魔方吧·中文魔方俱乐部

标题: 初等几何难题一道，有关于圆内接四边形的 (Solved) [打印本页]

作者: 战斗机 时间: 2010-3-26 00:11:51 标题: 初等几何难题一道，有关于圆内接四边形的 (Solved)

AC是圆O直径，弦BD与AC相交于点P，PC=0.6，圆O半径=3，且AB=BD，求四边形ABCD的周长。

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 00:26:16

我很想说..怎么又是这个..

作者: r_517 时间: 2010-3-26 00:26:56

看錯數據了。。。重算

[ 本帖最后由 r_517 于 2010-3-26 00:41 编辑 ]

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 00:33:18

以前见到没算..这次算算吧..

算到(21+15sqrt(7))/4.

作者: 战斗机 时间: 2010-3-26 00:34:09

你们都好厉害，我想了半个小时没思路，能不能告诉我步骤啊

作者: 战斗机 时间: 2010-3-26 00:48:10

顺便想知道圆内接等腰三角形的性质
圆内接等腰三角形的高线所在直线为什么一定穿过圆心，求证明

作者: superacid 时间: 2010-3-26 00:54:27

ls提出的问题由于某些原因我不作解答，请自己考虑。

作者: r_517 时间: 2010-3-26 01:04:49

設那個等腰三角形底角是α，把四條邊表示出來，最后里面找那兩個小三角形用一個正弦公式算出α就做完了……身邊沒紙筆，不方便寫計算過程，算了2次算出來答案都不一樣= =所以就不寫出來了
6樓那問題。。。自己考慮吧。。。這個稍微動一下腦就明白啊

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 01:56:17

同8L.

我是设AB,BC,CD,DA对应圆周角分别为pi/2-x,x,pi/2-2x,2x.

由于(AB*AD)/(BC*CD)=ABD面积/BCD面积=AP/CP,
有tan(2x)/tan(x)=9,即2/(1-tan^2(x))=9==>tan(x)=...

周长=6*(sinx+cosx+sin2x+cos2x)=...

作者: tm__xk 时间: 2010-3-26 01:57:22

我倒是算了两次都一样..两次的算法还不全一样..

作者: 陆飞 时间: 2010-3-26 09:08:32

（0.6²+1.8²）根号=A
（2.4²+1.8²）根号=B

（A+B）X2就是结果了~

作者: elty 时间: 2010-3-26 09:18:13

答：四边形ABCD的周长=7.2

[ 本帖最后由 elty 于 2010-3-26 09:20 编辑 ]

作者: kost12 时间: 2010-3-27 23:16:59

虽然我还没算出来，但是我想11#和12#的答案都是错误的。
因为三角形两边之和必定大于第三边的定律AB+BC>AC;AD+CD>AC，
即四边形的周长必然大于6*2=12（两倍的直径）。
而11#的答案小于10，12#更小。。。

作者: kost12 时间: 2010-3-28 00:14:51

6#的问题，我不知道这样算不算证明完成了：
首先三角形OAB和三角形OBD都是等腰三角形（腰都是同一个圆的半径），且对边长度相等（AB=BD），因此两个三角形的形状和大小是完全相同的（当然你也可以从O做垂线分别到AB和BD通过勾股定理来证明，不嫌啰嗦的话），因此角OAB=角O把BA=角OBD=角ODB=β。

做这一题的思路，现在主要是2个：1）在三角形ABH中，可以很简单的发现α+2β=90°
2）四边形的边长，其实是四条弦长之和，四条弦对应的圆心角分别是，2α，180°-2α，2β，180°-2β；
即，180°-4β，4β，2β，180°-2β；
暂时还没搞明白2.4什干嘛用的。。。

附件: untitled.JPG (2010-3-28 00:14:51, 18.73 KB) / 下载次数 47
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTE1Mjd8YzRhMmE2MjF8MTc0MDA3OTkxOXwwfDA%3D

作者: kost12 时间: 2010-3-28 01:25:29

终于找到了三个相似三角形。。。解出一半。
角DOC=角DAO+角ADO=2α，且三角形是等腰三角形，所以角OCD=(180-2α)/2=(180-(90-2β))/2=2β=角ODC
因此三角形DCP,三角形BOP,三角形ABP是相似三角形（不好意思P点忘了标了，就是AC和BD的交点）
因此CD/0.6=3/2.4, CD=0.75
BP/(2.4+3)=3/AB, (AB/5*4)/(2.4+3)=3/AB, AB=4.5

[ 本帖最后由 kost12 于 2010-3-28 01:55 编辑 ]

附件: untitled.JPG (2010-3-28 01:25:29, 27.94 KB) / 下载次数 44
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTE1MzB8MGVjZDkzOTZ8MTc0MDA3OTkxOXwwfDA%3D

