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标题: 初中数学平几难题一道 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-5-20 22:32:59 标题: 初中数学平几难题一道

如图,过圆O外的一点P引圆O的两条割线PAB,PCD,分别交圆O于点A和B,C和D,弦AD,BC交于点Q,PQ交圆O于点E.如果PE=12/5,圆O的半径是3,点O,P的距离是5,求QE的长.
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作者: yq_118 时间: 2010-5-20 22:48:23

貌似很难哦。。。。。

作者: 纷繁 时间: 2010-5-20 23:18:20

此题无解缺少条件点Q位置并不确定如果知道OQ的长度可以计算

作者: Paracel_007 时间: 2010-5-20 23:21:53

想了很长时间了…还是没做出来

作者: tm__xk 时间: 2010-5-20 23:52:09

没少条件.

我算出来96/85..-_-||||

作者: Cielo 时间: 2010-5-21 01:10:46

同意没少条件，Q在P的极线上，知道这个的话算起来应该不难了

作者: tm__xk 时间: 2010-5-21 02:33:49

同6L.

字数.

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-5-21 12:38:10 标题: 回复 5# 的帖子

怎么算的？把过程贴出来一下，谢谢

作者: Cielo 时间: 2010-5-21 13:50:27

原帖由 石崇的BOSS 于 2010-5-21 12:38 发表
怎么算的？把过程贴出来一下，谢谢

我的想法是第一步用余弦定理，通过 ΔEPO 的三边算出其一个角的余弦来。

作者: chuchudengren 时间: 2010-5-21 14:37:45

和五楼算的一样
关键正如Cielo所说，Q 在P的极线上，因此延长PQ交圆与F，1/PE+1/PF=2/PQ, PE*PF=16即可以解出

作者: chuchudengren 时间: 2010-5-21 14:44:16

在说明一下：第一点：
引理：对于圆O, PEF为一条割线，P的极线MN(M,N 在圆上)交CD与Q，则ABYP为调和点
证明：连接OP交MN与H，过O做EF垂线交EF与J，因为PM为切线，故PE*PF=PM*PM=PH*PO=PQ*PJ=PQ*(1/2PE+1/2PF),故而2/PQ=1/PE+1/PF,也就是要证得的结论
了，也就是前面用的。
第二点
关于Q为极点的证明
设 CA,DB交与X，连接PX，XQ分别交AB,CD与Y,Z。现在要证YZ为极线，根据上面引理只需证ABYP,CDPZ为调和点，而两者证明的方法是一样的，故只证后者。这一点可以通过在Q做DB平行线分别交PD，PB，XC，XP与T1，T2，T3，T4。T1Q/QT3=BD/XC=T1T2/T2T4=QT2/T2T3=T1Q/T3T4，所以T3T4=QT3，这样在C点做DB平行线交XZ延长线,XP与U,V，则CU=CV，这样CZ/ZD=CU/XD=CV/XD=PC/PD。故再次根据引理就得证了。

知识还算是初中的，只有圆幂定理和比例。

[ 本帖最后由 chuchudengren 于 2010-5-21 16:01 编辑 ]

作者: gb57 时间: 2010-5-21 17:10:01

感觉不是太难，只是乱
未标题-1.jpg

△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F，
得到PE/PF=EQ/FQ
PE*PF=(5+3)*(5-3)=16,
PE=12/5 , PF=20/3 , EF=64/15
EQ/FQ=9/25 ,EQ/EF=9/34
EQ=96/85

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作者: 小明的马甲 时间: 2010-5-21 20:21:52

刚发现射影坐标系是个好东西啊。。。。

作者: Paracel_007 时间: 2010-5-21 23:52:21

好像不仅仅是初中的知识了…

作者: Pyrenees 时间: 2010-5-22 00:12:01

这是哪个省的初中知识啊。。。。。。。。。。。

作者: 百度黑光 时间: 2010-5-22 00:16:27

高中理科生表示做不出来

作者: zhubailei 时间: 2010-5-22 09:41:19 标题: 初中数学平几难题一道

解析几何啊！用切割线定理解！简单的很！

作者: Cielo 时间: 2010-5-22 10:49:07

原帖由 gb57 于 2010-5-21 17:10 发表
感觉不是太难，只是乱
98287
△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F， ...

这个方式得到 PE/PF=QE/QF，很巧妙啊！

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-5-22 11:54:42

原帖由 gb57 于 2010-5-21 17:10 发表
感觉不是太难，只是乱
98287
△PAC∽△PDB,△ACQ∽△BDQ
PC/PB=PA/PD=AC/DB=CQ/DQ,
得到PC/PB=CQ/DQ,
PD和PB两条线是随便画的，满足这种关系的线有无数条，当它们重合时，B点和D点都是F点
把C换成E，把B换成F， ...

可以把C换成E，B换成F？有这种解答方法吗？如果C和B在一条直线上还可以这样做吧？这种方法还没见过呢……

作者: Cielo 时间: 2010-5-22 12:27:13

我觉得他的意思是这样：

随便画一个类似原题的图，然后让两条割线之间的夹角逐渐变小，极限情况就是重合为一条线，即PEQF，而这个Q恰好就是原来那个交点的极限。

好像不大严格啊……

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-5-22 12:52:19

我觉得如果P,C,B在一条直线上还可以那样代换吧？但是它们不在呀，能代换吗？

作者: superacid 时间: 2010-5-22 13:05:32 标题: 回复 21# 的帖子

这是由于配极映射，Q是AD,BC的交点，所以Q在P关于圆O的极线上，在此题中A,B,C,D是没有其它作用的

作者: danil0816 时间: 2010-5-26 19:38:36

中考前看到这道题的我飘过！！！！北京不会这么考！！！！！

作者: 疯子卡罗特 时间: 2010-6-18 18:34:29

- -。。。。。我都快把数学知识忘光了

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