的答案。
我的答案是：
根据实数理论和集合论由于有理数基数是阿列夫0，是可列可数的数列。因此，将（0，1）区间内所有的有理数按照小到大的顺序排队所构成的数列就是要挑选的数列。
对于区间内任意有理数点，很容从挑选出数列中找出一个子数列。
对于区间内任意无理数点，可以根据通过使用有理数定义无理数点的“有限覆盖”和“区间套”的概念和理论。找出构造“区间套”的“套”子序列。它就是“答案数列”的一个子数列。因此，（0，1）区间内所有的有理数按照小到大的顺序排队所构成的数列是以区间内任意无理数点为极限点。

最后声明。我不知道标准答案，和答案的标准。我的答案是我自己的理解。我想看看别人的答案，特别是第二问，为什么？

作者: Cielo 时间: 2010-3-27 11:09:25

原帖由 limite034 于 2010-3-27 07:43 发表

... 我想看看别人的答案，特别是第二问，为什么？

那就把之前的一个回复补充一下吧。

比如 40楼 tm__xk 的答案：
0.1，0.2，0.3.……，0.9，（第一段共9项，遍历所有1位小数）
0.01，0.02，……，0.99，（第二段共99项，遍历所有2位小数）
0.001，0.002，……，0.999（第三段共999项，遍历所有3位小数）
……

对于（0，1）区间内任意一个数 x，不论有理数还是无理数，可以写成无限小数的形式。有理数可写为有限小数后面添0或者无限循环小数，无理数写为无限不循环小数。x = 0.x[sub]1[/sub]x[sub]2[/sub]x[sub]3[/sub]……
这样在第一段里取 0.x[sub]1[/sub]，第二段里取 0.x[sub]1[/sub]x[sub]2[/sub]，第三段里取0.x[sub]1[/sub]x[sub]2[/sub]x[sub]3[/sub]，……
得到的数列就以 x 为极限点了。

作者: superacid 时间: 2010-3-27 11:13:11 标题: 回复 63# 的帖子

这题是没有标准答案的，不过不管如何，你给出的答案一定是错误的，请重新学习数列的定义

作者: limite034 时间: 2010-3-27 17:36:27

原帖由 Cielo 于 2010-3-27 11:09 发表

那就把之前的一个回复补充一下吧。

比如 40楼 tm__xk 的答案：
0.1，0.2，0.3.……，0.9，（第一段共9项，遍历所有1位小数）
0.01，0.02，……，0.99，（第二段共99项，遍历所有2位小数）
0.001，0.002，… ...

我赞成你现在使用遍历。但是，这和将“有理数由小到大排列”，两种罗列方法有什么本质的区别吗？换句话。你的答案是对的，我的答案是错的。
我还是重复我的答案的方法，主要目的是为了解释“为什么的问题”。也就是后面的“区间套”和“有限覆盖”。
作为一道考题，我个人认为，如果仅仅说，无理数可以写成形如：x = 0.x1x2x3……。总觉得还需要解释一下无理数为什么可以写成这种形式。如果不解释，那么，先辈们的“区间套”和“有限覆盖”还有何用？
BQ总说，我的答案是错的。没关系，为例辨明，即便错了，认个错就可以了。但是面对魔方吧，或者更多的数学爱好者，应当有责任告诉他们错在哪里。是该扣一分还是一分都不给？（如果扣字眼，就罢了）。
这个毕竟是一道考题。出题人肯定有一个考核标准。凭我的感觉，出题人应当是一位数学所“大家”。他拿出这道题作为试题。到底要考学生们什么数学“知识点”？也就是答案“要点”。谁能说说。

[ 本帖最后由 limite034 于 2010-3-27 17:56 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2010-3-27 18:39:21

就是0分，因为你的例子完全错误，说明你的思想错误
虽然答案确实是存在的，不过由于思想错误，只能认定你没有理解这道题，故0分

作者: superacid 时间: 2010-3-27 18:41:45

这道题考到了
1.数列的定义
2.数列极限的定义
3.数列极限点的定义
4.有理数的稠密性(虽然可能可以不用，但用起来很方便)

作者: limite034 时间: 2010-3-27 21:24:46

原帖由 superacid 于 2010-3-27 18:39 发表
就是0分，因为你的例子完全错误，说明你的思想错误
虽然答案确实是存在的，不过由于思想错误，只能认定你没有理解这道题，故0分