作者: kost12 时间: 2010-3-28 02:04:51

根据勾股定理得出OX==(7^(1/2))/4*3，根据相似三角形OXB和AHB得出AH长度为(7^(1/2))/8*9，即AD=(7^(1/2))/4*9
这里第一次做错了，经27楼纠正，谢谢
呼，完成3/4了

[ 本帖最后由 kost12 于 2010-5-15 19:12 编辑 ]

附件: 1.JPG (2010-5-15 19:11:16, 31.77 KB) / 下载次数 41
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTc0Mzl8NWU3MDYwZWZ8MTc0MDA3OTkxOXwwfDA%3D

作者: kost12 时间: 2010-3-28 02:14:36

过程不写了，全等三角形(直角三角形斜边和斜边所对角都一样)OBX BOY COY，CY=BY=(7^(1/2))/4*3, CB=(7^(1/2))/2*3
LABCD=5.25+(7^(1/2))/4*15, 约等于15.17
OX的计算错误导致AH AD CY CB全部错误，因此谢谢27楼给予指出，谢谢。现已纠正

[ 本帖最后由 kost12 于 2010-5-15 19:18 编辑 ]

附件: 2.JPG (2010-5-15 19:18:28, 22.89 KB) / 下载次数 38
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTE1Mzd8NjE0ZWE5ZmZ8MTc0MDA3OTkxOXwwfDA%3D

作者: tm__xk 时间: 2010-3-28 16:43:55 标题: 回复 17# 的帖子

你的答案和我有一大半一样..应该八九不离十..

作者: dangerxxxx 时间: 2010-3-28 16:46:00

楼主好好考虑

作者: 偷车贼slr 时间: 2010-3-29 15:19:26

BP*BP=AP*PC求出bp的长度，然后就用沟谷定理去求吧

作者: 偷车贼slr 时间: 2010-3-29 15:21:48

回复自己，看错题了，，

作者: kost12 时间: 2010-4-3 23:05:46

战斗机咋不来公布答案呢。也没别人做。。。伤心。。。

作者: limite034 时间: 2010-4-3 23:33:46 标题: 无奈！

人生在世有几何？
何必苦苦学几何？
学了几何几何用？
不学几何又几何？

作者: superacid 时间: 2010-4-4 00:18:28 标题: 回复 22# 的帖子

他自己都做不来，公布什么答案？

作者: tm__xk 时间: 2010-4-4 02:35:36

我的答案应该没错..因为我见到别人在很久以前就给出过跟我一样的答案..

作者: kost12 时间: 2010-4-12 18:48:59

没人反对的话，我的答案就作为参考答案吧，反正过程没啥问题，就是有点啰嗦；
答案可能不是那么精确，不过也没关系，咱只是'参考答案"嘛,又不是"标准答案";
哈哈哈哈哈~
楼主更新下标题吧,"参考答案在XX楼到XX楼"

作者: cyndi760910 时间: 2010-4-26 20:03:32

關於前面大大的求解，
我覺得有些問題
我這邊說明一下我的求解。
求出AB我想應該都沒什麼難度才對
接下來就是求AD
先從三角形OXB下手
OX=(OB^2-BX^2)^0.5=[3*(7^0.5)]/2
由相似三角形AHB與OXB(AA相似)可得
OB:AB=OX:AH=>3:4.5=[3*(7^0.5)]/2:AH
AH=[9*(7^0.5)]/8
即AD=[9*(7^0.5)]/4
接著求BC
由相似三角形OBC與BAD(AA相似)
OB:BA=BC:AD=>3:4.5=BC: [9*(7^0.5)]/4
可得BC=[3*(7^0.5)]/2
再由相似三角形PCD與PBA(AA相似)
PC: PB=0.6:3.6=CD:BA
故CD=AB/6=3/4
所以AB+BC+CD+DA=4.5+ BC=[3*(7^0.5)]/2+3/4+[9*(7^0.5)]/4
=5.25+3.75*(7^0.5)= 15.17
這是小弟的淺見
如有錯誤請指教

附件: 1.JPG (2010-4-26 20:03:32, 28.72 KB) / 下载次数 92
http://bbs.mf8-china.com/forum.php?mod=attachment&aid=OTQ3OTB8MmUzMDcxMDB8MTc0MDA3OTkxOXwwfDA%3D

作者: tm__xk 时间: 2010-4-27 00:59:48 标题: 回复 27# 的帖子

过程没看.答案正确.

作者: kost12 时间: 2010-5-15 18:57:35

27楼的答案是正确的，但，步骤里面似乎也把OX写错了
我算OX算错了，应该是OX=(7^(1/2))*3/4

欢迎光临魔方吧·中文魔方俱乐部 (http://bbs.mf8-china.com/)