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标题: 三角形求角度难题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-6-29 16:52:46 标题: 三角形求角度难题

在三角形ABC中，AB=AC,延长AC至D,使得AD=BC,并且∠ABD=50°，求∠CBD的度数

最好用几何法解

听说是某一年的竞赛题，汗……

[ 本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-7-1 13:08 编辑 ]

作者: 战斗机 时间: 2010-6-29 17:09:34

果然是好题目！～不错～

作者: chuchudengren 时间: 2010-6-29 17:35:40

我纯属瞎猫碰见死耗子的发现是10度。
算的：2cos(50-x)/sin(50-2x)=(2cos(50-x)-1)/sinx 和差化积和积化和差后变成2sin(40+x)sin(50-2x)=sin50,然后就发现10成立，纯属蒙的，期待证明

作者: 疑难杂症 时间: 2010-6-29 17:43:59

呃我很想知道这是要求多大学历的几何题初中高中还是大学....

作者: superacid 时间: 2010-6-29 17:49:54 标题: 回复 4# 的帖子

学历是假的，能力是真的

作者: gb57 时间: 2010-6-29 17:50:44

只发现 sinADB/sinABD=sinACB/sinA

作者: 战斗机 时间: 2010-6-29 18:04:10

不用三角函数的！我做出了，我＝＝就上答案

作者: 战斗机 时间: 2010-6-29 18:14:50

老师说，做难题就先把有可能的辅助线和点全部弄出来然后再慢慢想，我先上图了哈～

未命名-1.jpg

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作者: 42752277 时间: 2010-6-29 18:32:32

额，不会，我才初一……刚刚学三角形全等……

作者: 韩方宇 时间: 2010-6-29 20:12:15

哎哟一看这个就闹心

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-6-29 20:14:05 标题: 回复 8# 的帖子

有没有解答过程哇？？？？

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-6-29 20:21:33

我也来发表一下我的思路，好多关系都很明显，就是无法证明
QQ截图未命名.jpg

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作者: 小柒、 时间: 2010-6-30 12:00:20

可以用三角形内角和180慢慢换出来的。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-1 08:44:57 标题: 回复 13# 的帖子

高手，请说说具体过程，谢谢

作者: lulijie 时间: 2010-7-1 12:33:04

记角ABC=∠1,角ACB=∠2，角CBD=∠3

因为AB=AC，所以∠1=∠2
∠2+∠3=50°
∠D=∠2-∠3=50°-2∠3
∠A=180°-2*∠2=80°+2∠3
根据正弦定理：
BC/sin∠A =AB/sin∠2 式1
AB/sin°∠D=AD/sin50°=BC/sin50° 式2
式1*式2，得
sin∠A*sin°∠D=sin∠2 *sin50°
即sin(80°+2∠3)*sin(50°-2∠3)=sin(50°-∠3)*sin50°
显然∠3=10°是上式的一个解。根据题意显然只有一个解。所以角CBD=10°

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-7-1 13:07:46

转网络牛人牛解：
不妨设 AB = AC = 1。
设 AD = BC = x。
三角形 ABC 中，由正弦定理，有
x / sin A = 1 / sin(90° - A/2)
在三角形 ABD 中，由余弦定理，有
x^2 + 1^2 - 2 x cos A = BD^2
又由正弦定理
BD / sin A = x / sin 50°
以上几个方程利用三角关系化简，得到
x = 2 sin(A/2)
Sin(50°)^2 (x^2 + 1 - 2x(1- 1/2 x^2)) = x^4 (1 - x^2/4)
后一式是关于 x 的多项式（六次）方程，可以数值求解。
数值解得（只保留 x > 0 的实根）
x1 = 1.53209 A1 = 100° 从而所求角为 10°
x2 = 0.769261 A2 = 45.2416° 从而所求角为 -17.3792°（负号代表方向不同）
QQ截图未命名.jpg

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作者: superacid 时间: 2010-7-1 14:14:05 标题: 回复 16# 的帖子

果然是一牛人，侮辱平面几何&三角函数，玷污整个数学系统

作者: superacid 时间: 2010-7-1 14:15:57 标题: 回复 13# 的帖子

你试试看...这种题一定不可能换出来

作者: Cielo 时间: 2010-7-1 14:48:02

膜拜网络牛人！

期待高人给个平几方法~

作者: chuchudengren 时间: 2010-7-1 21:17:16

如果已知一条10°的线，倒是挺容易证出长度相等的，可反过来直接证好难啊，怎么把50°转化成60°合适呢

作者: Paracel_007 时间: 2010-7-1 21:34:00

看完辅助线也没明白怎么回事…

作者: 五叶草 时间: 2010-7-5 09:32:13

我刚才看到“正弦定理”了，看来是没我的份了。。。。。。

作者: feifucong 时间: 2010-7-5 14:23:50

我觉得用正余弦定理可以搞定的哇

作者: tm__xk 时间: 2010-7-5 14:31:29

我很想说..17l+1....

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