你的意思是：将有理数从小到大排列构成的数列不能作为“寻找的数列”？是这个意思吗？还是与其他的各楼层对话，“话里话外”显示出本人对极限的概念理解有些错误？还是二者兼而有之，都是错误的？
把你的答案拿出来，让大家欣赏一下。特别是，我很想知道，你用什么数学方法证明：你寻找出的数列以无理点为极限点。（建议详细一点，解释的不严格，也没关系，我不挑字眼。类似“根据稠密性”显然得证，这种话不要说。如果不谈使用什么数学方法证明，显然是
“不显然”的。

作者: superacid 时间: 2010-3-28 01:15:58

我的答案在14楼写得很清楚。
你的极限还是理解得不错的，关键是要好好看看一般数列的定义，对你来说这是很严重很严重的一个问题。

作者: limite034 时间: 2010-3-28 03:57:00

原帖由 superacid 于 2010-3-28 01:15 发表
我的答案在14楼写得很清楚。
你的极限还是理解得不错的，关键是要好好看看一般数列的定义，对你来说这是很严重很严重的一个问题。

你还是绕开了我在69楼的提问。有话就说清楚。光会扣帽子。怎么就严重很严重的一个问题。你又看出什么来了。

我再重复一遍，我的答案不对？还是我和各楼的问答让你发现对极限的理解出了问题？
其实我认为，出题人要考的“知识点”和你的不完全一样。譬如：我认为出题人是想考学生们关于对实数理论的掌握。特别是关于无理数的“构造”所使用的“区间套”和“有限覆盖”的理论的掌握。在这个问题上，各楼谁都没有和我进行对话。是没这方面的知识？还是这道题根本就用不上？通常，数学专业的“论极限”都会讲到实数理论。特别是关于无理数。我在很多教材都看到这方面的论述。
关于这道考题。我曾经问过参加考试，并且考上研究生的学生。他说，就是靠这方面的知识点。他的答案也和我的描述差不多，也肯定了我的答案，否则，我不会在这里拿出来考大家的。我建议你找一找关于这方面的资料，好好研究一下。
所谓数列，俗说，就是一堆数排队。严肃的说是按一定次序排列的一列数称为数列。谈规律时才考虑“长短”“敛散”性质等。这有什么可讨论的。与我的答案矛盾吗？如果和我的答案不矛盾，就有点抠字眼了，找到一个不严谨字眼，就否定一切。怎会会说很严重很严重的一个问题。又抠哪句话的字眼了吧？这和我的答案挨边吗？
说一千道一万，我就想知道，将（0，1）区间的有理数从小到大排列所构成的数列针对于习题的答案是否正确。“吧里面”好像喜欢数学的不多，要不怎么都不愿意回答，他们不会都看不见我的这个帖子吧。
我这道题对于今后“考研”，探讨探讨是有意义的。希望大家踊跃发言。否则，好像我和BQ总打嘴仗似的。

作者: superacid 时间: 2010-3-28 09:22:14 标题: 回复 71# 的帖子

我说过了，你好好看看数列的定义，这方面的理解你是很有问题的
这里问你一个问题：你定义的数列a1=?,a2=?,a3=?,...,an=?

作者: limite034 时间: 2010-3-28 10:25:17

原帖由 superacid 于 2010-3-28 09:22 发表
我说过了，你好好看看数列的定义，这方面的理解你是很有问题的
这里问你一个问题：你定义的数列a1=?,a2=?,a3=?,...,an=?

我料定了你这么说。我猜因为你可能用搜索器看了一下数列定义。没有搜关于集合和实数理论方面的资料。换句话，依旧用中学学过的概念。

什么叫“中学概念”，举例，老师说根号2是无理数。不讲如何证明它是无理数。再举以前说过的例子，几何中关于全等三角形“边边角”不成立。学生也不都问。再举例，什么是大学水平。中学里介绍四边形都是“凸”的，大学里则不管这一套。“凹凸”都研究。
这回大家知道，你我的分歧在哪里了。

话还得转回来！

难道就不能将有理数按照大小顺序排列吗?这岂不是天大的笑话吗？！你可是喜欢数学的北大的高材生呀。我早就说过，你是代表北大的水平呀！说话可要慎重。如果非要找出第几项是几才能将有理数排队？我建议你使用谷歌搜索器搜一下关于关于集合的势和基数。以及实数理论的知识。
换言之，出题人考核的不是你所说的数列知识。他要考核，对于实数理论的掌握和集合的基数以及势的概念的掌握。以及论证方法。

我还以为我又有哪句话说的不对，被你咬文嚼字了呢？我们是朋友，我不拍唬你。我给你链接，你自己看看吧！
http://baike.baidu.com/view/131521.htm

更详细的知识，直接使用谷歌搜索键入“集合的基数”或者“集合的势”或者“实数理论”或者“无理数论证”等等关键词。
吧中的喜欢数学的魔友们，别不吱声，也可以搜索一下。

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 12:22:46

楼主的题目是寻找一个数列，而楼主老是用集合、实数理论老论证自己的例子是正确的。不知道楼主为什么老是避免谈论到底什么是数列？
不知道楼主的非中学定义的数列是什么概念？
看来离开学校10多年来，知识老化了，来听听楼主的教诲。

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 12:42:49

楼主说数列的定义就是：按一定次序排列的一列数称为数列。
所以把所有（0，1）之间的有理数按照从小到大排列，就可以排成一个数列。
这个数列，无头无尾，但是存在。
这是楼主头脑中的数列定义。但是不是数学界公认的定义呢？
如果是楼主所认为的定义，那么数列的最基本的功能，如数列通项公式，数列递推公式，很多时候根本无从谈起。无头无尾，怎样来研究数列的性质。你可能又绕到几何，实数理论去了。既然用实数理论可以研究这些性质，干嘛又画蛇添足，把它引入到楼主所认为的数列来研究这些性质呢。
我认为提出数列的概念，正是为了要用数列通项公式，数列递推公式来研究数列的性质。如果不能用它来研究，引入数列的概念有什么用呢，不如直接用实数理论好了。
---------------------------------------------------------------------
如果大家的分歧就是在于数列的定义，那么首先就是要把大家公认的数列定义搞清楚，否则一切争论都无意义。
就像争论0是不是自然数一样，如果大家对自然数的定义理解不同，自然会引起争论，而且是毫无意义的。

作者: superacid 时间: 2010-3-28 12:47:23

如果数列按照LZ这么定义，那么极限理论就根本无法说明，也就没有现在的这道题了

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 12:48:54

最简单的说：
无头无尾的一列数，能不能称做一个数列？
比如从小到大排列的整数（即数轴上的整数点），能否称作一个数列？
----------------------------------------------
这就是楼主和大家争论的焦点。

作者: superacid 时间: 2010-3-28 12:52:01

个人认为，如果题目直接定义这样的一个数列{a[n]}，哪怕下标n可以是一个无理数，也没什么问题，但如果牵扯到极限理论，数列下标就必须是整数

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 13:06:38

数列{a[n]}，n可以是实数，那么不就是函数了么，直接要函数概念来研究它的性质就可，干么硬要把它称作数列呢。
所以还是不要随便推广数列的定义，这样没有一点好处。
如果硬要这样推广，不如用特殊的函数（自变量是整数的函数）来代替数列的概念还好一点。可以直接取消数列这个概念。

作者: limite034 时间: 2010-3-28 15:09:27

我发现越争论，越花哨。我的答案不对？谁敢说！
我还是重复我的观点，这道数学题考的主要知识点是关于实数理论里面的“区间套”和“有限覆盖”
通常，数学分析里面都有关于“再论极限”的章节。为什么要重新再论。就是因为，通常的高等数学书中不讲无理数如何定义的，如何使用数学方法证明的。
我建议两点。1。找专业精通的“数学家”问一问不就清楚了。先问答案，再问为什么。包括我的答案是否正确也一并问一问。2，查资料。看看能否找到类似题目的出处。再看看有关方面的介绍。我给了你们使用搜索器搜索的方法，否则，越争论越不贴谱。
我打个不恰当的比喻，针对魔方吧里面乌木使用的“头像”。我想很多人会以为这是个三角架呢。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 16:37:18 标题: 回复 63# 的帖子

怎么还抠字眼。“绝不代表这个数列单增或者单减，”这句话中：
这根本就不是抠字眼的问题....

首先，应当确定是否承认“从小到大排列”的数列，也就是“单增数列”是不是符合第一问的答案的一种？
这个问题就已经不对了....“从小到大排列”根本就不能得到数列..“从小到大排列”的数列根本就不存在..

其实随便什么稠密的数列都可以..

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 16:48:05

原帖由 limite034 于 2010-3-28 10:25 发表

换言之，出题人考核的不是你所说的数列知识。他要考核，对于实数理论的掌握和集合的基数以及势的概念的掌握。以及论证方法。

不同意.
正如我之前说的,如果跟数列无关,那我直接把实数的定义抄上去就成了..
也许还考察大家对基数,数列之类的概念有没有混乱..

作者: superacid 时间: 2010-3-28 17:05:54

为何LZ不自己找个数学家问问呢？

作者: superacid 时间: 2010-3-28 17:07:12

如果数列能想LZ定义的一样，请问LZ如何证明实数是不可列的？

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 17:41:14

LZ喜欢百度..

摘自http://baike.baidu.com/view/39749.html:
概念
　　按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成
　　a1，a2，a3，…，an，…

注意..最起码也有个首项..
请LZ告诉大家..把所有有理数从小到大排列..
如果称之为"数列",那首相是什么..

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 18:04:08

对于楼主的题目，还是按照32楼的描述直观一些：
   要构造一个数列,使得任取0和1之间的一个数L,都存在一个子数列收敛于L.
------------------------------------------------------------------------------
上面已经有人提到这个数列Q：
0.1，0.2，0.3，0.4，......0.9
0.01，0.02，0.03，......0.98，0.99
0.001，0.002..........0.999
0.0001，.............
即是这么一个数列，按照小数的位数排列。位数小的排前面，位数相同的按照从小到大排列。
--------------------------------------
这样对于任何给定的(0，1)之间的L，
●若L是是无限小数【即无理数和部分有理数(无限循环小数如1/3)】，可以取L的前n位数作为子数列的第n个元素。这个子数列的每个后面的元素都比前面的元素位数多，所以在原数列的排列的顺序是相同的。这样的子数列符合题意。
●若L数有限小数，那么设L是k位小数。那么子数列可以取：  L+1/10^(k+n)
比如L=0.75，那么子数列可以取：0.751，0.7501,0.75001,0.750001,............
这个子数列的每个后面的元素都比前面的元素位数多，所以在原数列的排列的顺序是相同的。这样的子数列符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
数列有一个基本的特性，不知对不对。
给定一个数列A，再给定一个元素a，若a属于A中的元素，那么一定知道a是A中的第几号元素。
---------------
比如a(n)=1/n：  0.1是数列中的元素，它排第10个。0.3不是数列中的元素。0是不是这个数列中的数呢？不是，0只能说是该数列的极限，而不是该数列中的元素。
---------------------------------------------------------------
那么前面提到的数列Q，是不是包含了所有的有理数呢？
非也，前面的数列只是包括了所有的有限小数，而所有的无限小数包括无限循环小数，都不是数列Q的元素。比如1/3，如果说它是数列Q中的元素，那么它的排列位置是多少呢？
--------------------------------------------------------------------------------------------------------

[ 本帖最后由 lulijie 于 2010-3-28 20:57 编辑 ]

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 18:19:44

14楼构造的数列，姑且称作数列B：
构造这样数列:
1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
--------------------------------------------
它以所有的真分数作为元素，分数的分母小的排前面，分母相同的分数，分子小的排前面。
这样数列B就包含了（0，1）之间的所有的有理数。
但题目才刚上路，对于任意给定的（0，1）之间的L，如何从数列B中找出子数列，使得该子数列的极限是L。
有人说这还不简单。随便举一个例子，比如L是有理数，那么，取L+1/n作为子数列的通项即可。
但是L+1/n的所有元素都属于数列B，但该子数列的排列顺序，并不是原数列B中的排列顺序，所以它不是数列B的子数列。
只有确定如何找到符合题意的子数列，题目解答才算完整。要像我在上面给出数列Q具体的寻找子数列的方法一样。

[ 本帖最后由 lulijie 于 2010-3-28 18:23 编辑 ]

作者: superacid 时间: 2010-3-28 18:47:07

只要说明任何数的任意邻域都有无穷多个有理数就可以了，这是比较显然的

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 18:51:53

同意87L.
子数列必须保持原数列中的顺序,因此原数列中数的顺序也是关键.

同88L:
所以不必遍历Q..只要数列稠密就行了..比如前面所说的有限小数列..
当然稠密也是必要的..所以也是充要条件..

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 18:54:50

楼上：
数列：1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
请给出一个具体的子数列，使得它的极限是2/3。
既然是显然的，那么给出这样的子数列应该非常简单。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 19:11:55 标题: 回复 90# 的帖子

我只是证明存在性,没说可以很容易写出显式.

其实我说的稠密和88L是同一个意思.

好比90L..
我可以先取一个离2/3距离小于1/3的.
由于有无穷多个离2/3距离小于1/4,必有一个在之前取出那个后面(事实上有无穷多个).
然后又可以取距离不过1/5的排在上一个后面.
然后1/6的,1/7的..
这些数构成的子数列极限就是2/3.

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 19:23:29

这样就对了，也就给出了具体的取子数列的方法。尽管不知道这样的子数列的通项，或者根本没有通项。
--------------------------------------
我有一个通项，不知有无Bug。
数列：1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,...
请给出一个具体的子数列，使得它的极限是2/3。
-----------------------------
我给出的子数列是4n/(6n+1)
-------------------
对于任意的有理数L=a/b,子数列可以取2a*n/（2b*n+1）。

作者: Cielo 时间: 2010-3-28 19:29:25

原帖由 superacid 于 2010-3-28 17:07 发表
如果数列能想LZ定义的一样，请问LZ如何证明实数是不可列的？

期待楼主回答这个问题，谢谢！

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 19:48:00 标题: 回复 92# 的帖子

"对于任意的有理数L=a/b,子数列可以取2a*n/（2b*n+1）。"

你好像说漏了些东西..
必须a为偶数..或者只取某些n..
(-1/(2b)mod a取不了)

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-28 20:04:01 标题: 回复 91# 的帖子

虽然你说的是对的，但是建议改一下个人感觉更好一点：
第一次在1/3的临域内取得a，那么第二次在min{1/4,|a-2/3|}的临域内取值，以此类推，都取前一个的距离和1/n中较小的那一个，这样更直观一些。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 20:13:51 标题: 回复 95# 的帖子

谢LS..确实..
不过..对那些真的看这层楼的人来说.,应该同样直观吧..哈哈..
毕竟91L用1/n夹就行了,95L的..再进一步说起来也不见得能很简洁..

我还是说实话吧..刚才只是想稍微说下,就没想太多了..压根儿就没想过这问题..呵呵..

作者: chuchudengren 时间: 2010-3-28 20:18:40 标题: 回复 92# 的帖子

前者显然正确，后者只能取既约项，有至多1/a（a不等于1时）的项要被省略掉还是无穷项

作者: limite034 时间: 2010-3-28 20:29:00

上述的回答我看了。“如何证明实数是不可列”用百度或谷歌搜一下，找个参考书也行。其实，相互的讨论在其他网站也是争论不休。但是，这道题，我的答案应当是没问题的，你们可以找”高人“问一下，对不对。同样，第二问，数学所考核的就是区间套和有限覆盖。也别争了，你们从这个角度解释一下吧。
还是那句话，用搜索器搜一下，就都明白了。譬如，说，有理数能不能从小到大排队。怎么排，怎么解释，都能搜到。没有研究这方面的专家，争论都是个说个的理。我发的这个帖子，都快到热门顶层了

我的答案对不对，你可以找专家去问。反正我问考上研究生的考生，我们是一致的。他也是认可的。出题老师是什么标准，也就是我说的“知识点”。也应当是区间套和有限覆盖。
  如果你从别的知识点能解释清楚，我想老师也不会算你有错。
  如果你想鉴定我的答案是否正确，先看看我给出的“知识点”是否合乎要求！我总感觉你们总是从你们的知识点挑我的“毛病”。譬如，还有人说，有理数不能从小到大排队，非要弄出一个a1,a2是几。用百度搜一下能否排队，怎么排，如何解释怎么排队，上面都有。为什么不看看。
  看来只好找专家了。我的话完了。

作者: lulijie 时间: 2010-3-28 20:35:51

楼主和大家的争议还是归结为数列的定义。
楼主的意思是，无头的一列数也可以称作是数列。不要扯到区间套和有限覆盖的问题上。
如果楼主一定认为
......，-2，-1，0，1，2，.........
是数列。
那么本贴就不要争论了。

作者: superacid 时间: 2010-3-28 20:36:02 标题: 我给个证明：无理数是可列的

只要证明[0,1]内的无理数可列即可
因为[0,1]的无理数可以从小到大排成一个数列(这是LZ说的)，所以[0,1]内无理数可列。

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